Knifflige Aufgabe

Neue Frage »

Spalter Auf diesen Beitrag antworten »
Knifflige Aufgabe
Hallo zusammen!

Ich sitze seit einigen Tagen an diesem mathematischen Problem und komme zu keiner Lösung. kann mir bitte jemand helfen?

Die Gleichung befindet sich im Anhang. das Differential soll integriert und nach c aufgelöst werden.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du an deine Stammfunktion gekommen bist, kann ich nicht nachvollziehen, kannst du das mal bitte posten ([User-Tutorial] LaTeX für Anfänger) ?

Ich habe auch das Gefühl, dass sie falsch ist...
Maple kommt jedenfall nicht darauf...
mfG 20
Spalter Auf diesen Beitrag antworten »

kann gut sein, dass die Stammfunktion falsch ist. Ich habe die mittels Substitution ermittelt, wobei ich die Summe als z gewählt habe.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Integration ist mit Sicherheit falsch. Trennung der Variablen ergibt hier

,

also

.

Ich glaube kaum, dass man links einen für alle passenden geschlossenen Ausdruck finden kann - z.B. ergibt links irgendwas mit , während zu führt...
Spalter Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens sind m und n nicht unbedingt ganzzahlige Ausdrücke zwischen 3 und 6 bzw. 1 und 2, also:

m={3-6} und n={1-2}
Spalter Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung gehört zu einem chemischen Versuch, bei dem sich die Konzentration über die Zeit verändert. Der Verlauf dürfte logarithmisch sein. Ist es möglich das Problem mit einer Näherung zu lösen?
 
 
Spalter Auf diesen Beitrag antworten »

Hier der Verlauf
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Fassen wir mal zusammen: Für gegebenes willst du Konzentration , gegeben durch



bestimmen, wobei die Konzentration zum Zeitpunkt sein möge. Bei dir nimmt nun die Konzentration mit der Zeit monoton ab, richtig?


Numerisch ist natürlich immer was drin, dazu könntest du das Integral links durch eine (Riemannsche) Summe mit einer entsprechend der gewünschten Genauigkeit zu wählenden Intervallbreite approximieren, in deinem Fall dann mit variabler, d.h. zu bestimmender Anzahl Summanden, aus der sich dann das ergibt. So oder ähnlich sollte das klappen.
Spalter Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ist das richtig.

Danke dir für den Tipp. ich werde das gleich mal ausprobieren, sofern das nicht meinen Horizont übersteigt. Ich melde mich dann nochmal, wenn ich damit weitergekommen bin ... oder auch nicht.
Spalter Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe mir das gerade mal in Wikipedia angeguckt. ich weiß nicht so richtig, ob mir das weiterhilft.

ich fasse einfach nochmal alles ausführlich zusammen, um Klarheit zu schaffen:

Ich habe eine Messreihe mit zeitlich abhängigen Konzentrationen. die oben genannte Gleichung ist der Geschwindigkeitsansatz für die Reaktion, mit dessen hilfe ich die Unbekannten m, n, kB, und kW ermitteln möchte. Dazu benötige ich eine lineare Gleichung, um ein f(c) gegen ein f(t) aufzutragen (lineare Regression eben).

ich habe auch schon Überlegungen angestellt, bei denen es darum ging den ersten Teil der Gleichung auf den ersten Teil des Verlaufs zu beziehen und den zweiten der Gleichung auf den zweiten des Verlaufs. Damit habe ich dann eine Iteration gestartet, bei der sich im grunde aber nichts tut. Die Werte, die ich dabei herausbekomme sind qualitativ stimmig, aber nicht quantitativ. Fällt euch dazu noch irgendetwas ein?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Spalter
den ersten Teil der Gleichung auf den ersten Teil des Verlaufs zu beziehen und den zweiten der Gleichung auf den zweiten des Verlaufs. Damit habe ich dann eine Iteration gestartet

Verstehe ich nicht, was du da gemacht hast - wie sieht denn diese Iteration aus?
Spalter Auf diesen Beitrag antworten »

ich gehe davon aus, dass am Anfang nur der teil der Gleichung mit dem m und dem kB eine rolle spielen, da der rest sehr viel kleiner ist. Also nehme ich an, dass der Teil mit kW und n Null ist. Damit ergibt sich ein Integral, das wesentlich einfacher zu lösen ist und woraus sich auch eine lineare form ergibt. Mit der nun vorhandenen linearen Gleichung vollziehe ich eine lineare Regression mit den ersten Messwerten.
Umgekehrt gehe ich davon aus, dass am ende des verlaufs nur der teil mit kW und n eine Rolle spielt.
Daraus erhalte ich Werte für die jeweiligen Unbekannten, die allerdings nicht genau sind. Deshalb ziehe ich wechselweise den Ausdruck mit kB und m von dem mit kW und n (bzw. umgekehrt) ab und erhalte genauere Werte, die aber zu keinem reproduzierbaren Ergebnis führen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde so vorgehen wie ich in meinem letzten Beitrag geschrieben hatte, über Riemannsche Summen: Mit den Abkürzungen

sowie

für ein fest gewähltes ist dann

,

wie ersichtlich nehme ich des geringeren numerischen Fehlers wegen den Funktionswert in der Intervallmitte statt am Rand.

Für gegebenes wird nun solange summiert, bis erreicht bzw. überschritten wird, d.h., es wird das kleinste mit



ermittelt. Das erreichte ist dann der Approximationswert für obiges .



Natürlich darf man nicht zu grob (d.h. groß) wählen - um zu prüfen, ob es passend ist, kann man es ja schrittweise halbieren und das ganze Verfahren erneut anwenden, bis sich ein stabiler Approximationswert für einstellt.
spaletr Auf diesen Beitrag antworten »

okay...danke.

Das Ergebnis, das ich daraus erhalte ist dann die lösung des Integrals, richtig? Sprich ich müsste dann nochmal hingehen und die Gleichung linearisieren, wodurch ich dann auf die Unbekannten kommen würde.

Wo kann ich das am anschaulichsten nochmal nachschlagen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein - lies doch mal den Beitrag in Ruhe durch! Was du erhältst, ist eine Approximation der Integrationsgrenze .


Im übrigen werde ich aus deinen Ausführungen nicht schlau: Ich war davon ausgegangen, dass bekannt sind, aber irgendwie beschleicht mich der Verdacht, dass du diese Werte (zumindest einige davon) erst aus konkreten Daten schätzt - ist das so?
spalter Auf diesen Beitrag antworten »

m, n, kB und kW sind unbekannt. Mein Ziel ist es heraus zufinden welche Werte sie haben. m liegt aber in der Größenordnung 3 bis 6 und n bei 1 bis 2.

bekannt sind einige c zu bestimmten t
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von spalter
m, n, kB und kW sind unbekannt. Mein Ziel ist es heraus zufinden welche Werte sie haben.

Besser spät, als nie zu erfahren. Damit verlagert sich das Problem von ursprünglich Analysis, über Numerik jetzt hin zur Stochastik...
Spalter Auf diesen Beitrag antworten »

naja. eigentlich wollte ich ja auch nur die Umkehrfunktion der Integrallösung, um damit die vier Unbekannten zu ermitteln. Allerdings klappt das wahrscheinlich nicht.

Wenn es ein stochastisches (nicht statistisches?) Problem ist, mache ich am besten was? Das ist nämlich eine Form der Mathematik, die mir nie begegnet ist.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Was misst du denn?
Nur c?
Dann würde ich die Ableitung auf der linken Seite approximieren, also aus den gemessenen c-Werten bestimmen, z.B. einfach durch einen Differenzenquotient.
Nun musst du ein nichtlineares Ausgleichsproblem in den 4 Variablen lösen, wie das geht, weiß ich leider nicht... Angenommen du weißt n und m schon, dann wirds wesentlich einfacher.
Dann hast du ein lineares Ausgleichsproblem mit 2 Variablen, und brauchst nur eine Householdertrafo, ums zu lösen... Man könnte also für verschiedene m und n die beiden anderen Variablen mal bestimmen, und schaun, was am nächsten drankommt...
mfG 20
Spalter Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe zu bestimmten zeitpunkten konzentrationen gemessen. Normalerweise ist da ganz einfach zu lösen, weil sich im rechten Teil keine Summe befindet. da wird das einfach integriert, f(c) gegen f(t) aufgetragen und eine Regression durchgeführt. Hier ist der Fall aber etwas komplizierter.

Was man noch annehmen kann ist, dass m dreimal größer ist als n und, dass kW etwa 500000 mal größer ist als kB. das ist zwar sehr ungenau, kommt aber der Wahrheit nahe...denke ich
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja auch schonmal gut, dann braucht man nur noch das n oder das m zu probieren...
Ich hab mich eben vertan, eben brauchte man zwei Householderschritte... Jetzt braucht man dann nur noch einen, wenn man n oder m festlegt, da ja die beiden k auch zusammengehören muss man nur eins bestimmen... Also ein kleines Programm schreiben, dass für verschiedene n mal den Householder durchführt...
mfG 20
Spalter Auf diesen Beitrag antworten »

naja. Dass m dreimal größer ist als n, kann man ganz gut annehmen. Allerdings ist die andere Annahme doch sehr ungenau. Aber vielleicht kann man dann ja das Ergebnis verwenden, um es in einem zweiten Durchgang zu verbessern.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, du kannst es ja mal probieren. Householder ist hier wohl gut, wenn du viele Daten hast.
Wie gesagt, dafür brauchst du Linearität, also mal verschiedene n durchgehen.
mfG 20
Spalter Auf diesen Beitrag antworten »

Okay! Ich danke dir!
Freude
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Mich würde das interessieren, obs geklappt hat, wenn du also nochmal hier rein schaust, dann beschreib doch mal, wie du es konkret gemacht hast, und was herauskam smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »