k-linearer Unterraum

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21.11.2007, 17:36	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
k-linearer Unterraum Hallo, ich sitz hier an einer Aufgabe, die ich nicht versteh. Vielleicht könnte mir jemand auf die Sprünge helfen? Aufgabe: Seien K ein Körper, Ax=b ein lineares Gelichungssystem mit $\begin{eqnarray} A\in K^{mxn} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b\in K^m \end{eqnarray}$ . Weiter bezeichne $\begin{eqnarray} W_b \end{eqnarray}$ teilmenge von $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ die Menge der Lösungen der Gleichungssystemt. Zeigen Sie: (a) Im Fall b = 0 ist $\begin{eqnarray} W_b=W_0 \end{eqnarray}$ ist ein K-linearer Unterraum von $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ . Also ich kenn die Unterraumkriterien (bei W Unterraum von V) 1. Nullvektor in W 2. falls $\begin{eqnarray} v_1, v_2 \in W\Rightarrow v_1+v_2 \in W \end{eqnarray}$ 3. falls $\begin{eqnarray} k \in K, v \in W \Rightarrow kv \in W \end{eqnarray}$ und die Kriterien für k-linear 1. $\begin{eqnarray} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} f(kx)=kf(x) \end{eqnarray}$ aber irgendwie versteh ich die Aufgabe nicht... ich war grad fertig mit dem Beweis, dass Ax=b k-linear ist, als mich der Verdacht überkam, dass ich das gar nicht zeigen muss. Ich versteh es nun so, dass ich zeigen muss, dass $\begin{eqnarray} W_0 \end{eqnarray}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ ist aber ich weiß nicht, was ich als k-linear zeigen soll und ich weiß auch nicht, wie ich den Unterraum zeige.. trotz der Kriterien. Nun bin ich verwirrter als zuvor <- ob das was bringt? smile*
21.11.2007, 19:48	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke ich hab den Unterraum nun bewiesen. Ich werde einfach mal meine Lösung hinschreiben. Unterraum: z.z.: 1.) $\begin{eqnarray} O_V \in W_0 bzw. A(0)=0_V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{i1}0+a_{i2}0+ .... +a_{in}0=0+0+0+...+0=0 \end{eqnarray}$ 2.) $\begin{eqnarray} v, u \in W_0\Rightarrow v+u \in W_0 \end{eqnarray}$ Vor: $\begin{eqnarray} a_{i1}v_1+...+a_{in}v_n=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{i1}u_1+...+a_{in}u_n=0 \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} (a_{i1}v_1+...+a_{in}v_n)+(a_{i1}u_1+...+a_{in}u_n)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{i1}v_1+a_{i1}u_1+.....+a_{in}v_n+a_{in}u_n=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{i1}(v_1+u_1)+.....+a_{in}(v_n+u_n)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A(v+u)=0_V \end{eqnarray}$ 3.) $\begin{eqnarray} \lambda \in K, v \in W_0 \end{eqnarray}$ Vor: $\begin{eqnarray} a_{i1}v_1+...+a_{in}v_n=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \lambda(a_{i1}v_1+...+a_{in}v_n)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambdaa_{i1}v_1+.....+\lambdaa_{in}v_n=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{i1}\lambdav_1+.....+a_{in}\lambdav_n=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A(\lambdav)=0_V\Rightarrow A(\lambdav) \in W_0 \end{eqnarray}$ Aber mit dem k-linear weiß ich nichts anzufangen. Ich weiß einfach nicht, was ich zeigen soll, auf die Aufgabe bezogen. Wäre schön, wenn mir das jemand sagen könnte. LG Luci
22.11.2007, 11:44	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, dass ich die Kriterien für K-linear bereits mit den Kriterien des Unterraums gezeigt habe? Also: K-lin. 1 = Unter. 2 K-lin. 2 = Unter. 3 ? Luci
22.11.2007, 21:11	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/...=670706#v670706
23.11.2007, 11:10	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
danke
24.11.2007, 17:17	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab hier noch eine Frage (b) dazu: und ich bin mir nciht sicher, ob ich sie richtig und ausreichend beantwortet habe.. wäre nett, wenn da mal jemand drüber schaut Im Fall $\begin{eqnarray} b\neq 0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} W_b \end{eqnarray}$ entweder leer, oder ein verschobener linearer Unterraum parallel zu $\begin{eqnarray} W_0 \end{eqnarray}$ , d.h. von der Gestalt: $\begin{eqnarray} W_b=v+W_0 \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} v\in K^n \end{eqnarray}$ Meine Antwort ist dazu folgende: aus $\begin{eqnarray} Ax=b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b\neq 0 \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} A=0 \Rightarrow 0x=0 \neq b \end{eqnarray}$ Wiederspruch! $\begin{eqnarray} W_0 = leere Menge \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} A \neq 0 \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} W_b=\{x \in K^n / Ax=b\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} W_b=\{~x \in K^n / A~x=0\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Ax=b <=> Ax-b=0 \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} A~x=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Ax-b=0 \Rightarrow Ax-b=A~x <=> Ax=A~x+b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow W_b=W_0+b \end{eqnarray*}$
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