UVR aller Polynome

21.11.2007, 22:30

zeusosc

UVR aller Polynome

Hallooo,
ich habe hier eine Aufgabe, der threadtitle sagt es schon, in welcher zu zeigen ist das es der unterraum aller polynome vom grad höchstens 3 ist.
Ich habe mich schon a bissl im Forum diesbezgl. umgesehen, bin aber unsicher,..

$\begin{eqnarray*} \text{Sei }\mathbb{R}[t]\text{ und seien } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_1=(1-t)^3,\, v_2=(1-t)^2,\, v_3=(1-t),\, v_4=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Zeigen Sie }span(v_1,v_2,v_3,v_4)\text{ ist UVR aller Polynome vom Grad höchstens drei.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Zuerst bilde ich die Linearkombination des spans: } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} span(v_1,v_2,v_3,v_4)=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \alpha_3v_3+\alpha_4v_4=\ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ldots=(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4)-t(3\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_1)+t^2(3\alpha_1+\alpha_2)-\alpha_3t^3=\ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{zwecks koeffizientenvergleich setze ich gleich:} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ldots=\lambda_1+\lambda_2t+\lambda_3t^2+\lambda_4t^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_2=-3\alpha_1-2\alpha_2-\alpha_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_3=3\alpha_1+\alpha_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_4=-\alpha_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{und:} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha_1=-\lambda_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha_2=\lambda_3+3\lambda_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha_3=\lambda_2-\lambda_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha_4=\lambda_1-2\lambda_4-\lambda_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{wenn }span(v_1,v_2,v_3,v_4)=UVR\text{ dann muss geprüft werden ob:} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \textbf{i) }0\in span(v_1,\ldots,v_4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \textbf{ii) }p(x),p(y)\in span(v_1,\ldots,v_4)\Rightarrow p(x+y)\in span(v_1,\ldots,v_4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \textbf{iii) }p(x)\in span(v_1,\ldots,v_4),\,\beta\in\mathbb{R}\Rightarrow p(\beta\cdot x)=\beta\cdot p(x)\in span(v_1,\ldots,v_4) \end{eqnarray*}$

zu erstens: muss ich die lambda suchen die die gleichung
$\begin{eqnarray*} p(t)=0 \end{eqnarray*}$ erfüllen suchen??

wenn ja, dann: $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0 \end{eqnarray*}$
und auch $\begin{eqnarray*} \alpha_i=0\forall i\in\{1,\ldots,4\} \end{eqnarray*}$

zu zweitens: muss ich annehmen das diese ungleich sind (wenn ja, ist doch aber im selben span)?? hier an der stelle bräucht ich wohl dringen hilfe:
$\begin{eqnarray*} p(x)+p(y)=(\lambda_1+\lambda_2x+\lambda_3x^2+\lambda_4x^3)+ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (\lambda_1+\lambda_2y+\lambda_3y^2+\lambda_4y^3)= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(2\lambda_1+\ldots +\lambda_4(x^3+y^3)) \end{eqnarray*}$

zu drittens: wegen distributivität trivial,...

vieeeeeeeeeeeeelen dank schon mal,... Gott

21.11.2007, 22:34

tigerbine

UVR aller Polynome

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