linear unabhängig problem |
| 19.04.2005, 17:24 | gasst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| linear unabhängig problem die vektoren v1:=(1,1,1), v2:=(2,0,2), v3:=(,-1,-2,1) und v4:= (0,0,3) erzeugen eine untergruppe G von Z³. Z:=ganze zahlen. jetzt kommt mein problem. was linear unabhängig heisst weiss ich wohl und diese vier vektoren müssen doch linear abhängig sein,oder? ist ja dim 3. aber nach definition sind die vektoren linear unabhängig falls a*v1+b*v2+d*v3+c*v4=0 falls a,b,c,d=0 ist und da soweit ich weiss a,b,c,d element Z seien müssen kommt bei mir raus das die linear unabhängig sind. wo ist mein fehler??? blick da nicht durch. bei mir löst sich das gleichungsystem nur wenn a,b,c,d aus den reellen bzw rationalen zahlen ist. mfg gast |
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| 19.04.2005, 17:27 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
du hat hier keinen vektorraum über einem körper, sondern nur ein modul über dem ring Z. dennoch sollte das eigentlich linear abhängig sein, da du deine gefundenen rationalen koeffizienten entsprechend erweitern könntest. poste doch mal deine rechnung! |
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| 19.04.2005, 17:40 | gasst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hi... ist die definition über einem ring anders als über einem vektorraum? also grossartig gerechnet hab ich nicht, mein ansatz war das ich einen der 4 vektoren durch die anderen drei erzeugen kann. also hab ich folgende gleichungssysteme gelöst: a*v1+b*v2+c*v3=v4 bzw. =v3 , =v2 , =v1 also insgesamt 4 gleichungsysteme aber alle gleichungsysteme gingen nicht auf wenn ich a,b,c,d aus den ganzen zahlen wählen muss. daraus kann man ja schliessen das die vier vektoren linear unabhängig sind aber das kann doch garnicht sein... oder? |
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| 19.04.2005, 17:46 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
da gibt es schon unterschiede! linearkombiniere die 0 aus allen 4 vektoren...... siehe folgendes beispiel: (1/0/0) und (2/0/0) sind zwar linear abhängig über Z, aber das LGS a(2/0/0)=(1/0/0) ist NICHT lösbar in Z. dieser ansatz würde also lin. unabhängigkeit vermuten lassen! denn in einem ring hast du (nicht notwendigeweise) inversen! |
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| 19.04.2005, 17:49 | gasst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
stimmt, hab ich garnicht dran gedacht, aber was mache ich jetzt mit meinen vier vektoren. meine aufgabe ist nämlich zu zeigen ob sie linear abhängig bzw. unabhängig sind und wenn sie lin abhängig sind welchen vektor man streichen kann. wie soll ich das jetzt lösen? |
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| 19.04.2005, 17:52 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
gaussalgorithmus über Z setze eine 3x4-matrix auf (die vektoren als spalten) und forme um..... alternativ: seien die vektoren v1 bis v4 teste jeweils für 3-elementige teilmengen (die du evtl. nach verdacht auswählen kannst) lineare (un) abhängigkeit mfg jochen ps:
um was zu gewährleisten!? du kannst alle streichen!? |
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| 19.04.2005, 17:58 | gasst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ach so ganz vergessen zu sagen, im endeffekt geht es ein minimales erzeugendes system zu finden. das die 4 vektoren ezs sind ist ja klar, die frage war nur ob es minimal ist oder nicht. also nach deinen alternativen ist es also erlaubt a,b,c,d auch aus den reellen zahlen zu wählen, sehe ich das richtig? und wenn ich a,b,c,d aus den reellen zahlen wählen darf bekomme ich ja schnell raus welcher der vier vektoren aus den restlichen drei also linear kombination darstellen lässt. |
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| 19.04.2005, 18:02 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mit irrationalen zahlen wirst du auf jeden fall probleme bekommen! wirst aber auch nie bekommen, wenn du hieraus 0 linearkombinieren willst!" und hier musst du ganz arg unterscheiden zwischen vektorraum und Z-modu (modul über beliebigem ring)l: eine 3-elementige linear unabhängige vektormenge muss (im gegensatz zu einem VR über einem körper) kein erzeugeugendensystem des Z³, sein. {(1/0/0), (0/1/0), (0/0/2)} 3 vektoren linear unabhängig, aber versuch mal (1/1/1) linearzukombinieren..... vielleicht kann da ja jemand anderes noch was zu sagen 
mfg jochen |
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| 19.04.2005, 18:09 | gasst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja es muss kein ezs sein über Z³ , es muss ja nur esz über die untergruppe der Z³ sein. aber wenn die drei vektoren die du genannt hast lin unabhängig sind, hab ich nicht dann schon automatisch ein ezs über Z³? |
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| 19.04.2005, 18:10 | gasst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ach ja was meinst du mit 0 linearkombinationen? |
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| 19.04.2005, 18:20 | gasst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry, das mit 3 vektoren ist ja dann quatsch was ich geschrieben hab. aber wie finde ich jetzt genau raus ob die vier vektoren lin unabhängig sind und wie finde ich heraus was sie genau erzeugen? weil ich soll zu meiner untergruppe G auch ein leichteres minimales ezs geben. |
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| 19.04.2005, 18:24 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also, das diese 3 vektoren oben den Z³ nicht erzeugen, dafür habe ich ja sofort ein beispiel eines nicht erzeugbaren vektors genannt. denke dir statt Z Q (körper) und schon hättest du damit kein problem mehr.... zum EZS will ich hier nichts mehr sagen, da reite ich mich sonst nur in schwierigkeiten 
die lineare (un)abhängigkeit testest du wie in vektorräumen. bei einem vektorraum gilt: sei V={v1,..., vn} vektormenge, die ai seien zu bestimmende skalare aus dem grundkörper (bei dir jetzt eben RING). ist das LGS a1v1+...+anvn=0 (nullvektor) nur trivial (a1=...=an=0) lösbar, so ist die vektormenge V linear unabhängig. gibt es eine nichttriviale lösung, so ist V linear abhängig. mfg jochen |
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| 19.04.2005, 18:30 | gasst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja aber jetzt steh ich ja wieder vor meinem anfangs problem. wenn ich die normale defintion anwende und die ai aus meinem ring Z wähle bekomme ich genau den fall raus das alle ai = 0 sein müssen, brüche wären ja nicht erlaubt als ai. => die vier vektoren sind lin unabhängig oder hab ich mich nur verrechnet, bekommst du ganze zahlen für die ai raus? |
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| 19.04.2005, 18:36 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
habe das nicht gerechnet, aber: nehmen wir an du findest die (rationale!) lösung: a1=7/3 a2=15/26..... dann hast du, da du ein homogenes LGS hast, auch ein vielfaches dieser speziellen lösung als lösung. in diesem fall könnte man also mit dem hauptnenner 78 erweitern und so die ai in die ganzebn zahlen "schieben" mfg jochen |
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| 19.04.2005, 18:49 | gasst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
stimmt das müsste sogar klappen... danke für deine hilfe übrigens... aber welches leichtere ezs ich nehmen kann um die untergruppe G zu erzeugen weisst du nicht zufällig? |
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| 19.04.2005, 18:56 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich bin mir nichtmal sicher, ob die 4 vektoren (:=v1 bis v4) allesamt Z erzeugen..... das sollte zunächst mal sichergestellt werden.... wenn du also viel geduld hast, dann löse av1+bv2+cv3+dv4=(u/v/w)...... allerdings darfst du nicht teilen, das ist nämlich in Z nicht so ohne weiteres erlaubt.... mfg jochen edit: (u,v,w,x) => (u/v/w) geändert |
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| 19.04.2005, 19:01 | gasst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja mittlerweile glaub ich schon fast nicht mehr daran das die vektoren den Z³ aufspannen. aber was meinst du genau mit av1+bv2+cv3+dv4=(u,v,w,x)...... auflösen??? mfg gasst |
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| 19.04.2005, 19:05 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das wäre ein test... du zeigst dass das LGS av1+bv2+cv3+dv4="beliebiger vektor" für alle vektoren aus Z³ (oh sorry ich sehe gerade, da ist eine komponente zu viel! der hintere vektor muss nur (u,v,w) heißen!) mit ganzzahligen koeffizienten lösbar ist. dann wären nämlich v1 bis v4 ein EZS. mfg jochen ps: aber rechnen in Z ist bei solchen dingen wirklich schwerstarbeit lerne aus der sache auf jeden fall, dass ein R-modul und ein K-vektorraum (R ring, K körper) 2 paar schuhe sind! |
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| 19.04.2005, 19:12 | gasst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ach so meinst du das... mit der methode würde man auf jeden fall das richtige rausbekommen aber soviel geduld hab ich glaub ich dann eher nicht
obwohl wenn ich mit den vier vektoren die vektoren (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) erstellen kann dann hab ich ja den Z³ quasi erzeugt aber wenn ich nicht die drei vektoren (1,0,0)... erzeugen kann, kann ich dann draus folgern das ich den Z³ nicht erzeugen kann mit den vier vektoren? |
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| 19.04.2005, 19:14 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja richtig, gute idee....
nehmen wir an, du könntest (1,0,0) nicht erzeugen. kannst du dann den Z³ erzeugen? versuchs mal mit dem vektor (1,0,0) des Z³
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| 19.04.2005, 19:18 | gasst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok... das war ne ziemlich dumme fragen... wenn ich 1,0,0 nicht erzeugen kann ist es ja klar das ich Z³ nicht erzeugen kann. ich werd jetzt mal probieren den vekter (1,0,0) mit meinen vier vektoren zu erzeugen, bin ich mal gespannt ob es geht aber ich schätze mal nach deinem tipp eher nicht
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| 19.04.2005, 19:20 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aber die idee ist wirklich gut! damit kannst du auch lösen, ob es ein kleineres EZS gibt. evtl musst (und kannst) du auch einfach raten.... mfg jochen |
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| 19.04.2005, 19:40 | gasst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok hab jetzt probiert den vektor (1,0,0) zu erzeugen aber ohne brüche hab ich es nicht hinbekommen,folglich wird wohl nicht der Z³ erzeugt. aber wie komme ich jetzt auf das kleinere ezs. ich weiss ja garnicht genau was die 4 vektoren alles erzeugen können. also wenn ich einfach ein weglasse weiss ich garnicht was die anderen drei überhaupt erfüllen müssen. |
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| 19.04.2005, 20:19 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
falls diese 4 vektoren (1/0/0) nicht erzeugen können, dann kann es jede teilmenge dieser 4 auch nicht! eine teilmenge einer menge, die selbst kein EZS ist, kann natürlich kein EZS sein! mfg jochen ps: bitte beachte: ich habe nichts nachgerechnet, sondern rede hier nur theoretisch ich unterstütze also nur deine ideen, nicht deine rechnung selbst. ich sage also nicht, dass deine rechnung richtig ist! |
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