summe der geraden zahlen

22.11.2007, 22:15

gabbo

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summe der geraden zahlen

betrachten sie die summe
$\begin{eqnarray*} s_n=2+4+6+...+2*n,n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$
, d.h. die summe der erten n geraden zahlen.

a) berechnen sie s1,s2,s3,...... so lange, bis sie einen allgemeine gültigen ausdruck für sn vermuten können.

b)beweisen sie diese vermutung durch vollständige induktion.

so, ich weiss nicht was ich mit a) machen soll, ich verstehe nicht so recht was der allgemein gültige ausdruck sein soll???????

verwirrt

verwirrt

22.11.2007, 22:21

vektorraum

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RE: summe der geraden zahlen
Schreibe doch mal $\begin{eqnarray*} s_1, s_2,s_3 \end{eqnarray*}$ hier auf. Siehst du eine allgemeine Bildungsvorschrift?

P.S. die steht eigentlich schon in der Aufgabenstellung Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.11.2007, 22:23

tmo

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kennst du denn die summe der ersten n natürlichen zahlen (vielleicht sogar die legende um gauß) ?.

dann ist das ganz einfach wegen:

$\begin{eqnarray*} (2+4+6+...+2n) = 2(1+2+3+...+n) \end{eqnarray*}$

22.11.2007, 22:25

brain man

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RE: summe der geraden zahlen

Zitat:

Original von vektorraum
Schreibe doch mal $\begin{eqnarray*} s_1, s_2,s_3 \end{eqnarray*}$ hier auf. Siehst du eine allgemeine Bildungsvorschrift?

Ich denke, dass der Hund da nicht begraben liegt. Er wird wohl auch wissen, dass :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~2k \end{eqnarray*}$ gilt.

Um zu einer Aussage zu kommen, die mit VI beweisbar ist, musst du einen "allgemein gültigen Ausdruck" finden.

Tipp :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

22.11.2007, 22:31

gabbo

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ja, das es immer 2*1=2, 2*2=4, 2*3=6, das steht doch in der aufgabe schon mit drin, das soll ich doch wohl nicht als allgemein gültigen ausdruck erkennen, oder doch?

verwirrt

verwirrt

22.11.2007, 22:34

brain man

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Zitat:

Original von gabbo
ja, das es immer 2*1=2, 2*2=4, 2*3=6, das steht doch in der aufgabe schon mit drin, das soll ich doch wohl nicht als allgemein gültigen ausdruck erkennen, oder doch?

Nein, aber du solltest die Posts von tmo und mir erkennen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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22.11.2007, 22:38

gabbo

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jetzt versteh ich nichts mehr, hab ich noch nie gesehen mit dem grossen E, wie das mit dem beweisen vorsich geht hab ich gelesen, kann ich aber nicht so richtig!!

verwirrt

verwirrt

22.11.2007, 22:42

brain man

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Zitat:

Original von gabbo
jetzt versteh ich nichts mehr, hab ich noch nie gesehen mit dem grossen E, wie das mit dem beweisen vorsich geht hab ich gelesen, kann ich aber nicht so richtig!!

Ok, vergessen wir das. Kennst du die Gaußsche Summenformel und deren Beweis? Ohne Summenzeichen (Sigma) :

$\begin{eqnarray*} 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

22.11.2007, 22:44

gabbo

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hab ich gerade gesucht, dachte da eher an eine schöne geschichte, aber nichts gefunden. ok, mal sehen was das ist!!

verwirrt

verwirrt

22.11.2007, 22:47

gabbo

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Allgemein formuliert heißt das, dass ein solches Zahlenpaar für gerade n immer den Wert n + 1 hat und \tfrac n2 Zahlenpaare existieren
das steht bei wikipedia!!

gerade n immer n+1 ???

was soll das alles bedeuten?

verwirrt

verwirrt

22.11.2007, 22:59

gabbo

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ich rechne einfach mal,

$\begin{eqnarray*} \frac{3(3+1)}{2}=6 \end{eqnarray*}$

schön, das sagt mir 3*2=6 und jetzt weiter

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+4=\frac{4(4+1)}{2}=10 \end{eqnarray*}$

soll das nur die abkürzung für 1+2+3+4 sein,

jetzt steht da ja sn=2*1+2*2+2*3+2*4=20 das sagt mit so viel wie, da fehlt geteilt durch 2, aber was soll das nun alles???

-----------------------
also für a) ist dann der gültige ausdruck,

$\begin{eqnarray*} s_n=n(n+1) \end{eqnarray*}$ ?????

verwirrt

verwirrt

22.11.2007, 23:39

brain man

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Zitat:

Original von gabbo
also für a) ist dann der gültige ausdruck,

$\begin{eqnarray*} S_{n}=n(n+1) \end{eqnarray*}$ ?????

Freude

Diesen Ausdruck nur noch mit der Summe gleichsetzen und VI anwenden.

22.11.2007, 23:42

gabbo

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was ist VI ??

ich lese gerade das mit dem beweisen bei wikipedia, mal sehen ob ich von alleine drauf komme.

verwirrt

verwirrt

22.11.2007, 23:46

brain man

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Vollständige Induktion

Du musst beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} 2+4+...+2n=n(n+1) \end{eqnarray*}$ gilt und kannst dabei, darauf zurückgreifen, dass

$\begin{eqnarray*} 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ gilt.

22.11.2007, 23:56

gabbo

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ok, ich habe

$\begin{eqnarray*} s_n=s_1+s_2+s_3+s_4+...+n=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

jetzt soll der beweis aussagen, daß jede auf n folgende zahl zur menge N gehört und das diese formel ihre gültigkeit für jede zahl n+1 behält. oder??

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \end{eqnarray*}$

dann ist der beweis für meine aufgabe:

$\begin{eqnarray*} s_n=2+4+6+8+n*2=n*(n+1)+((n+1)*2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n(n+1)+(n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n(n+2)+(n+1) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

23.11.2007, 09:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von gabbo
dann ist der beweis für meine aufgabe:

$\begin{eqnarray*} s_n=2+4+6+8+n*2=n*(n+1)+((n+1)*2) \end{eqnarray*}$

Unfug.

unglücklich

Fassen wir mal zusammen: Du willst folgende Aussage A(n) für alle n aus N zeigen:

$\begin{eqnarray*} A(n): 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten:
Entweder verwendest du die Beziehung $\begin{eqnarray*} 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ und multiplizierst diese mit 2 oder du zeigst das mit vollständiger Induktion. Dazu mußt du 2 Dinge machen:

1. Induktionsanfang
Zeige, daß die Aussage A(1) wahr ist.

2. Induktionsschritt
Zeige: wenn A(n) wahr ist, dann ist auch A(n+1) wahr.
Dazu solltest du erstmal die Aussage A(n+1) sauber hinschreiben.

23.11.2007, 10:44

gabbo

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so,

$\begin{eqnarray*} s_n=2+4+6+8+n*2=(n+1)*(n+2) \end{eqnarray*}$ ??

verwirrt

verwirrt

23.11.2007, 10:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} A(n): 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

Wie ich oben lang und breit erklärt habe, willst du zeigen, daß die vorstehende Formel gilt. Da kann die Formel nicht auf einmal $\begin{eqnarray*} 2 + 4 + 6 + ... + 2n = (n+1) \cdot (n+2) \end{eqnarray*}$ lauten.

Es wäre auch ganz nett, wenn du auch mal einen Satz Prosa schreibst. Offensichtlich versuchtst du den Induktionsschritt zu machen. Dazu ersetzt du in $\begin{eqnarray*} A(n): 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$ jedes n durch n+1. Soweit gut, nur mußt du das auch auf der linken Seite machen.

23.11.2007, 11:01

gabbo

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so,

$\begin{eqnarray*} s_n=2+4+6+8+2n+(n+1)*2=(n+1)*(n+2) \end{eqnarray*}$ ??

das mit der richtigen schreibweise mache ich gleich!!

so, nun die frage. ist das beweisverfahren nur für die menge N, oder kann man damit auch andere sachen beweisen, wie rational ist nicht irrational und sowas??

verwirrt

verwirrt

23.11.2007, 11:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von gabbo
$\begin{eqnarray*} s_n=2+4+6+8+2n+(n+1)*2=(n+1)*(n+2) \end{eqnarray*}$ ??

Also jetzt schreiben wir das mal richtig:
$\begin{eqnarray*} s_{n+1} = 2+4+6+8+... +2n+2(n+1)=(n+1) \cdot (n+2) \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt aber nicht der Beweis, sondern das ist erst noch zu zeigen.
Dazu nimmst du jetzt die linke Seite und nutzt die vorausgesetzte Gültigkeit von
$\begin{eqnarray*} s_n=2+4+6+8+... +2n=n \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

Das heißt konkret: In
$\begin{eqnarray*} 2+4+6+8+... +2n+2(n+1)=(n+1) \cdot (n+2) \end{eqnarray*}$
nimmst du die Summe $\begin{eqnarray*} 2+4+6+8+... +2n \end{eqnarray*}$ und schreibst dafür $\begin{eqnarray*} n \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von gabbo
so, nun die frage. ist das beweisverfahren nur für die menge N, oder kann man damit auch andere sachen beweisen, wie rational ist nicht irrational und sowas??

Ich weiß jetzt nicht, was du mit "rational ist nicht irrational" meinst, aber im Prinzip ist die vollständige Induktion nur für die natürlichen Zahlen geeignet. Das liegt im wesentlichen daran, daß man die Eigenschaft braucht, daß für es jede Zahl n einen wohldefinierten eindeutigen Nachfolger gibt.

23.11.2007, 11:34

gabbo

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bei mir steht da was von A(1) s1, aber nicht A(1) sn.
soll ich jetzt sn oder s1 beweisen??

verwirrt

verwirrt

23.11.2007, 11:40

klarsoweit

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Du sollst sowohl A(1) zeigen (= Induktionsanfang) als auch A(n) ==> A(n+1) (= Induktionsschritt).

Mehr zur vollständigen Induktion gibt es hier:
[WS] Vollständige Induktion

23.11.2007, 12:17

gabbo

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ich mache das mal so, wie es in meinem buch steht!

I. induktionsanfang:

zu zeigen: A(1),d.h., $\begin{eqnarray*} s_1=2*1=2 \end{eqnarray*}$

nachweis: $\begin{eqnarray*} s_1=1*2=2 \end{eqnarray*}$ nach definition der summe $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$

II. induktionsschluss: A(k)\Rightarrow A(k+1)

ind.-voraussetzung: $\begin{eqnarray*} A(k),d.h.,s_k=2k \end{eqnarray*}$

zu zeigen (ind.-folgerung): $\begin{eqnarray*} A(k+1),d.h.,s_{k+1}=2(k+1) \end{eqnarray*}$

nachweis: $\begin{eqnarray*} s_{k+1}=s_k+(k+1)(k+2) \end{eqnarray*}$

ich muss jetzt weg, die formel muss noch weiter aufgelöst werden!! mach ich später!

verwirrt

verwirrt

23.11.2007, 13:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von gabbo
ind.-voraussetzung: $\begin{eqnarray*} A(k),d.h.,s_k=2k \end{eqnarray*}$

zu zeigen (ind.-folgerung): $\begin{eqnarray*} A(k+1),d.h.,s_{k+1}=2(k+1) \end{eqnarray*}$

unglücklich

Wir waren uns doch einig, daß $\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} s_{k+1} \end{eqnarray*}$ Summen sind. Also:
$\begin{eqnarray*} s_k = 2+4+6+...+2k \end{eqnarray*}$
Analoges für $\begin{eqnarray*} s_{k+1} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von gabbo
nachweis: $\begin{eqnarray*} s_{k+1}=s_k+(k+1)(k+2) \end{eqnarray*}$

Unfug. Es ist
$\begin{eqnarray*} s_{k+1} = 2+4+6+...+2k+2(k+1) = s_k + 2(k+1) \end{eqnarray*}$

Und jetzt kommt die Preisfrage: Was darfst du laut Induktionsvoraussetzung auch für s_k schreiben?

23.11.2007, 19:57

gabbo

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hm.... ja was darf ich schreiben?

das,

$\begin{eqnarray*} s_{k+1}=(k+1)(k+2) \end{eqnarray*}$

aber das gilt für die folgerung!

verwirrt

verwirrt

23.11.2007, 21:20

gabbo

Auf diesen Beitrag antworten »

so muss das jetzt stimmen,

I. induktionsanfang:

zu zeigen: A(1),d.h., $\begin{eqnarray*} s_1=1(1+1)=2 \end{eqnarray*}$

nachweis: $\begin{eqnarray*} s_1=1(1+1)=2 \end{eqnarray*}$ nach definition der summe $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$

II. induktionsschluss: $\begin{eqnarray*} A(k)\Rightarrow A(k+1) \end{eqnarray*}$

ind.-voraussetzung: $\begin{eqnarray*} A(k),d.h.,s_k=n(n+1) \end{eqnarray*}$

zu zeigen (ind.-folgerung): $\begin{eqnarray*} A(k+1),d.h.,s_{k+1}=(k+1)(k+2) \end{eqnarray*}$

nachweis: $\begin{eqnarray*} s_{k+1}=k(k+1)+2(k+1)=k²+3k+2 \end{eqnarray*}$ bedingung erfüllt.

so, ich hab da was falsch gelesen!!! jetzt muss es stimmen!!!
warum muss man die klammern auflösen??? reicht nicht einfach k(k+1)+2(k+1) ???

verwirrt

verwirrt

24.11.2007, 13:45

gabbo

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo!!
ist das jetzt richtig???

verwirrt

verwirrt

24.11.2007, 14:01

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

du hast ja geschrieben:

$\begin{eqnarray*} s_{k+1} = k(k+1) + 2(k+1) \end{eqnarray*}$

was auch richtig ist.
aber jetzt würde ich nicht ausmultiplizieren, sondern im gegenteil sogar noch weiter ausklammern, nämlich (k+1).
danach ist der beweis auch schon abgeschlossen.

24.11.2007, 14:12

gabbo

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab doch alles ausgeklammert mit k²+3k+2, weiter geht es doch nicht!!

verwirrt

verwirrt

24.11.2007, 14:20

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

ausklammern: $\begin{eqnarray*} ab+ac = a(b+c) \end{eqnarray*}$ . also von links nach rechts.

von rechts nach links (also das, was du gemacht hast) heißt es ausmultiplizieren.

24.11.2007, 14:31

gabbo

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist doch alles falsch, muss nochmal nachlesen

verwirrt

verwirrt

ich weiss jetzt echt nicht was gemeint ist!!

verwirrt

verwirrt

also ich hab doch alles schon in klammern da stehen, was soll ich denn noch machen und warum überhaupt????

verwirrt

verwirrt

so ,jetzt aber!!!

(k+1)(2+k)!!!!!!!!!!!!!!!

verwirrt

verwirrt

I. induktionsanfang:

zu zeigen: A(1),d.h., $\begin{eqnarray*} s_1=1(1+1)=2 \end{eqnarray*}$

nachweis: $\begin{eqnarray*} s_1=1(1+1)=2 \end{eqnarray*}$ nach definition der summe $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$

II. induktionsschluss: $\begin{eqnarray*} A(k)\Rightarrow A(k+1) \end{eqnarray*}$

ind.-voraussetzung: $\begin{eqnarray*} A(k),d.h.,s_k=n(n+1) \end{eqnarray*}$

zu zeigen (ind.-folgerung): $\begin{eqnarray*} A(k+1),d.h.,s_{k+1}=(k+1)(k+2) \end{eqnarray*}$

nachweis: $\begin{eqnarray*} s_{k+1}=k(k+1)+2(k+1)=(k+1)(k+2) \end{eqnarray*}$ bedingung erfüllt.

24.11.2007, 16:01

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

@gabbo: Verwarnung: es bringt nichts, wenn du hier zig Posts machst ohne tieferen Sinn. Deshalb habe ich deine Posts von den letzten beiden Stunden zusammengefügt um die Übersichtlichkeit zu erhöhen.

Das soll hier schließlich kein Monolog werden Lehrer

Lehrer

24.11.2007, 16:11

gabbo

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, !!

aber jetzt ist es doch richtig?? oder??

verwirrt

verwirrt

24.11.2007, 16:12

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, wobei da noch ein tippfehler o.ä. vorliegt in der induktionsvorraussetzung.

24.11.2007, 16:47

gabbo

Auf diesen Beitrag antworten »

nur noch n mit k ersetzten!! ziel erreicht!! yuhuuuu!!!

vieeelen dank!!!!!!!!!

Freude

Freude

Freude

Freude

Freude

Freude

Freude

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