Probleme mit Achteck und Verdrängung

21.02.2004, 13:20

Nixwiss

Probleme mit Achteck und Verdrängung

Hi @all,
ich habe mit 2 Aufgaben Probleme:

"Eine Marmorsäule hat ein regelmäßiges Achteck mit a=60cm als Grundfläche.

Berechne das Säulenvolumen, wenn die Säule 4,2m hoch ist."

In meiner Formelsammlung stehen lediglich die Formlen für ein regelmäßiges dreiseitiges und sechsseitiges Prisma drin. X( unglücklich

Da die Formel fürs Volumen vom Prisma V=G (Grundfläche) * Höhe ist, habe ich versucht, die Grundfläche mit den n-Eck Formeln auszurechnen (A=n (anzahl der ecken) :2 * a *r1 (Innenkreisradius).

Und da liegt das Problem: Wie bekomme ich den Innenkreis ausgerechnet, bzw. gibt es Formeln fürs 8 seitige Prisma oder eine, wie man an einem n-Eck den Innenkreisradius berehnet.

Die 2te Aufgabe:

"Wenn ein Körper im Wasser schwimmt, so ist seine Masse gleich groß der Masse des von ihm verdrängten Wassers:

Schwimmt eine Hohlkugel aus Eisen mit dem äußeren Durchmesser d=10cm und der wandstärke 4 mm im Wasser, wenn 1cm³ Eisen 7,9g wiegt?"

Zunächst habe ich das gesamt Volumen berechnet, und dann das Volumen des hohlen Teils der Kugel davon abgezogen. Nun habe ich das Gewicht der Kugel ~915g.
Nur wie soll ich jetzt herausfinden ob die Kugel schwimmt, was muss ich nun rechnen?

21.02.2004, 20:17

Poff

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RE: Probleme mit Achteck und Verdrängung
Teil 1)
Unter der Voraussetzung mit 'a' ist die Länge der einzelnen
Außenkannten gemeint und NICHT der Radius des Umkreises.

Regelmäßiges Achteck heißt, Innenwinkel eines jeden der insgesamt
8 gleichschenkligen Dreiecke beträgt 360°/8=45°

Für die Höhe eines solchen Teidreiecks gilt dann
(a/2)/h = tan(45°/2)
h = (a/2) / tan(45°/2) = a / (2*tan(22.5°))

F(Teildreieck) = a * h/2 = a² / (4*tan(22.5°))
F(Gesamt) = 8 * F(Teil..) = 4a² / tan(22.5°) = 2*3600/0,41421 cm² =
17382,34 cm²

V= G*h = 17382,34 cm² * 420 cm = 7300582,8 cm³ = 7300,582 Ltr =
7,3 m³

21.02.2004, 20:24

Nixwiss

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RE: Probleme mit Achteck und Verdrängung

Zitat:

Original von Poff
Teil 1)
Unter der Voraussetzung mit 'a' ist die Länge der einzelnen
Außenkannten gemeint und NICHT der Radius des Umkreises.

Regelmäßiges Achteck heißt, Innenwinkel eines jeden der insgesamt
8 gleichschenkligen Dreiecke beträgt 360°/8=45°

Genau, mit a ist die einzelne Aussenkante gemeint.

Nur habe ich vergessen zu sagen, dass wir weder Sinus, noch Cosinus noch Tangens hatten (wir verwenden Lambacher Schweizer 10, und gehen strikt nach Buch vor, d.h. diese 3 Themen kommen erst danach dran).

Könntest du mir auch den Rechenweg ohne Tan, Sin und Cos angeben?

Das Ergebnis stimmt, wir haben die Lösungen gesagt bekommen, nur halt ohne Rechenweg.

21.02.2004, 20:54

Poff

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RE: Probleme mit Achteck und Verdrängung
Teil 2)

Volumen Eisenmasse = V(Kugel) - V(Hohlkugelraum) =
V(Kugel R= 5cm) - V(Kugel R = 4,6cm) =
4/3 * Pi * (5cm)³ - 4/3 * Pi * (4,6cm)³ = 523,599cm³ - 407,720cm³
= 115,879 cm³

Gewicht(EisenHohlkugel) = V * (spezGewEisen) =
115,879cm³ * 7,9gr/cm³ = 915,444gr

Der max Auftrieb der GesamtKugel mit dem Volumen 523,599cm³
entspricht dem Gewicht der max durch die Kugel verdrängten
Flüssigkeit, in diesem Falle Wasser.

Wasser vom Volumen 523,599cm³ wiegt (spezGew Wasser =1gr/cm³)
gerade 523,599gr und reicht damit nicht aus um den Abtrieb der
915,444gr wiegenden Kugel aufzuheben.

D.h. die Kugel schwimmt NICHT
...

Nachtrag zu Teil 1 )

Zitat:

Könntest du mir auch den Rechenweg ohne Tan, Sin und Cos angeben?

die Sekunde fällt mir dazu leider nichts ein, sonst hätte ich's schon
gemacht, denk aber mal drüber nach *g*
...

22.02.2004, 15:57

Poff

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RE: Probleme mit Achteck und Verdrängung

Zitat:

Nixwiss
Könntest du mir auch den Rechenweg ohne Tan, Sin und Cos angeben?

Herkömmlicher Weg, hier die Lösung *gg*

Berechnung der Höhe hc im gleichseitigen Dreieck mit dem spitzen
Winkel von 45° in C, den beiden gleichen Schenkeln a und b und
der Grundlinie AB=c.
Sei M der Mittelpunkt des Umkreises, dann liegt M auf der gesuchten
Höhe hc die hier zugleich Mittelsenkrechte von AB=c ist. Der Fußpunkt
der Höhe hc sei dabei S und die Strecke MS=hc'.

Nach den Gesetzen des Winkels im Umkreis ist der Winkel
AMB = 2*(Winkel in C) = 2*45° = 90°.
Winkel ABM = Winkel MAB = 45° weil Dreieck ABM gleichschenklig und
rechtwinklig ist.

Für Strecke AM=BM=CM=r=(Radius des Umkreises) gilt folglich:
r²+r²=c² bzw r²=c²/2=2c²/4 und damit r = c/2 * sqrt(2)

Wegen Winkel MAS = Winkel MAB = 45° ist auch Winkel SMA = 45°
und damit ist Dreieck ASM gleichschenklig.
Folglich ist Strecke hc' =MS=SA=AB/2 = c/2

Für die gesuchte Höhe hc ergibt sich damit:
hc =hc'+CM=hc'+r= c/2 + c/2 * sqrt(2) = c/2 * (1+sqrt(2)) also
hc = c/2 * (1+sqrt(2))
------------------------------------

Für deinen anderen Fall demnach
h = ha = a/2 * (1+sqrt(2)) = [[30cm*(1+sqrt(2))]]

F(Gesamt)=8*a*ha/2 =4*a*ha=2*a² *(1+sqrt(2))
V(cm³)=2*a² *(1+sqrt(2))*420=3024000*(1+sqrt(2))cm³ oder

V(Säule in m³) = 3,024*(1+sqrt(2))m³
========================

ich kann mir allerdings nicht denken, dass der Lehrer das ernsthaft
von euch verlangt haben sollte.
Es sei denn es gibt einen anderen direkteren Weg, die Grundfläche
oder die Höhe im Bestimmungsdreieck zu ermitteln, den du dann

aber BITTE hier auch mal posten möchtest ...
...

25.02.2004, 21:28

nixwiss

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kam in der arbeit nichtdran, zum glück
aber sollte ich die lösung mal bekommen, poste ich sie

09.05.2004, 19:20

knutschi

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Konstruiere ein regelmäßiges dreieck
Hallo!
ich bin nich grad die beste in mathe und bin aufm gymi.
Und ich krieg irgendwie einfach kein regelmäßiges achteck hin!
kann mir einer sagen wie das geht???
ciaoiii mb knutschi

14.08.2006, 09:41

Gast Malo

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RE: Probleme mit Achteck...
Hi Leute!
Also mal nischt für ungut ;-) ihr postet hier dumm in der Weltgeschichte rum anstatt mal "Regelmäßiges Achteck" bei Google einzugeben und unter "mathematische-Basteleien.de\achteck.htm" nachzusehen. Da habt ihr alle benötigten Formeln OHNE sin cos tan usw.!!
Damit habt ihr innerhalb von 2 min die Grundfläche und das Volumen berechnet und Euch nicht den Kopf zerbrochen.
Und DAS kann man von einem Schüler in diesem Ausbildungsstand schon erwarten.
Aber: "warum denn einfach wenns auch umständlich geht" Hammer