Erwartungswert und Varianz

23.11.2007, 16:08

ameise1984

Erwartungswert und Varianz

Hallo,
ich habe folgendes Problem:

1. X sei eine reelle ZV. Überprüfe ob in dem Fall

X = exp(Y) für eine Normal(0,1)-verteilte ZV Y

der EW(X) und die Var(X) existieren!

ich weiß leider nicht wie ich das Intergral von -unendlich bis +unendlich von x*exp(exp(-x²/2)) berechen kann?

Vielleicht Substitution von x² durch u ??? Habe ich aber auch schon versucht und komme nicht weiter...

Vielen dank schonmal...

gruss

23.11.2007, 17:25

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Zitat:

Original von ameise1984
ich weiß leider nicht wie ich das Intergral von -unendlich bis +unendlich von x*exp(exp(-x²/2)) berechen kann?

Ich auch nicht - wozu auch? Berechnen musst du doch ein ganz anderes Integral:

$\begin{eqnarray*} E(X) = E(\exp(Y)) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ \exp(y)\cdot f_Y(y) ~ \dd y = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ \exp(y)\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{y^2}{2} \right) ~ \dd y \end{eqnarray*}$ .

Wie du auf den anderen Ausdruck gekommen bist, ahne ich nur mit Schrecken ... vergiss das mal lieber ganz schnell.

23.11.2007, 20:18

ameise1984

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oh ja, so sieht das ganze schon besser aus...vielen dank...
aber leider bin ich trotzdem nicht fähig dieses Integral zu berechnen...mit partieller integration komm ich nicht weit...substitution??

23.11.2007, 20:26

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Im Integranden: Zusammenfassen mit quadratischer Ergänzung:

$\begin{eqnarray*} \exp(y)\cdot \exp\left( -\frac{y^2}{2} \right) = \exp\left( y - \frac{y^2}{2} \right) = \exp\left( -\frac{y^2-2y+1-1}{2} \right) = \exp\left( -\frac{(y-1)^2}{2} \right) \cdot \exp\left( \frac{1}{2} \right) \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt kannst du substituieren und anschließend dann an die Gesamtwkt der Normalverteilung denken, also

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{z^2}{2} \right) ~ \dd z = 1 \end{eqnarray*}$ .

23.11.2007, 20:31

ushi

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$\begin{eqnarray*} e^a\cdot e^b=e^{a+b} \end{eqnarray*}$

oh, zu spät.

25.11.2007, 19:05

Andreas79

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Guten Tag,

ich habe mal eine Frage zu diesem Thema
Wie bekomme ich die Varianz zu dieser Verteilung?

Erwartungswert kann man ja berechnen, aber die Varianz, kann mir das bitte jemand sagen

Vielen Dank

25.11.2007, 19:08

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Es gilt ja $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X)=E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$ .

Den einen Teil $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ haben wir ja bereits. Und der zweite Teil kann ganz analog berechnet werden:

$\begin{eqnarray*} E(X^2) = E(\exp(2Y)) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ \exp(2y)\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{y^2}{2} \right) ~ \dd y \end{eqnarray*}$

25.11.2007, 19:28

Andreas79

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Guten Tag Arthur,

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Das bringt mich schon auf den richtigen Weg Augenzwinkern

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