Deftige Grenzwertberechnung

24.11.2007, 18:38

jörgen

Deftige Grenzwertberechnung

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} g(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{(1-cos(2x))e^{x+2}}{2sin^2(x)e^{x+3}} \end{eqnarray*}$

die "einfachen" Grenzwert aufgaben bekomm ich berechnet. aber bei dir klinke ich total aus.

liegt vermutlich an dem einschüchterungseffekt der eulenzahl.

wie löst man sowas?

24.11.2007, 18:40

Tomtomtomtom

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Mit kürzen?

Und für cos(2x) gibts nen Additionstheorem.

24.11.2007, 18:58

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Die Threadüberschrift könnte unpassender nicht sein, da $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ eine (bis auf Definitionslücken) konstante Funktion ist... Big Laugh

24.11.2007, 22:05

jörgen

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Zitat:

Original von Tomtomtomtom
Mit kürzen?

Und für cos(2x) gibts nen Additionstheorem.

kürzen.....kann man das $\begin{eqnarray*} e^{x+3} \end{eqnarray*}$ im nenner auch so schreiben: $\begin{eqnarray*} e*e^{x+2} \end{eqnarray*}$ oder wie war die regel mit den exponenten? oder was meintest du wo man kürzen kann?

24.11.2007, 23:25

Airblader

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Zitat:

Original von jörgen
oder wie war die regel mit den exponenten?

Etwas Eigeninitiative wäre doch möglich, oder? Augenzwinkern

air

25.11.2007, 00:25

jörgen

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seh ich das richtig das $\begin{eqnarray*} e^{x+2} = e^{x} * e^{2} \end{eqnarray*}$ ist ?!

25.11.2007, 00:34

tigerbine

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25.11.2007, 02:16

WebFritzi

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Zitat:

Original von jörgen
oder wie war die regel mit den exponenten?

Erst wolte ich schreiben, dass das ja eigentlich eher in die Analysis gehört. Jetzt würde ich noch einen drauflegen und sagen, dass das in die Schul-Analysis gehört.

25.11.2007, 12:23

jörgen

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RE: Deftige Grenzwertberechnung
$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{(1-cos(2x))e^{x+2}}{2sin^2(x)e^{x+3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{(1-(2cos²(x)-1))}{2sin^2(x)*e} \end{eqnarray*}$

hm....und nu?

ich denke mal jetzt müsste es klick machen weil cos und sin in irgendeiner beziehung stehen die das ganze sehr einfach machen, oder?

hab zwar bei wikipedia was dazu gelesen, aber nichts was mir jetzt großartig den "Aha" effekt bringen würde.

25.11.2007, 12:35

pseudo-nym

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Edit: Lös' doch z.B. mal die Klammer auf

Edit2: Darfst du l'Hospital anwenden?

25.11.2007, 12:43

kiste

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$\begin{eqnarray*} \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \end{eqnarray*}$

25.11.2007, 12:45

tmo

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Zitat:

Original von pseudo-nym

Edit2: Darfst du l'Hospital anwenden?

bloß nicht!

einfach den trigonometrischen pythagoras anwenden und dann erhält man einen sehr einfachen grenzübergang wie arthur dent auch schon angemerkt hat.

25.11.2007, 12:46

jörgen

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RE: Deftige Grenzwertberechnung
$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{(1-cos(2x))e^{x+2}}{2sin^2(x)e^{x+3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{(1-(2cos²(x)-1))}{2sin^2(x)*e} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{-(2cos²(x))}{2sin^2(x)*e} \end{eqnarray*}$

so`?

$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{-(2cos²(x))}{2sin^2(x)*e} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2sin²(x) = \frac{-(2cos²(x))}{e} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{-(2cos²(x)) - (2sin²(x))}{e} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

25.11.2007, 12:50

tigerbine

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Zusammenfassung
$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{\Bigl(1-\cos(2x)\Bigr)\cdot e^{x+2}}{2\sin^2(x) \cdot e^{x+3}} \end{eqnarray*}$

Tipp1 (Tomtomtomtom): Kürzen

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{\Bigl(1-\cos(2x)\Bigr)\cdot 1}{2\sin^2(x) \cdot e^{1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2\sin^2(x) \cdot e} \end{eqnarray*}$

Tipp2 (Tomtomtomtom): Additionstheorem

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \cos ( x + y ) = \cos (x) \; \cos(y) - \sin(x) \; \sin(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos ( 2x) = \cos^2 (x) - \sin^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1-\Bigl(\cos^2 (x) - \sin^2(x) \Bigr)}{2\sin^2(x) \cdot e} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1-\cos^2 (x) + \sin^2(x)}{2\sin^2(x) \cdot e} \end{eqnarray*}$

Weiter gilt (Kiste, tmo)

$\begin{eqnarray*} \cos^2 (x) + \sin^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$

Damit also:

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{\sin^2(x) + \sin^2(x)}{2\sin^2(x) \cdot e} \end{eqnarray*}$

Und wir sind beim Kommentar von Arthur Dent angekommen. Also bitte lies doch, was für Dich geschrieben wird. Augenzwinkern

25.11.2007, 12:59

jörgen

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RE: Zusammenfassung
$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1-\cos^2 (x) + \sin^2(x)}{2\sin^2(x) \cdot e} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{\sin^2(x) + \sin^2(x)}{2\sin^2(x) \cdot e} \end{eqnarray*}$

wie wirt den aus 1-cos²(x)+ sin²(x) einfach ein sin²(x) + sin²(x)

?

25.11.2007, 13:10

Airblader

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Zitat:

Weiter gilt (Kiste, tmo)
[...]

!

air

25.11.2007, 13:20

jörgen

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RE: Zusammenfassung
Achso...jetzt seh ich es das erst.

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1-\cos^2 (x) + \sin^2(x)}{2\sin^2(x) \cdot e} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{\sin^2(x) + \sin^2(x)}{2\sin^2(x) \cdot e} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{2\sin^2(x)}{2\sin^2(x) \cdot e} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{ e} \end{eqnarray*}$

damit is das trauerspiel das gelöst oder?
traurig

25.11.2007, 13:22

tigerbine

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RE: Zusammenfassung
Die letzte Gleichheit ist falsch. Denn da darfst Du nicht kürzen. Das verändert die Funktion.Stand aber auch schon da

Zitat:

Arthur Dent

Die Threadüberschrift könnte unpassender nicht sein, da $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ eine (bis auf Definitionslücken) konstante Funktion ist.

Nur weißt Du nun, um was für eine Lücke es sich handelt. Augenzwinkern

25.11.2007, 13:37

jörgen

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RE: Zusammenfassung
ist die hier noch richtig?

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{2\sin^2(x)}{2\sin^2(x) \cdot e} \end{eqnarray*}$

konstante funktionen mit lücken sind behebbar? d.h. ich muss für die definitionslücken einfach durch erweitern des definitionsbereiches die lücken mit werten die passen setzen?!?

25.11.2007, 13:57

tigerbine

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Ich sagte doch, dass der Fehler in der letzten Zeile liegt. unglücklich

Hier soll ja nun ein Grenzwert betrachtet werden. Da gilt dann:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~g(x) = \lim_{x \to 0}~\frac{2\sin^2(x) }{2\sin^2(x) \cdot e} =\lim_{x \to 0}~\frac{1}{e} = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

25.11.2007, 14:20

jörgen

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Zitat:

Original von tigerbine
Ich sagte doch, dass der Fehler in der letzten Zeile liegt. unglücklich

ging es jetzt um die vergessenen "lim x->0" vor dem bruch oder was ist das problem? du kommst doch auf 1/e

25.11.2007, 14:30

tigerbine

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Jörgen, es ist alles schon gesagt worden. unglücklich

Und kürzen verändert hier die Funktion (Definitionsmenge) Deswegen geht es nicht. Beim Grenzwert hingegen darf man kürzen.

26.11.2007, 19:18

jörgen

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der groschen mit der konstanten funktion ist bei mir immernoch nicht gefallen.

Aber noch ne andere Frage, wenn ich das ganze gegen 0 laufen lassen, setze ich ja dann für x die zahl 0 ein. sinus von 0 ist null. demnach müsste doch im zähler ne null rauskommen, im nenner dann auch. Also 0/0

ich frag am besten gar nicht ob das falsch ist....kann mir das jemand noch erklären oder wurde das auch schon gesagt?

26.11.2007, 19:37

klarsoweit

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Es wurde eigentlich schon alles gesagt.

Diese Funktion:

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{2\sin^2(x)}{2\sin^2(x) \cdot e} \end{eqnarray*}$

hat eine bestimmte Definitionmenge D. Innerhalb dieser Definitionsmenge darf man kürzen und wir erhalten die konstante Funktion g(x)=1/e.

Bei der Grenzwertbildung braucht man für x nichts einsetzen, da es als Funktionsvariable nicht mehr vorkommt. Demzufolge kann der Ausdruck 0/0 auch nicht auftreten.

26.11.2007, 19:40

tigerbine

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Meine Fresse, entschuldige den derben Ausdruck, aber Du bist echt ein ganz harter. Die Funktion g hat bei x=0 eine Defintionslücke. Nach den ganzen umformungen wissen wir aber, dass sie hebbar ist. Sie besitzt also eine stetige Fortsetzung.

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{2\sin^2(x)}{2\sin^2(x) \cdot e} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat g(x) = \frac{1}{ e} \end{eqnarray*}$

Daher können wir den Grenzwert wie folgt berechnen 8das stand nun auch schon wieder da:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~g(x) = \lim_{x \to 0}~\frac{2\sin^2(x) }{2\sin^2(x) \cdot e} =\lim_{x \to 0}~\frac{1}{e} = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

26.11.2007, 19:59

jörgen

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tut mir auch leid das ich so wenig hang zur mathematik hab, glaub jetzt nicht ich poste hier nur rein um meine hausaufgaben gebacken zu kriegen, ich vergeude auch so sehr viel zeit damit irgendwleche mathesache zu lernen die ich können muss weil ich sie können muss, aber nie brauchen werden.

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~g(x) = \lim_{x \to 0}~\frac{2\sin^2(x) }{2\sin^2(x) \cdot e} =\lim_{x \to 0}~\frac{1}{e} = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

ich seh zwar was du machst, aber die frage die sich mir auftut ist: wenn ich im zähler den wert 2*sin²(x) gegen null laufen lassen, müsste da doch eigentlich eine null am ende stehen....dann da is ja nix anderes übrig?

oder muss ich mir das limes sachen so vorstellen das da 1*( 2*sin²(x)) steht und der term mit dem x einfach verschwindet und deshalb die 1 über bleibt?!

sry das ich deine/eure geduld so strapaziere....

26.11.2007, 20:11

tigerbine

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Dein Problem liegt nicht in der Mathematik, sondern im Zuhören. Bei der Funktion darf nicht gekürzt werden, in der Grenzwertrechnung shcon. Wie oft denn noch? Deswegen steht da eben nicht mehr 0/0. unglücklich

26.11.2007, 20:24

jörgen

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Zitat:

Original von tigerbine
Bei der Funktion darf nicht gekürzt werden, in der Grenzwertrechnung shcon.

das ist doch mal ein satz den ich verstehe smile

, wenn die aussage so schon gemacht wurde habe ich sie nicht verstanden. aber das hört sich doch sehr klar an.

danke tigerbine und auch alle anderen.

26.11.2007, 20:49

tigerbine

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Zitat:

Original von klarsoweit
Es wurde eigentlich schon alles gesagt.

Diese Funktion:

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{2\sin^2(x)}{2\sin^2(x) \cdot e} \end{eqnarray*}$

hat eine bestimmte Definitionmenge D. Innerhalb dieser Definitionsmenge darf man kürzen und wir erhalten die konstante Funktion g(x)=1/e.

Bei der Grenzwertbildung braucht man für x nichts einsetzen, da es als Funktionsvariable nicht mehr vorkommt. Demzufolge kann der Ausdruck 0/0 auch nicht auftreten.

Deinen Aussagen halte ich so für "gefährlich". Ein "öberflöchlicher Leser", wie ggf. unser jörgen ( Mit Zunge

), wird sich das Falsche behalten, dass er "ohne Probleme" kürzen darf und stetige Fortsetzung mit der ursprünglichen Funktion verwechseln. Mit einem sauberen Einleitungssatz bzgl. der Definitionsmenge auf der man die Funktion betrachtet ist es dann natürlich so durchführbar wie Du schreibst.

LG,
tigerbine

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