Konvergiert diese Folge?

24.11.2007, 20:06

MatheErsti

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Konvergiert diese Folge?

Hallo!

Gegeben ist die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1+\sqrt{n}}{x^{2}} \end{eqnarray*}$ .

Konvergiert diese Folge gegen ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

Ich sage ja! smile

smile

Wenn dem so ist, soll ich ein $\begin{eqnarray*} n_0 = n_\epsilon \end{eqnarray*}$ bestimmen, dass $\begin{eqnarray*} \mid a_n - a \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n > n_0 (\epsilon) \end{eqnarray*}$ gilt.

Mein Beweis:

$\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1+\sqrt{n}}{n^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_0 = 1+\epsilon^{-2} \epsilon^{1/2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{1+\sqrt{n}}{n^{2}} - 0 \mid =\frac{1+\sqrt{n}}{n^{2}} < \frac{1+\sqrt{n_0}}{n_0^{2}} < \frac{1+\sqrt{1+\epsilon^{-2}\epsilon^{\frac{1}{2}}} }{1+\epsilon^{-2}\epsilon^{\frac{1}{2}}} = \epsilon \end{eqnarray*}$

Ist der Beweis Richtig? Aufgabenstellung erfüllt? Fehlt noch was oder habe ich was zuviel geschrieben?

Schonmal danke für eure Hilfe! smile

smile

24.11.2007, 22:51

Dual Space

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RE: Konvergiert diese Folge?

Zitat:

Original von MatheErsti
Gegeben ist die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1+\sqrt{n}}{x^{2}} \end{eqnarray*}$ .

Erstens ist es schlecht, wenn man Tippfehler in der Aufgabe hat und zweitens kann man den Grenzwert mit Schulmitteln (ausklammern) berechnen. Hat man diesen erstmal ist es ein leichtes, dieses $\begin{eqnarray*} n_0(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Bedenke dabei aber, dass es sich dabei um eine natürliche Zahl handeln sollte.

25.11.2007, 14:57

MatheErsti

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Sorry, es sollte natürlich:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1+\sqrt{n}}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ heißen.

Hm... dann ist mein Ansatz falsch, was?

Muss ich anders an die Sache rangehen?

Wie bestimmt ich den Grenzwert denn mit ausklammern? Und wenn ich da was ausklammere muss ich doch für n eine Zahl einsetzen, oder? Nur welche?

Ich denke doch, dass die Gleichung gegen 0 konvergiert... nur wie beweise ich das? Ich dachte, dass was ich da geschrieben habe, wäre so okay...

25.11.2007, 15:02

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1+\sqrt{n}}{n^{2}} = \frac{1}{n^2} + \frac{\sqrt{n}}{n^2} \end{eqnarray*}$

25.11.2007, 15:18

MatheErsti

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Ja, nur welche Zahl muss ich für n eingeben, um den Grenzwert zu erhalten?

Den Grenzwert kann man doch auch durch die erste Ableitung von dem Zähler und dem Nenner erhalten, oder? Nur auch da wieder das Problem, was ich für n einsetzen muss, um den Grenzwert zu erhalten...

25.11.2007, 15:36

Airblader

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Du musst nicht "eine Zahl" einsetzen. Hier geht es um den Grenzwert für n -> oo. Du musst also überlegen: Was passiert mit dem Wert von a(n), wenn du immer größere n einsetzt?

Zähler und Nenner ableiten (Regel von l'Hospital) kannst du genau dann, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner jeweils für sich gegen 0 oder oo gehen, wenn du also den Fall "0/0" oder "oo/oo" vorliegen hast (Das hast du hier übrigens).

Aber mit WebFritzis Tip gehts fast einfacher.

Was passiert mit 1/n² für immer größere n?
Den zweiten Summanden kannst du kürzen und dir dann auch überlegen, was mit dem für immer größere n passiert.

Und dann: Gegen welchen Wert strebt der gesamte Term dann?

air

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26.11.2007, 17:03

MatheErsti

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Hallo,

der Term strebt für immer größere n gegen 0. Das ist mir ja klar. Nur muss ich das nicht auch beweisen? Ich wüsste nicht, wie ein Beweis hierfür auszusehen hat.

Wie ich ja auch in meinem ersten Posting geschrieben habe, muss ich ein $\begin{eqnarray*} n_0 = n_\epsilon \end{eqnarray*}$ bestimmen, dass $\begin{eqnarray*} \mid a_n - a \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n > n_0 (\epsilon) \end{eqnarray*}$ gilt.

Ist meine Antwort für dieses $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ wenigstens richtig? Oder ist auch das falsch? Falls, es auch falsch ist: an welcher Stelle genau muss ich nochmal nachrechnen?

Schöne Grüße!

26.11.2007, 17:17

AD

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Grenzwerte sind über diese "Epsilontik" definiert, ja. Und für einige Grundgrenzwerte wie etwa $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} = 0 \end{eqnarray*}$ für positives reelles $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ kann man das auch so durchziehen.

Aber Grenzwerte komplexerer Terme geht man doch eher über Rechenregeln mit Grenzwerten an, wie z.B. die für die Addition:

Zitat:

Existieren $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} b_n \end{eqnarray*}$ , so existiert auch $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} (a_n+ b_n) \end{eqnarray*}$ , und es gilt

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} (a_n+b_n) = \lim\limits_{n\to\infty} a_n + \lim\limits_{n\to\infty} b_n \end{eqnarray*}$ .

usw. Solche Regeln beweist man einmal, und darf sie dann immer wieder anwenden - ohne Epsilontik!

Es ist nicht falsch, über die Epsilontik zu gehen, aber in den meisten Fällen unnötig und viel zu mühsam. Gibt es einen bestimmten Grund, warum du hier drauf beharrst?

26.11.2007, 17:59

MatheErsti

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Zitat:

Es ist nicht falsch, über die Epsilontik zu gehen, aber in den meisten Fällen unnötig und viel zu mühsam. Gibt es einen bestimmten Grund, warum du hier drauf beharrst?

Ich verstehe, was du meinst. Und ja es gibt einen Grund: Die Aufgabenstellung. :/ Leider...

26.11.2007, 18:22

MatheErsti

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Wobei mir gerade ein Fehler aufgefallen ist... kann es sein, dass $\begin{eqnarray*} n_0 = \epsilon^{-1\frac{ 1}{2}} \end{eqnarray*}$ ist?

26.11.2007, 21:17

Dual Space

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Ich wiederhole mich: Für gewöhnlich sollte $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl sein. Wie auch immer, sei nun also $\begin{eqnarray*} n_0=\varepsilon^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \end{eqnarray*}$ . Dann sollte also

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{1+\sqrt{n}}{n^2}\right|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n>\varepsilon^{-1/2} \end{eqnarray*}$ sein. Und stimmt das?

26.11.2007, 22:05

MatheErsti

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Okay, dann habe ich die Berechnung von $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ wohl falsch verstanden....

Ich dachte ich muss $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1+\sqrt{n}}{n^{2} } \end{eqnarray*}$ nach n auflösen um $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ zu erhalten... Ich finde nur nichts im Königsberger, wie das genau geht.... Auf welche Weise macht man das denn stattdessen?

26.11.2007, 22:12

tmo

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wenn du nicht das "beste" $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , sondern nur irgendeins angeben sollst, dann schlage ich folgendes vor.

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1+\sqrt{n}}{n^2} = \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

löse nun jeweils

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} < \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n\sqrt{n}} < \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$

nach n auf. das maximum ist dann ein mögliches $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$

26.11.2007, 22:14

AD

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@MatheErsti

Du siehst das viel zu verkrampft: Du sollst nicht das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ bestimmen, so das (blablabla) ...

Nein, du sollst nur ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ betimmen mit ... D.h., wenn es etwas größer ist als der Punkt, wo der "Umschlag" erfolgt, macht das überhaupt nix.

Und hier wäre zweckmäßig, die für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ gültige Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \frac{1+\sqrt{n}}{n^2} \leq \frac{\sqrt{n}+\sqrt{n}}{n^2} = \frac{2}{n^{3/2}} \end{eqnarray*}$

zu nutzen: Ist für irgendwelche n der rechts stehende Ausdruck kleiner als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ , so ist das hinreichend dafür, das auch der linke Ausdruck kleiner als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist. Und

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{n^{3/2}} < \varepsilon \end{eqnarray*}$

lässt sich doch viel einfacher nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ umformen und damit ein passendes $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ finden.

Also: Weg mit der Verkrampfung, und bei den Abschätzungen ruhig klotzen statt kleckern. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: tmos Beitrag zu spät gesehen. Trotz anderer Beschreibung läuft beides letztendlich auf dasselbe hinaus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.11.2007, 12:04

MatheErsti

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Okay, erstmal danke für eure Hilfe und vor allem ein ganz dickes Dankeschön für eure Geduld!

Ich glaube es jetzt verstanden zu haben!

Hier nochmal meine Lösung für die Aufgabe:

Ja, es gibt ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegen dass die Folge konvergiert.

Für immer größere n konvergiert der Wert gegen 0.

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1+\sqrt{n}}{n^2} = \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} < \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow n= \sqrt{\frac{\epsilon}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n\sqrt{n}} < \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow n= (\frac{\epsilon}{2})^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

das max für $\begin{eqnarray*} n= \sqrt{\frac{\epsilon}{2} } \end{eqnarray*}$ ist 1 und das max für $\begin{eqnarray*} n= (\frac{\epsilon}{2})^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls 1.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow n_0= 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{1+\sqrt{n}}{n^{2}} - 0 \mid =\frac{1+\sqrt{n}}{n^{2}} < \frac{1+\sqrt{n_0}}{n_0^{2}} = \frac{1+\sqrt{ \sqrt{\frac{\epsilon}{2} } + (\frac{\epsilon}{2})^{\frac{3}{2}} } }{(\sqrt{\frac{\epsilon}{2} } + (\frac{\epsilon}{2})^{\frac{3}{2}})^2} = \epsilon \end{eqnarray*}$

So, ist das soweit korrekt? Nur das $\begin{eqnarray*} \frac{1+\sqrt{ \sqrt{\frac{\epsilon}{2} } + (\frac{\epsilon}{2})^{\frac{3}{2}} } }{(\sqrt{\frac{\epsilon}{2} } + (\frac{\epsilon}{2})^{\frac{3}{2}})^2} = \epsilon \end{eqnarray*}$ kommt mir etwas seltsam vor, da auf beiden Seiten ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ steht. Es macht sicherlich Sinn, da es ja nur der ausdruck für $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ist.... und so haben wir es in der Vorlesung ja auch aufgeschrieben.

Danke nochmal für eure Hilfe und Geduld! Hoffe es ist jetzt soweit richtig!

Schöne Grüße,

MatheErsti

27.11.2007, 12:10

WebFritzi

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Zitat:

Original von MatheErsti
Danke nochmal für eure Hilfe und Geduld! Hoffe es ist jetzt soweit richtig!

Es tut mir leid, dir sagen zu müssen, dass in deinem letzten Beitrag quasi nichts richtig ist.

EDIT: Zumindest kann ich deine Schritte nicht nachvollziehen.

27.11.2007, 12:26

MatheErsti

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Okay, folgender Behauptung stand an der Tafel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^s} \end{eqnarray*}$ geht gegen 0.

Der Beweis der dazu Stand:
Gegeben $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_0 = [(\frac{1}{\epsilon} )^{1/s}] \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{1}{n^s} -0 \mid = \frac{1}{n^s} < \frac{1}{n_0^s} = \frac{1}{[(\frac{1}{\epsilon}) ^{1/s}]^s} = \epsilon \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt nicht ein Wort weggelassen oder dazugedichtet. Genau so wird doch der Beweis gemacht, oder nicht?

27.11.2007, 14:44

WebFritzi

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Zitat:

Original von MatheErsti
Okay, folgender Behauptung stand an der Tafel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^s} \end{eqnarray*}$ geht gegen 0.

Das stimmt schonmal nicht fuer s = -1. Also war das bestimmt nicht alles, was an der Tafel stand.

Zitat:

Original von MatheErsti
Der Beweis der dazu Stand:
Gegeben $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_0 = [(\frac{1}{\epsilon} )^{1/s}] \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{1}{n^s} -0 \mid = \frac{1}{n^s} < \frac{1}{n_0^s} = \frac{1}{[(\frac{1}{\epsilon}) ^{1/s}]^s} = \epsilon \end{eqnarray*}$

Wenn ihr das bereits bewiesen habt, warum benutzt du es dann nicht? Du musst den Beweis doch nicht nocheinmal machen...

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