Sprungfunktion

26.11.2007, 21:16

Mulder

Sprungfunktion

Hallo,

ich habe mal wieder ein Problem (wär ja auch zu schön, wenn die mal ausblieben):

Folgende Aufgabe gilt es zu lösen:

20 a)

Für einen Körper K und eine Menge M wird zu a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M eine Sprungfunktion $\begin{eqnarray*} f_a : M \to K \end{eqnarray*}$ definiert.

f_a (x) = 0 für alle x Element aus M ausgenommen {a} , f_a (a) = 1

Zeigen Sie: Sind $\begin{eqnarray*} a_1, ... , a_n \in M \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden, so ist das System $\begin{eqnarray*} (f_{a1}, ... , f_{an} \end{eqnarray*}$ im K-Vektorraum $\begin{eqnarray*} K^M \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

20b)

Der $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{[0,1]} \end{eqnarray*}$ (bestehend aus allen Funktionen $\begin{eqnarray*} f: [0,1] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) ist nicht endlich erzeugt - geben Sie eine genaue Begründung.

Habe ich das überhaupt richtig verstaden, dass bei dieser Abbildung alle Punkte aus M in K als Null abgebildet werden? Ausgenommen von a? Oder was meint dsa überhaupt?

Ich hoffe, ihr könnt mir ein wenig weiter helfen.

Edit: Verdammtes Latex. Hier steht die Aufgabe auch noch einmal. Sorry, ich krieg es nicht hin.

26.11.2007, 21:59

Mazze

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Versuch Dir das ganze mal als Basis für einen Vektorraum von Funktionen von [0,1] in die reellen zahlen vorzustellen, dann wird sofort klar warum das ganze nicht endlich erzeugt sein kann. Zur linearen unabhängigkeit :

Du musst zeigen das

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}\lambda_i f_{a_i} = 0 \Rightarrow \lambda_i = 0 \end{eqnarray*}$

gilt. Das ist garnicht so kompliziert wie es aussieht. Nimm einfach an es gäbe zwei
$\begin{eqnarray*} \lambda_i,\lambda_j \neq 0 \end{eqnarray*}$ so das die obige Gleichung gilt und führe dies auf einen Widerspruch damit zurück, das die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden sind.

26.11.2007, 22:36

Mulder

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Hallo Mazze und danke schon mal für deine Antwort.

Zur lin. Unabh.: Dann behält man ja am Ende übrig:

$\begin{eqnarray*} \lambda_i f_{ai} + \lambda_j f_{aj} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Richtig? Allerdings sagt die Tatsache, dass die a's paarweise verschieden sein müssen, doch noch nichts über die f_a's aus oder? Daher sehe ich jetzt irgendwie nicht auf Anhieb, warum das falsch sein sollte, bzw. dass daein Widerspruch gezeigt ist. unglücklich

26.11.2007, 23:00

Mazze

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Zitat:

Richtig? Allerdings sagt die Tatsache, dass die a's paarweise verschieden sein müssen, doch noch nichts über die f_a's aus oder? Daher sehe ich jetzt irgendwie nicht auf Anhieb, warum das falsch sein sollte, bzw. dass daein Widerspruch gezeigt ist.

Behalte stets im Hinterkopf das es sich hier um funktionen handelt. Du nimmst an $\begin{eqnarray*} \lambda_i,\lambda_j \neq 0 \end{eqnarray*}$ und das

$\begin{eqnarray*} \lambda_i f_{a_i} + \lambda_j f_{a_j} = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt überleg dir mal was "punktweise addition" für Funktionen bedeutet. Als Beispiel

$\begin{eqnarray*} x^2 + x \end{eqnarray*}$ an der Stelle 1 ist gleich 2. Wenn jetzt aber $\begin{eqnarray*} a_i \neq a_j \end{eqnarray*}$ was ist dann $\begin{eqnarray*} f_{a_i} + f_{a_j} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

edit :

Ganz wichtiger Hinweis , die 0 bei

$\begin{eqnarray*} \lambda_i f_{a_i} + \lambda_j f_{a_j} = 0 \end{eqnarray*}$

ist die 0-Funktion!

27.11.2007, 09:24

Mulder

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^2 + x \end{eqnarray*}$ an der Stelle 1 ist gleich 2. Wenn jetzt aber $\begin{eqnarray*} a_i \neq a_j \end{eqnarray*}$ was ist dann $\begin{eqnarray*} f_{a_i} + f_{a_j} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Hmm... ich befürchte fast, dass meine ursprüngliche Frage bestehen bleibt. Darf man denn einfach annehmen, dass $\begin{eqnarray*} a_i \neq a_j \end{eqnarray*}$ ? Wir reden ja von "paarweise verschieden". Können a_i und a_j nicht gleich sein? Und noch einmal: Wenn a_i und a_j verschieden sind, warum sind dann zwangsläufig auch f_ai und f_aj verschieden? verwirrt

Zitat:

Ganz wichtiger Hinweis , die 0 bei

$\begin{eqnarray*} \lambda_i f_{a_i} + \lambda_j f_{a_j} = 0 \end{eqnarray*}$

ist die 0-Funktion!

Das ist so wichtig? Hammer

27.11.2007, 09:39

Mazze

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Zitat:

Darf man denn einfach annehmen, dass $\begin{eqnarray*} a_i \neq a_j \end{eqnarray*}$

Zitat:

Zeigen Sie: Sind $\begin{eqnarray*} a_1, ... , a_n \in M \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden, so ist das System $\begin{eqnarray*} (f_{a1}, ... , f_{an} \end{eqnarray*}$ im K-Vektorraum $\begin{eqnarray*} K^M \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Ich stell die Frage mal anders, für welche a,b aus M ist

$\begin{eqnarray*} f_a + f_b = 0 \end{eqnarray*}$

27.11.2007, 09:47

Mulder

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Für die a,b, deren Funktionswert 0 ergibt. Big Laugh

27.11.2007, 09:50

Mazze

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Für a = b und nur dann (!), deshalb heissen die Dinger Sprungfunktionen, sie sind überall 0 bis auf ein, a an diesem Punkt sind sie 1. Und das wird halt mit $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ ausgedrückt.

$\begin{eqnarray*} f_a(a) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_a(b) = 0 b \in M \setminus \{a\} \end{eqnarray*}$

Und jetzt haben wir angenommen das

$\begin{eqnarray*} \lambda_i f_{ai} + \lambda_jf_{aj} = 0 \end{eqnarray*}$

für die $\begin{eqnarray*} \lambda_i,\lambda_j \neq 0 \end{eqnarray*}$ , was heisst das für $\begin{eqnarray*} a_i,a_j \end{eqnarray*}$ ?

27.11.2007, 09:55

Mulder

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Also muss $\begin{eqnarray*} a_i = a_j \end{eqnarray*}$ sein? Oder bin ich nun wieder auf dem falschen Trichter?

27.11.2007, 10:03

Mazze

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Das ist genau das wichtige Argument an der Stelle, zwei Funktionen die an einer Stelle ungleich Null sind, ergeben bei Punktweiser Addition mit Skalar nur dann die Nullfunktion wenn sie an der gleichen Stelle ungleich null sind.

27.11.2007, 10:07

Mulder

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Also, damit das zutrifft, muss a_i = a_j sein und das geht nicht wegen dem "paarweise verschieden" aus der Vorraussetzung, ja? Habe ich diesen Widerspruch da jetzt richtig verstanden?

27.11.2007, 10:10

Mazze

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Zitat:

Also, damit das zutrifft, muss a_i = a_j sein und das geht nicht wegen dem "paarweise verschieden" aus der Vorraussetzung, ja? Habe ich diesen Widerspruch da jetzt richtig verstanden?

Das Argument ist richtig, ob Du es verstanden hast kann ich Dir nicht sagen.

27.11.2007, 10:27

Mulder

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Da bin ich mir auch nicht sicher... Augenzwinkern

Noch einmal zu dem endlich erzeugten: Das muss dann ja in die Richtung gehen, dass man nicht alle Zahlen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von Linearkombinantionen von Vektoren aus diesem Unterraum dartstellen kann, ja?

27.11.2007, 11:43

Mazze

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Überleg Dir einfach wieviele linear unabhängige Sprungfunktionen es in $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ gibt.

Zitat:

Man stellt auch keine Zahlen dar sondern Funktionen..

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