beweis einer linear abbildung

27.11.2007, 18:54

marci_

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beweis einer linear abbildung

guten abend!

könnt ihr vllt. folgendes durschaun:

ich soll untersuchen, ob die abbildungen linear sind $\begin{eqnarray*} (\mathbb C^\infty (\mathbb R) \end{eqnarray*}$ bezeichnet den vektorraum aller beliebig oft stetig differenzierbarer funktionen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich doch für die linearität folgendes untersuchen:

1. $\begin{eqnarray*} f(u+v)=f(u)+f(v) \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} a*f(u)=f(a*u) \end{eqnarray*}$

a) $\begin{eqnarray*} f_1: \mathbb C^\infty (\mathbb R) \to \mathbb C^\infty (\mathbb R): u \to 2u+3 \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} f(u+v)=f(u)+f(v) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(u)=2u+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(v)=2v+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(u+v)=2(u+v)+3 \end{eqnarray*}$

f(u+v) muss f(u)+f(v) sein, dies ist aber falsch, und somit ist $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ nicht linear

b) $\begin{eqnarray*} f_2: \mathbb C^\infty (\mathbb R) \to \mathbb C^\infty (\mathbb R): u \to u' \end{eqnarray*}$

1.
$\begin{eqnarray*} f(u)=2u \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(v)=2v \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(u+v)=2(u+v) \end{eqnarray*}$

hier gilt: $\begin{eqnarray*} f(u+v)=f(u)+f(v) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} af(u)=a*2u \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(au)=2au \end{eqnarray*}$

daraus folgt dass es $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ linear ist

kann ich das so aufschreiben.
in der aufgabenstellung steht noch, dass ich es auch durch ein gegenbeispiel beweisen kann,
wie würde so ein gegenbeispiel bei $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ lauten?

danke und gruß, marci

27.11.2007, 19:02

Leopold

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Um zu zeigen, daß eine Abbildung nicht linear ist, genügt es zu zeigen, daß eine Eigenschaft verletzt ist, die jede lineare Abbildung erfüllen muß. Bei a) wird $\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$ (Nullfunktion) auf $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ (Funktion konstant 3) abgebildet. Jede lineare Abbildung bildet aber das Nullelement auf das Nullelement ab. Also liegt hier keine Linearität vor.

Bei b) verstehe ich nicht, wo du $\begin{eqnarray*} f_2(u) = 2u \end{eqnarray*}$ her hast. Die Abbildung $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ ist doch das Differenzieren. Mehr ist nicht bekannt.

27.11.2007, 19:23

WebFritzi

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Jo, also ist $\begin{eqnarray*} f_2(u) = u'. \end{eqnarray*}$

27.11.2007, 20:34

marci_

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ich hab gedacht:
u=2u+3
u'=2u

oder wie muss ich an das u' rangehen?

28.11.2007, 06:17

Leopold

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Du mußt das hier beachten:

$\begin{eqnarray*} f_2: \ \ C^{\infty}(\mathbb{R}) \to C^{\infty}(\mathbb{R}) \, , \ \ u \mapsto u' \end{eqnarray*}$

Die Abbildungsvorschrift heißt "differenziere" und ist anzuwenden auf über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ unendlich oft differenzierbare Funktionen.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} u = \cos \, , \ \ f_2(u) = -\sin \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} u = \exp \, , \ \ f_2(u) = \exp \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} u = \left( x \mapsto x^3 + x^2 \right) \, , \ \ f_2(u) = \left( x \mapsto 3x^2 + 2x \right) \end{eqnarray*}$

Übrigens heißt das $\begin{eqnarray*} C^{\infty}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^{\infty}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ . Mit komplexen Zahlen hat das nämlich nichts zu tun.

28.11.2007, 18:36

marci_

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heißt das $\begin{eqnarray*} u \to u' \end{eqnarray*}$

ist hier bei mir $\begin{eqnarray*} u \to 2u' \end{eqnarray*}$ ?

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28.11.2007, 19:55

WebFritzi

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Versteh die Frage nicht. u wird einfach auf seine (bzw. ihre) Ableitung u' abgebildet. Ich weiss nicht, was du die ganze Zeit mit dieser 2 willst...

28.11.2007, 20:05

Leopold

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marci_ hat das

$\begin{eqnarray*} f: \ \ C^{\infty}(\mathbb{R}) \to C^{\infty}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$

noch nicht verstanden. Irgendwie und für mich nicht ganz verständlich geistert da so etwas wie

$\begin{eqnarray*} f: \ \ \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

in seinem Kopf herum. Daher noch einmal: Bei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ handelt es sich um eine Abbildung höheren Abstraktionsgrades. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bildet nicht Zahlen auf Zahlen ab, wie man es von reellen Funktionen kennt, sondern Funktionen auf Funktionen. Übrigens glaube ich, daß marci_ auch a) nicht verstanden hat. Allerdings fällt bei jener Aufgabe der Denkfehler nicht auf.

29.11.2007, 21:25

marci_

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also bei a)
die funktion u wird nach 2u+3 abgebildet?

und bei b) die funktion u wird nach u' abgebildet...
also wird die funktion u zu ihrer ableitungsfunktion u' abgebildet?
hab ich das soweit verstanden?

wie geh ich das bei der b) dann an?

danke!

29.11.2007, 21:33

WebFritzi

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Vielleicht machst du erstmal nochmal die (a). Deine Begruendung dort ist nicht ganz sauber. Beachte, dass fuer jede lineare Abbildung F gilt: F(0) = 0 (warum?).

29.11.2007, 22:27

marci_

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zur anschauung stell ich mir das so vor.
linear ist zb: y=x
dann gilt: f(0)=0

und dies ist bei a) nicht der fall

genügt dies als gegenbeispiel, wodurch ich die lineariät widerlegen kann?

29.11.2007, 22:36

WebFritzi

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Ich habe dir in meinem letzten Beitrag eine Frage gestellt, die du nicht beantwortet hast. Beantworte diese bitte. Jetzt stelle ich dir noch eine.

Zitat:

Original von marci_
dann gilt: f(0)=0

und dies ist bei a) nicht der fall

Warum?

29.11.2007, 22:45

marci_

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kann ich da nicht einfach die "0" für u einsetzen ?
und deine frage hab ich mit meiner vorstellung doch beantwortet..
vllt. versteh ichs noch nicht und ich weiß nicht wie ich da rangehen soll...

30.11.2007, 10:33

WebFritzi

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Zitat:

Original von marci_
kann ich da nicht einfach die "0" für u einsetzen ?

Natürlich kannst du das. Und wenn du f1(0) berechnen willst, MUSST du das sogar.

Zitat:

Original von marci_
und deine frage hab ich mit meiner vorstellung doch beantwortet..

Nein, denn wir machen hier keine fröhliche Vorstellungsveranstaltung, sondern Mathematik. Da zählen harte Fakten. Also los. Warum gilt für eine lineare Abbildung f(0) = 0?

30.11.2007, 17:29

marci_

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zu deiner frage:
eine linear abbildung bildet den nullvektor zwischen den vektorräumen U und V ab, in dem sie den nullvektor von U auf den nullvektor von V abbildet.

beantwortet dies deine frage?

30.11.2007, 17:42

WebFritzi

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Zitat:

Original von marci_
zu deiner frage:
eine linear abbildung bildet den nullvektor zwischen den vektorräumen U und V ab, in dem sie den nullvektor von U auf den nullvektor von V abbildet.

beantwortet dies deine frage?

Nein, denn das ist (wenn auch falsch ausgedrueckt) die Behauptung. Ich hatte dich gefragt, WARUM das so ist?

30.11.2007, 18:57

marci_

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ich weiß es nicht sorry, wo kann ich es nachlesen oder sagst du es mir bitte?

01.12.2007, 13:52

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} F(\vec 0) = F(0\cdot\vec 0) = 0\cdot F(\vec 0) = \vec 0. \end{eqnarray*}$

02.12.2007, 00:51

marci_

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okei dankeschön!
du hast es dann so gemacht:

f(k*v)=k*f(v) wobei k =0

und wie wend ich das bzw. wie lös ich die aufgabe vom anfang?:

$\begin{eqnarray*} C^{\infty}(\mathbb R) \to C^{\infty}(\mathbb R): u \to u' \end{eqnarray*}$

02.12.2007, 08:22

Leopold

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Eigentlich ist da gar nichts zu rechnen. Du mußt nur die zwei elementarsten und bekanntesten Ableitungsregeln in der Sprache der Linearen Algebra interpretieren.

02.12.2007, 20:52

marci_

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heißt das:
f'(u+v)=f'(u)+f'(v)
f'(k*u)=k*f'(u)

und das ist schon der beweis!?

02.12.2007, 20:57

Leopold

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Nein. Die Abbildungsvorschrift heißt

$\begin{eqnarray*} f(u) = u' \end{eqnarray*}$

So etwas wie $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ ist in diesem Zusammenhang sinnlos. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist, was zu zeigen ist, eine lineare Abbildung von $\begin{eqnarray*} V = C^{\infty}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ in sich, ein sogenannter Endomorphismus von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

EDIT

Beispiele für die Wirkungsweise von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(\sin) = \cos \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\cos^2) = -2 \sin \cos \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x \mapsto x^3) = (x \mapsto 3x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt einfach: "differenziere".

02.12.2007, 21:13

marci_

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allgemein gilt ja:
f(u+v)=f(u)+f(v)
f(k*u)=k*f(u)

heißt es dann:

f(u'+v')=f(u')+f(v')
f(k*u')=k*f(u')

?

deine beispiele sind mir alle klar, nur der beweis nicht...
aber ich hoffe, es jetzt richtig gemacht zu haben...

02.12.2007, 21:19

Leopold

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Hier die Antwort:

$\begin{eqnarray*} f(u+v) = (u+v)' = u'+v' = f(u) + f(v) \ \ \text{(Summenregel der Differentiation)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\lambda u ) = (\lambda u)' = \lambda \cdot u' = \lambda f(u) \ \ \text{(Faktorregel der Differentiation)} \end{eqnarray*}$

Die Summenregel und die Faktorregel kennzeichnen den Differentiationsprozeß als linearen Prozeß. Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gerade dieser Differentiationsprozeß ist, heißt das: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist linear.

03.12.2007, 00:22

marci_

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okei dankeschön leopold!
jetzt wenn ichs lese ist mir das alles klar, aber es so aufzuschreiben, bzw. zu wissen wie ichs aufschreiben muss, da hab ich ein problem!

die nächste aufgabe (ich mach keinne extra thread auf...)

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2: \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 3x+2y\\ x+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist nicht linear, weil es den nullvektor nicht auf sich selbst abbildet.
das konnte ich durch ein gegenbeispiel beweisen, fiel mir persönlich nicht so schwer, wenn ich allerding die nächste anschau, weiß ich wieder nicht wie ichs machen soll und bitte erneut um hilfe =):

$\begin{eqnarray*} f_2: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2: \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 3x+2y\\ x+2y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

es gilt, wie immer:
$\begin{eqnarray*} f(u+v)=f(u)+f(v) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(k*u)=k*f(u) \end{eqnarray*}$

aber was ist hier mein u bzw. v?

vielen dank schonmal!

gruß, marci

03.12.2007, 07:11

Leopold

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Zitat:

Original von marci_
es gilt, wie immer:

Diese Wortwahl ist schon verräterisch. Das gilt nämlich gerade nicht "von alleine". Richtig müßte es heißen:

Es ist, wie immer, nachzuweisen:

Jetzt schreibe:

$\begin{eqnarray*} u = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \, , \ \ v = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und berechne einerseits $\begin{eqnarray*} f(u)+f(v) \end{eqnarray*}$ , andererseits $\begin{eqnarray*} f(u+v) \end{eqnarray*}$ . Und nur wenn beide Terme dasselbe liefern, ist $\begin{eqnarray*} f(u+v) = f(u) + f(v) \end{eqnarray*}$ nachgewiesen. Analog dann mit $\begin{eqnarray*} f(\lambda u) \end{eqnarray*}$ .

03.12.2007, 22:16

marci_

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ist $\begin{eqnarray*} f(u)=f(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f(v)=f(\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} f(u)=f(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} )=(\begin{pmatrix} 3x_1+2y_1 \\ x_1+2y_1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

das selbe für v und dann ist die summe gleich und das skalare vielfache auch!

stimmt das so, wie ichs gemacht habe?

danke!

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