Ableitung bilden

27.11.2007, 20:05

zwergenaufstand

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was ist die ableitung von?

$\begin{eqnarray*} \frac{x²}{(1+x)²} \end{eqnarray*}$

ich hoffe mir kann da jemand helfen. ich hab es zunächst natürlich mit der quotieten-regel versucht und auf den nenner nochmal seperat die produktregel angewandt, aber was rauskommt ist doch eher unhandlich um auch noch 2.,3. oder gar die 4. ableitung danach zu bilden... Hammer

Hammer

27.11.2007, 20:41

vektorraum

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RE: was ist die ableitung von?
@zwergenaufstand: Neues Thema, neuen Thread aufmachen.

Schreibe bitte erstmal eine Funktion hin, so kann man gar nichts ableiten.

Quotientenregel ist gut. Wo liegt dann das Problem? Produktregel im Nenner würde ich nicht empfehlen, eher die Kettenregel. Poste mal deinen Rechenweg.

01.12.2007, 09:52

zwergenaufstand

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ja sorry, hab vergessen das f (x) davor zu schreiben.

also was ich bisher erreicht hab is folgendes:

$\begin{eqnarray*} v(x)=(1+x²)=(1+x)(1+x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'(x)=u' v + u v' = 1 (1+x) + (1+x) 1=(1+x) + (1+x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x²}{(1+x)²} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{u' v - u v'}{v²} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{2x (1+x) - x² 1}{(1+x)²} \end{eqnarray*}$

is das soweit richtig? hilft mir aber wenig weiter, immerhin will ich auch noch bis zur vierten ableitung weitermachen...wie geht das denn mit der verkettungsregel?

EDIT: Latex verbessert, Zeilenschaltungen entfernt. (klarsoweit)

01.12.2007, 10:24

Musti

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Du hast schon richtig aufgeschrieben wie die Quotientenregel lautet:
Deine ABleitung dagegen ist nicht ganz korrekt.

Nämlich $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\Rightarrow f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2} \end{eqnarray*}$

Nun schreibe dir erstmal hin was was ist.

$\begin{eqnarray*} u(x)=x^2\Rightarrow u'(x)=2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v(x)=(1+x)^2\Rightarrow v'(x)=2(1+x) \end{eqnarray*}$
Durch einsetzen solltest du jetzt deine Ableitung bekommen.

01.12.2007, 10:26

cosku

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formeleinsetung
ich habe keine ahnung wie ich ddas machen soll da ich sowas noch nie vorher gemacht habe LOL Hammer

LOL Hammer

Big Laugh

01.12.2007, 10:30

Musti

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RE: formeleinsetung
Also jemand der die Quotientenregel schon gemacht hat, weiß sicherlich auch wie man einsetzt.

Leichter wie ich es dir gemacht habe, kann man es eigentlich nicht machen.

Du kannst es wenigstens versuchen.

Benutze die Quotientenregel und setze einfach für u(x) das entsprechende ein.

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01.12.2007, 10:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von zwergenaufstand
$\begin{eqnarray*} v(x)=(1+x²)=(1+x)(1+x) \end{eqnarray*}$

Gleich zu Anfang der erste Fehler. Richtig ist:
$\begin{eqnarray*} v(x)=(1+x)^2=(1+x)(1+x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von zwergenaufstand
$\begin{eqnarray*} v'(x)=u' v + u v' \end{eqnarray*}$

Das ist formal unsauber. Es kann nicht v' = u'v + uv' sein. Da mußt du andere Bezeichnungen wählen.

Zitat:

Original von zwergenaufstand
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{u' v - u v'}{v²} \end{eqnarray*}$

Das einzige, was stimmt.

Zitat:

Original von zwergenaufstand
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{2x (1+x) - x² 1}{(1+x)²} \end{eqnarray*}$

Da sind 3 Fehler enthalten. Vergleiche mal mit der Quotientenregel.

Zitat:

Original von zwergenaufstand
wie geht das denn mit der verkettungsregel?

Die könntest du eigentlich im Mathebuch selber nachschauen.
h(x)=f(g(x)) ==> h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)

EDIT: zu spät. Habe offensichtlich zu viel geschrieben. Hammer

Hammer

01.12.2007, 17:26

zwergenaufstand

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ehm, anstatt sich über ein paar formalien zu muckieren, könntest du natürlich auch konstruktiv sagen wie ich die terme auflöse und wieso ich die quotientenregel nich richtig umgesetzt habe. aber darauf hast du keine lust? verwirrt

verwirrt

01.12.2007, 17:35

Musti

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Hier ist niemand verpflichtet dir zu helfen und wenn sich klarsoweit über ein paar "Formalien" äußert, dann nur zu deinem Guten.
Also äußere dich demnächst vorsichtiger.

Mehr als den Tipp von mir kannst du nicht bekommen.

Es kann doch nicht so schwer sein einfach in die Formel der Quotientenregel einzusetzen, was ich dir eh schon ausgerechnet habe.

01.12.2007, 17:35

zwergenaufstand

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RE: formeleinsetung

Zitat:

Original von Musti
Also jemand der die Quotientenregel schon gemacht hat, weiß sicherlich auch wie man einsetzt.

Leichter wie ich es dir gemacht habe, kann man es eigentlich nicht machen.

Du kannst es wenigstens versuchen.

Benutze die Quotientenregel und setze einfach für u(x) das entsprechende ein.

hey, danke soweit schonma smile

smile

ich war übrigens nich der gast Augenzwinkern

Augenzwinkern

also die ableitung von u (x) hab ich mit 2x ja richtig. ich hatte v'(x) falsch. das is also
2(1+x). wenn ich das alles einsetze kommt für die erste ableitung f'(x) also raus:

f' (x) = $\begin{eqnarray*} \frac{2x (1+x)² - x² 2(1+x)}{(1+x)hoch4} \end{eqnarray*}$

wie vereinfache ich diesen term nun am besten?

01.12.2007, 17:38

Musti

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RE: formeleinsetung
kleiner Fehler. Wie lautet v(x)?

Ok du hast es editiert.

Nun kannst du noch zusammenfassen bzw. etwas vorher kürzen.

01.12.2007, 17:51

zwergenaufstand

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du bist schnell, konnts ja grad noch rechtzeitig korrigieren Big Laugh

Big Laugh

mir fiel auch grad auf, dass meine ursprüngliche ableitung von v'(x) ja garnich falsch war. ich hatte (1+x) + (1+x) geschrieben. is ja das selbe wie 2(1+x) smile

smile

naja, ich schreib jetzt erstmal die ganzen (x+1) einzeln hin und kürue die raus. übrig bleibt:

f'(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{2x - x² ((1+x)+(1+x))}{(1+x)²} \end{eqnarray*}$

is das so richtig? dank dir schon ma ganz herzlich so weit smile

smile

wirklick nett, dass du mir hilfst.

01.12.2007, 17:55

Musti

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Nein das ist nicht richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich kann auch nicht ganz nachvollziehen, was du da gemacht hast unglücklich

unglücklich

Du kannst jeweils $\begin{eqnarray*} (1+x) \end{eqnarray*}$ rauskürzen, mehr nicht.

01.12.2007, 18:13

zwergenaufstand

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ich hab im nenner doch 4mal (1+x) stehen. im zähler hab ich 2mal (1+x) stehen, das hab ich miteinander gekürzt. es bleiben zwei (x+1)-terme im nenner stehen, also: (x+1)²
im zähler steht natürlich noch die summe von (1+x) + (1+x) von der ableitung von v'(x)

01.12.2007, 18:15

Musti

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Im Zähler steht aber eine Summe, da darfst du nicht einfach so kürzen.
Deswegen musst du gucken wieviel (1+x) jeder Summand hat und darfst die minimalste Anzahl an (1+x) die ein Summand hat kürzen.

01.12.2007, 18:17

zwergenaufstand

Auf diesen Beitrag antworten »

aber der gesamte zähler is doch keine summe. ich hab natürlich nur das (x+1)² gekürzt, nich die beiden addierten (1+x)

01.12.2007, 18:25

Musti

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Du darfst nicht durch (x+1)^2 kürzen tust du das sieht dein Bruch so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x(1+x)^2-2x^2(x+1)}{(1+x)^4}=\frac{2x-\frac{2x^2}{(1+x)}}{(1+x)^2} \end{eqnarray*}$

Deswegen befolge meinen Rat.

01.12.2007, 20:07

zwergenaufstand

Auf diesen Beitrag antworten »

tu ich ja gern. aber zum teil hab ich es doch auch so gemeint. du kürzt dort ja auch das (1+x)² im zähler gegen (x+1)hoch4 im nenner, das im nenner halt noch (1+x)² übrigbleibt. nur den zusätzlichen bruch im zähler versteh ich grad nich?

01.12.2007, 20:43

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich hab nur deinen Schritt gezeigt. Dieser Bruch im Zähler würde dann bei dir auftauchen.
Deswegen sollst auch nur mit (1+x) kürzen und nicht mit (1+x)^2, sonst haste nämlich den zusätzlichen Bruch im Zähler.

01.12.2007, 22:43

zwergenaufstand

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hm...dann stehen im nenner statt (1+x)hoch4 nur noch (1+x)³...insgesamt also:

$\begin{eqnarray*} f (x) = \frac{2x(1+x) - x²((x+1) + (x+1))}{(1+x)³} \end{eqnarray*}$

auch nich wirklich ideal oder? wenn du es noch anders gedacht, schreib ma bitte explizit hin wie du es meinst smile

smile

01.12.2007, 22:54

Musti

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$\begin{eqnarray*} \frac{2x(1+x)^2-2x^2(x+1)}{(1+x)^4}=\frac{2x(1+x)-2x^2}{(1+x)^3} \end{eqnarray*}$ unglücklich

unglücklich

Nun versuche den Rest alleine zusammenzufassen.

02.12.2007, 14:12

zwergenaufstand

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hi,

ich hab doch beim kürzen tatsächlich vergessen, den entsprechenden term überall wo er im zähler vorkam einmal zu kürzen... Hammer

Hammer

danke für deine zusammenfassung. ich habe

Zitat:

Original von Musti
$\begin{eqnarray*} \frac{2x(1+x)^2-2x^2(x+1)}{(1+x)^4}=\frac{2x(1+x)-2x^2}{(1+x)^3} \end{eqnarray*}$

nun zusammengefasst zu:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{2x + 2x² - 2x²}{(1+x)³} = \frac{2x}{(1+x)³} \end{eqnarray*}$

is das wenigstens richtig?

02.12.2007, 17:17

Musti

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Ja richtig

Demnächst einfach vorher auf meinen Vorschlag eingehen, sonst wird jede Ableitung ein Desaster. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.12.2007, 17:41

zwergenaufstand

Auf diesen Beitrag antworten »

wär ich ja, wenn ich ihn gleich richtig verstanden hätte Big Laugh

Big Laugh

danke dir ganz herzlich schonmal soweit! allerdings muß ich nun auch noch ableitung 2 und 3 bestimmen, da es sich um die entwicklung einer taylor-reihe handelt. vielleicht kannst mir da auch nochmal helfen...

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{2x}{(1+x)³} \end{eqnarray*}$

f''(x) = ?

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{u' v - u v'}{v²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{2 (1+x)³ - 2x 3(1+x)}{(1+x)^9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'' (x) = \frac{ 2 (1+x)² - 6x}{(1+x)^8} \end{eqnarray*}$

yupp, vorschläge wie ich den noch weiter auflöse? smile

smile

02.12.2007, 18:02

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Schon der Anfang ist falsch:

Anscheinend bist du im Umgang mit der Kettenregel noch nicht so gut:
Die Kettenregel lautet: $\begin{eqnarray*} f(x)=g(h(x))\Rightarrow f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x) \end{eqnarray*}$

Also der Anfang müsste so aussehen.

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{2(1+x)^3-2x\cdot 3(1+x)^2}{(1+x)^6} \end{eqnarray*}$

Zum Nenner da gilt das Gesetz: $\begin{eqnarray*} (a^m)^n=a^{m\cdot n} \end{eqnarray*}$

Nun heißt es kürzen

02.12.2007, 18:31

zwergenaufstand

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ich versteh grad nich, warum ich die quotienten-regel nicht wieder anwenden sollte?
ich seh die "verkettung" nich... verwirrt

verwirrt

02.12.2007, 18:32

Musti

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Die Quotientenregel wurde auch angewendet.

Aber um v(x)=(1+x)^3 abzuleiten brauchst du die Kettenregel.

02.12.2007, 18:40

zwergenaufstand

Auf diesen Beitrag antworten »

also, nachdem ich dank deines hinweises die ableitung im zähler und die exponenten-quadrierung im nenner korrigiert hab, kommt nun nach kürzen folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} f'' (x) = \frac{2 (1+x)³ - 2x 3(1+x)²}{(1+x)^6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'' (x) = \frac{2 (1+x) - 6x}{(1+x)^4} \end{eqnarray*}$

02.12.2007, 18:41

zwergenaufstand

Auf diesen Beitrag antworten »

achso, darauf war das bezogen. danke! smile

smile

was sagst du zu meiner ableitung oben jetzt?

02.12.2007, 18:44

zwergenaufstand

Auf diesen Beitrag antworten »

wobei ich bei der anwendung der verkettung-regel, grad nich kapiere, was g ist. ist das die hoch 3? traurig

traurig

02.12.2007, 18:51

zwergenaufstand

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, das mit der verkettung hab ich (mit verzögerung) kapiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber ob ich die ableitung noch weiter vereinfachen kann, kannst du mir nach wie vor gern sagen Big Laugh

Big Laugh

02.12.2007, 19:00

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ausklammern und weiter zusammenfassen. Dann bist du fertig.

02.12.2007, 20:28

zwergenaufstand

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gut, dann mach ich aus:

$\begin{eqnarray*} f (x) = \frac{2 (1+x) - 6x}{(1+x)^{4} } \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} f (x) = \frac{2+2x-6x}{(1+x)^{4} } \end{eqnarray*}$

und das wird zu:

$\begin{eqnarray*} f (x) = \frac{2 - 4x}{(1+x)^{4} } \end{eqnarray*}$

02.12.2007, 20:32

zwergenaufstand

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab jetzt ausmultipliziert, du meintest bestimmt wieder was anderes... Big Laugh

Big Laugh

02.12.2007, 20:33

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

ja so ist richtig und das meinte ich auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

hör bitte auf so viele neue beiträge zu erstellen, du kannst auch editiern.

03.12.2007, 19:29

zwergenaufstand

Auf diesen Beitrag antworten »

wie du siehst editiere ich bereits auch schon "manchmal" Big Laugh

Big Laugh

nein, hast schon recht. ich werd nachträge ab jetzt in andere beiträge mit reinschreiben, wenn sinnvoll.

dir in einem eigenen post nochmal für die hilfe zu danken, is hoffentlich erlaubt Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.12.2007, 20:56

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich soviel lasse ich nochmal durch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

06.12.2007, 20:33

zwergenaufstand

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ich hab jetzt auch noch die dritte ableitung gebildet und würd mich über feedback freuen!

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{2 - 4x}{(1+x) ^{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = \frac{-4(1+x)^{4} - (2-4x) 4(1+x)³}{(1+x)^{8} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = \frac{-4(1+x) - (2-4x) 4}{(1+x)^{5} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{8}{(1+x)^{5} } \end{eqnarray*}$

06.12.2007, 22:15

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von zwergenaufstand
ich hab jetzt auch noch die dritte ableitung gebildet und würd mich über feedback freuen!

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{2 - 4x}{(1+x) ^{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = \frac{-4(1+x)^{4} - (2-4x) 4(1+x)³}{(1+x)^{8} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = \frac{-4(1+x) - (2-4x) 4}{(1+x)^{5} } \end{eqnarray*}$

Bis hierhin richtig.
Falsch zusammengefasst.

07.12.2007, 17:46

zwergenaufstand

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hm, ich dachte mir das ich das -4x mit dem -4x in der klammer und dem minus vor der klammer zu plus mach und sich das beides zu 0 weghebt und ich dann einfach die übrige 2 und die 4 multipliziere...kannst du mir vielleicht sagen, warum das nicht richtig is?

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