konvergiert die Folge? Grenzwertbestimmung

28.11.2007, 09:24

liliane0806

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konvergiert die Folge? Grenzwertbestimmung

hallihallo,

würde gerne werfahren ob diese folge konvergiert oder divergiert. soll ggf. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x) \end{eqnarray*}$ berechnen

$\begin{eqnarray*} f(x) = ( 3 + \frac {1}{x+2})^{2} \end{eqnarray*}$

wenn x nun gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ geht, wird der bruch in der klammer immer kleiner.

der inhalt der klammer gehr also gegen 3

der gesamte term gegen 9

die folge konvergiert gegen 9

28.11.2007, 09:27

klarsoweit

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RE: konvergirt die folge? grenzwertbestimmung
Die "Folge" ist keine Folge, sondern eine Funktion. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten aber richtig. Nur sollte die Begründung etwas besser sein. smile

smile

28.11.2007, 09:40

liliane0806

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RE: konvergirt die folge? grenzwertbestimmung
oohh...

macht es einen unterschied vom ergebnis wenn es heissen würde:

$\begin{eqnarray*} a_n = (3+ \frac {1}{n+2})^2 \end{eqnarray*}$

und ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$ berechnen sollte

tüssi lili

28.11.2007, 09:51

klarsoweit

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RE: konvergirt die folge? grenzwertbestimmung
Im Prinzip gibt es vom Ergebnis keinen Unterschied. Dennoch sollte man Folgen und Funktionen feinfühlig unterscheiden. smile

smile

28.11.2007, 10:20

liliane0806

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RE: konvergirt die folge? grenzwertbestimmung
hätte noch eine folge Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} a_n = n- \frac {(n+1)^2}{n +3} \end{eqnarray*}$

wenn hier n gegen unendlich geht, nähert sich der zähler des bruchs $\begin{eqnarray*} \infty ^2 \end{eqnarray*}$ an. der nenner geht gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . somit wrd der gesamte bruch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und die folge konvergiert gegen 0

in wieweit soll die begründung besser aussehen???ist meine so hässlich?? smile

smile

smile

smile

tüssi lili

28.11.2007, 10:34

klarsoweit

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RE: konvergirt die folge? grenzwertbestimmung

Zitat:

Original von liliane0806
der nenner geht gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . somit wrd der gesamte bruch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und die folge konvergiert gegen 0

Noch so eine schlechte Begründung. Bei $\begin{eqnarray*} a_n = n^2 - n \end{eqnarray*}$ gehen beide Summanden gegen unendlich, die Differenz aber nicht gegen Null.

Tipp: bringe den ersten Summanden auf Hauptnenner und addiere die Brüche.

Zitat:

Original von liliane0806
in wieweit soll die begründung besser aussehen???ist meine so hässlich?? smile

smile

smile

smile

Ein Ausdruck wie "immer kleiner" ist nicht mathematisch greifbar. Bei $\begin{eqnarray*} a_n = -\sqrt n \end{eqnarray*}$ wird die Folge auch immer kleiner, konvergiert aber nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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28.11.2007, 11:05

liliane0806

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RE: konvergirt die folge? grenzwertbestimmung
du meinst so:

$\begin{eqnarray*} a_n =\frac {n}{1} \cdot \frac {n+3}{n+3} - \frac {(n+1)^2}{n+3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac {n^2 + 3n - (n^2 +2n+1)}{n+3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n= \frac {n-1}{n+3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = 1 \end{eqnarray*}$

die folge konvergiert gegen 1

so richtig und besser begründet???

tüssi lili

28.11.2007, 11:14

klarsoweit

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RE: konvergirt die folge? grenzwertbestimmung
Schon besser, aber das letzte Tüpfelchen fehlt noch:

$\begin{eqnarray*} a_n= \frac {n-1}{n+3} = \frac {1-1/n}{1+3/n} \end{eqnarray*}$

Die Brüche 1/n bzw. 3/n konvergieren nach bekannten Grenzwertsätzen gegen Null. Also konvergiert a_n gegen 1 / 1 = 1. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.11.2007, 13:07

liliane0806

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RE: konvergirt die folge? grenzwertbestimmung
wenn ich das ganze auf die erste umüntze:

$\begin{eqnarray*} a_n = (3+\frac{1}{n+2})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (\frac {3n+6 +1}{n+2})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (\frac {3 + \frac {7}{n}}{1+\frac {2}{n}})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} 3^2 =9 \end{eqnarray*}$

bei dieser

$\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt {x+1} + 2\cdot n \end{eqnarray*}$

weiss ich das sie divergent ist. und würde es wieder begründen mit "das geht gegen unendlich " und "das auch"

was wiederum eine verdammt hässliche begründung ist.
ich weiss einfach nicht wie ich das mathematisch ausdrücken soll....

tüssi lili

EDIT: Fehler im Folgenausdruck verbessert (1 statt q). (klarsoweit)

28.11.2007, 13:14

klarsoweit

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RE: konvergirt die folge? grenzwertbestimmung

Zitat:

Original von liliane0806
$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} 3^2 =9 \end{eqnarray*}$

Freude

Zitat:

Original von liliane0806
$\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt {x+1} + 2\cdot n \end{eqnarray*}$

Meintest du $\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt {n+1} + 2\cdot n \end{eqnarray*}$ ?

Du kannst das doch einfach nach unten abschätzen:
$\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt {n+1} + 2\cdot n > n =: b_n \end{eqnarray*}$

Die Folge b_n übersteigt jede beliebige Schranke. Man sagt dafür auch "sie divergiert gegen unendlich". Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.11.2007, 13:30

liliane0806

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ja sicher meinte ich

$\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{n+1} +2 \cdot n \end{eqnarray*}$

ich hab es auf meinen schmierzetteln nur immer mit x aufgeschrieben. ist irgendwie einfacher zu "bearbeiten " für mich

also ist bei der dritten der beweis, das man es sofort sieht, das + und + zu ++ werden ??
Wink

Wink

Wink

das war mal mathe a la lili
Augenzwinkern

Augenzwinkern

wie geh ich den bei reihen vor??

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{1}{k^2+3\cdot k +2} \end{eqnarray*}$

ignorier ich das summenzeichen vorerst einfach ??

tüssi lili

28.11.2007, 13:35

liliane0806

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der bruch hinter dem summenzeichen konvergiert gegen 0

die summe allerdings gegen 1

ich addiere quasi immer kleinere teille zusammen, die aber nie 1 ergeben.

28.11.2007, 14:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von liliane0806
also ist bei der dritten der beweis, das man es sofort sieht, das + und + zu ++ werden ??
Wink

Wink

Wink

das war mal mathe a la lili
Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also ich würde lieber bei meiner Formulierung bleiben. Du darfst dir das so merken, aber in einer Klausur so schreiben würde ich das nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von liliane0806
ignorier ich das summenzeichen vorerst einfach ??

Gute Idee, aber auf Dauer nicht hilfreich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schreibe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2+3\cdot k +2} = \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \end{eqnarray*}$

Schreibe mal die ersten 4 Summenterme hin. Fällt dir etwas auf? Wenn ja, überlege dir eine Formel für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n ~ \frac{1}{k^2+3\cdot k +2} \end{eqnarray*}$

28.11.2007, 15:11

liliane0806

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$\begin{eqnarray*} a_n =\sum _ {k=0} ^n \frac {1}{k^2+3k+2} =\frac {1}{2} - \frac {1}{n+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ divergeirt gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

smile

smile

smile

tüssi lili

28.11.2007, 15:13

liliane0806

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hat gedauert bis ich das kapiert hab

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2+3\cdot k +2} = \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \end{eqnarray*}$

28.11.2007, 15:15

liliane0806

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Zitat:

Original von liliane0806
$\begin{eqnarray*} a_n =\sum _ {k=0} ^n \frac {1}{k^2+3k+2} =\frac {1}{2} - \frac {1}{n+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ divergeirt gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

smile

smile

smile

tüssi lili

ich meinte konvergiert

28.11.2007, 16:25

liliane0806

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Zitat:

Original von liliane0806
hat gedauert bis ich das kapiert hab

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2+3\cdot k +2} = \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \end{eqnarray*}$

obwohl???

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2+3\cdot k +2} = \frac{1}{(k+1) \cdot (k+2)} \end{eqnarray*}$

ok

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{(k+1) \cdot (k+2)} = \frac {k+2-k+1}{(k+1)\cdot (k+2)} \end{eqnarray*}$

das ist aber schon recht seltsam darauf zukommen

$\begin{eqnarray*} \frac {k+2-k+1}{(k+1)\cdot (k+2)} = \frac {1 \cdot (k+2) - 1\cdot (k+1)}{(k+1)\cdot (k+2)} \end{eqnarray*}$

ist wieder ok

$\begin{eqnarray*} \frac {1 \cdot (k+2) - 1\cdot (k+1)}{(k+1)\cdot (k+2)} = \frac {1}{k+1} - \frac {1}{k+2} \end{eqnarray*}$

auch machbar

aber auf

$\begin{eqnarray*} 1= k+2 - k-1 \end{eqnarray*}$

zukommen, find ich schon recht mühevoll

wenn ich nun diese habe:

$\begin{eqnarray*} \sum _{k=1} ^\infty ~ \frac {(3k-2)^2}{(2k-1) \cdot (2k+1)} \end{eqnarray*}$

ignorier ich erst wieder das summenzeichen

$\begin{eqnarray*} \frac {(3k-2)^2}{(2k-1) \cdot (2k+1)} = \frac {9\cdot k^2 - 12 k +4}{4\cdot k^2 - 1} \end{eqnarray*}$

jetzt müsste ich k² ausklammern, richtig

tüssi lili

28.11.2007, 16:40

Hirse

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Zitat:

Original von liliane0806

wenn ich nun diese habe:

$\begin{eqnarray*} \sum _{k=1} ^\infty ~ \frac {(3k-2)^2}{(2k-1) \cdot (2k+1)} \end{eqnarray*}$

... richtig und dann stellst fest, dass die Folge, die da summiert wird keine Nullfolge ist ...

28.11.2007, 19:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von liliane0806
$\begin{eqnarray*} a_n =\sum _ {k=0} ^n \frac {1}{k^2+3k+2} =\frac {1}{2} - \frac {1}{n+2} \end{eqnarray*}$

Nicht ganz richtig, wie man sich mit dem ersten Summanden überzeugen kann:
$\begin{eqnarray*} a_n =\sum _ {k=0} ^n \frac {1}{k^2+3k+2} = 1 - \frac {1}{n+2} \end{eqnarray*}$

Konvergent ist die Summe dann trotzdem. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.11.2007, 19:24

hxh

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wäre doch auch eine teleskoppsumme möglich gewesen oder?

28.11.2007, 21:34

liliane0806

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somit ist dann:

$\begin{eqnarray*} \frac {9k^2 - 12k +4}{4k^2-1} = \frac {k^2 \cdot ( 9- \frac {12}{k}+ \frac {4}{k^2})}{k^2 \cdot (4- \frac {1}{k^2})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {k^2 \cdot ( 9- \frac {12}{k}+ \frac {4}{k^2})}{k^2 \cdot (4- \frac {1}{k^2})} = 1 \cdot \frac {9-\frac {12}{k} + \frac {4}{k^2}}{4- \frac {1}{k^2}} >n =: b_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n \to \infty \end{eqnarray*}$

richtig ausgedrückt??

tüssi lili

28.11.2007, 22:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von liliane0806
$\begin{eqnarray*} 1 \cdot \frac {9-\frac {12}{k} + \frac {4}{k^2}}{4- \frac {1}{k^2}} >n \end{eqnarray*}$

unglücklich

Jetzt schau dir das doch mal genau an. Links steht ein Ausdruck mit k, rechts ein simples n. Wo kommt das n nun auf einmal her? verwirrt

verwirrt

Der linke Ausdruck konvergiert gegen 9/4 und ist also ab irgendeinem k > 1. Damit ist klar, daß die Summe davon beliebig groß wird.

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