Verteilungsdichte, Erwartungswert, Varianz

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vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilungsdichte, Erwartungswert, Varianz
Hi,

wir haben eine Funktion definiert durch:

, falls und , falls .

Als erstes sollen wir zeigen, dass eine Verteilungsdichte ist.

Hierzu habe ich mir folgendes überlegt: f ist stetig. Die Verteilungsdichte ist doch die Ableitung der Verteilungsfunktion. Für die Verteilungsfunktion haben wir charakterisierende Eigenschaften aufgeschrieben (u.a. Monotonie, rechtsseitig stetig, ...). Also dachte ich, man integriert einfach und überprüft dann die Eigenschaften der Verteilungsfunktion nach, und schlußfolgert dann, dass f eine Verteilungsfunktion ist. Ist das erstmal richtig??? Oder wie macht man das geschickter?

Wir haben dann nämlich aufgeschrieben



als Beziehung zwischen Verteilungsfunktion und Verteilungsdichte. Problem: meine Funktion hier einzusetzen ist nicht sehr effektiv. Was kann ich also tun?

Dann soll Erwartungswert und Varianz berechnet werden von obiger Zufallsgröße. Es gilt doch



für den Erwartungswert und



für die Varianz.

Frage: Funktion einsetzen und dann über die Grenzen integrieren? Eigentlich reicht es doch nur von bis zu integrieren, oder???

Muss man eigentlich immer vorher überprüfen, dass



ist?

Danke schonmal für eure Hinweise. Wink
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vektorraum
Hierzu habe ich mir folgendes überlegt: f ist stetig. Die Verteilungsdichte ist doch die Ableitung der Verteilungsfunktion.

... sagen wir's mal so: Fast überall.

Endlich oder sogar abzählbar viele Nichtdifferenzierbarkeitsstellen der VF sind durchaus erlaubt. Man denke nur an die Intervallrandpunkte der stetigen Gleichverteilung.

Zitat:
Original von vektorraum
Also dachte ich, man integriert einfach und überprüft dann die Eigenschaften der Verteilungsfunktion nach, und schlußfolgert dann, dass f eine Verteilungsfunktion ist.

Wenn Integralwert 1 für die gesamte Achse herauskommt, ja. Natürlich sollte die Dichte auch überall nichtnegativ sein.

Zitat:
Original von vektorraum
Problem: meine Funktion hier einzusetzen ist nicht sehr effektiv.

Verstehe ich nicht. unglücklich

Zitat:
Original von vektorraum

Einfacher ist oft die Nutzung von mit

.

Zitat:
Original von vektorraum
Eigentlich reicht es doch nur von bis zu integrieren, oder???

Wenn die Dichte auf der negativen Achse identisch Null ist, ja. Im allgemeinen selbstverständlich nicht.

Zitat:
Original von vektorraum
Muss man eigentlich immer vorher überprüfen, dass


Genaugenommen ja. Das ist bei genauerer Überlegung aber äquivalent dazu, dass beide Teilintegrale

und

existieren, und die fallen bei der Erwartungswertrechnung sowieso irgendwie mit ab.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich hat Arthur es ja schon geschrieben, aber ich wollt's nochmal in aller Klarheit hinschreiben.

ist Wahrscheinlichkeits- (oder Verteilungs-) dichte, wenn und

@Arthur: Falls es so nicht stimmt und ich irgendwas vergessen habe, kannst du mich ruhig verpruegeln. Forum Kloppe Ich hab's jetzt nur so hingeschrieben, wie ich es mir gedacht habe.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich prügle nur, wenn's nötig ist - und heute war schon vektorraum dran (wegen eines anderen Threads). Augenzwinkern
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die ausführlichen Antworten Freude

Also würde es für meine gegebene Verteilungsdichte f ausreichen zu zeigen:

(i) f(x) nichtnegativ,

(ii) f integrierbar auf R,

(iii)

??? Wir haben nämlich in der Vorlesung zwar auch diesen Satz, aber nicht als Äquivalenz, sondern als "Wenn, dann" Formulierung verwirrt

Das hatte ich vorhin gemeint. Nun würde ich ja wieder einfach die untere Grenze umwandeln, da der Rest ja eh Null ist. Okay so?

OK, mit dem Erwartungswert klappt das - da erhalte ich für die gegebene Verteilungsdichte 0,5.

@Arthur: die Formel der Varianz von dir ist in der Tat etwas einfacher. Hier muss ich doch auch die untere Grenze wieder ändern?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Formel für eine Verteilungsdichte hab ich gar nicht angegeben. verwirrt
 
 
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, ich meinte natürlich die Varianz.

Was sagst du zum Rest?

Edit: ich ändere das gleich mal.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gehabt: Der Integrand ist nun mal Null für , also kann der Teil in der konkreten Rechnung weggelassen werden.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Also reicht es auch wirklich zu zeigen, dass

.

Wenn das zusammen mit der Nichtnegativität gilt, dann habe ich eine Verteilungsdichte?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Bitte nach ständigen Wiederholungen nervt mich jetzt ein wenig. Webfritzi und ich haben eigentlich alles dazu gesagt, mehrfach.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte nur nachfragen, da wir den Satz in der Vorlesung anders aufgeschrieben haben. Hab nun aber alles ausgerechnet. Der Vollständigkeit halber:

(i) f ist Verteilungsdichte

(ii)

(iii)

Danke für deine Geduld und Hilfe Blumen
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vektorraum
Blumen


Suess. Big Laugh Tanzen
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