Taylorpolynom

20.04.2005, 20:18

bartleby81

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Taylorpolynom

Hallo ich habe da mal eine Frage zum Taylorpolynom.

Gegeben sei die gebrochen rat. Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{2 x^{4}+4 x^{2}+2x+2}{x^{2}-1} \end{eqnarray*}$

Die Asymptote für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ lautet: $\begin{eqnarray*} y=2x+4 \end{eqnarray*}$

Wie berechnet man den Schnittpunkt der Funktion und ihrer Asymptote?

Und wie berechnet man das Taylorpolynom 3. Grades von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Entwicklungsstelle $\begin{eqnarray*} x_{0}=0 \end{eqnarray*}$ ?

Muss ich wirklich alle 3 Ableitungen für die Funktion bilden? Das wäre doch ziemlich umständlich. Geht das irgendwie einfacher?

Wäre für Anregungen und Lösungsvorschläge dankbar.

20.04.2005, 20:41

AD

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RE: Taylorpolynom

Zitat:

Original von bartleby81
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{2 x^{4}+4 x^{2}+2x+2}{x^{2}-1} \end{eqnarray*}$

Die Asymptote für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ lautet: $\begin{eqnarray*} y=2x+4 \end{eqnarray*}$

Irgendwas stimmt hier nicht - entweder die Funktion oder die Asymptote. Ich nehme mal an, es ist die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{2 x^{3}+4 x^{2}+2x+2}{x^{2}-1} \end{eqnarray*}$

20.04.2005, 20:44

bartleby81

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Oh sorry Du hast recht. Tippfehler meinerseits.

20.04.2005, 20:53

AD

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RE: Taylorpolynom
Ok, jetzt hast du ja die Asymptote (vermutlich durch Polynomdivision) berechnet, also nutze sie doch gleich für die Funktionsdarstellung:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x+4+\frac{2 x^{3}+4 x^{2}+2x+2-(2x+4)(x^2-1)}{x^{2}-1}=2x+4+\frac{ax+b}{x^{2}-1} \end{eqnarray*}$

mit zu berechnenden Koeffizienten a,b. Dann wird das Ableiten schon deutlich übersichtlicher... Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.04.2005, 21:17

bartleby81

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Also sozusagen $\begin{eqnarray*} 2x+4+\frac{4x+6}{x^{^2}-1} \end{eqnarray*}$ .

Wie sieht man das, das man das so einfach machen kann?

20.04.2005, 21:18

gazzle

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RE: Taylorpolynom

Zitat:

Original von bartleby81
Hallo ich habe da mal eine Frage zum Taylorpolynom.

Gegeben sei die gebrochen rat. Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{2 x^{4}+4 x^{2}+2x+2}{x^{2}-1} \end{eqnarray*}$

Ich kenne das so, dass du implitizites (oder inverses ?) Differenzieren machst.

also multiplizierst erstmal mit dem Nenner

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{2 x^{4}+4 x^{2}+2x+2}{x^{2}-1} \end{eqnarray*}$

davon bildest du dann die erste Ableitung (nach Produktregel: y'=u'*v+u*v')
und erhälst:

$\begin{eqnarray*} f'(x)*(x^2-1)+f(x)*(2x)= 8 x^{3}+8 x+2 \end{eqnarray*}$

dass kannst du dann umstellen nach f'(x) und hast es...
das machst du solange wie du es brauchst weiter...also meinetwegen Drittes Taylorpolynom dann bis zur dritten Ableitung.

Wenn du das dann hast, setze f(x)= 0. Dann bekommst du einen Wert für f(x). Diesen kannst du dann mit $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in f'(x) einsetzen und erhälst f'(x). Dann einfach f(x),f'(x) und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in f''(x) usw...

Das läßt sich dann ganz einfach ausrechnen und dann bloß laut Vorschrift im Tafelwerk das Taylorpolynom hinschreiben.

$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist bei mir die Entwicklungsstelle des Taylorpolynoms. Ist meist als 0 gegegen und das läßt sich dann einwandfrei rechnen.

Hoffe das is hier mal so richtig erklärt oder inhaltlich richtig. Aber wenn ich es rechne dann komme ich auf das richtige Ergebnis.

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20.04.2005, 21:56

bartleby81

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Was ist denn dein Ergebnis, auf was Du kommst?

Richtig ist $\begin{eqnarray*} T_{3}(x)=-2-2x-6x^{2}-4 x^{3} \end{eqnarray*}$ .

Kann aber deiner Erklärung nicht ganz folgen. Von was bildest Du die Produktregel?

20.04.2005, 22:02

gazzle

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ja das Taylorpolynom dürfte richtig sein...(ich habe meine aufzeichnungen nich hier Big Laugh

Big Laugh

komm da erst morgen wieder ran)

Wegen der Produktregel, die wendest du auf die linke seite der gleichung an (die du umgestellt hast) , denn da steht ja * und auf der rechten seite leitest du ganz normal ab

$\begin{eqnarray*} f(x)*(x^{2}-1)= 2 x^{4}+4 x^{2}+2x+2 \end{eqnarray*}$

dann halt ableiten und raus kommt

$\begin{eqnarray*} f'(x)*(x^2-1)+f(x)*(2x)= 8 x^{3}+8 x+2 \end{eqnarray*}$

20.04.2005, 22:20

bartleby81

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OK klingt logisch. Soweit so gut.

Ist das jetzt sozusagen die erste Ableitung?

$\begin{eqnarray*} f(x)^{'}=\frac{8x^{3}+8x+2-f(x)*(2x)}{x^{2}-1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ gleich 0 setze fällt ja der zweite Teil weg, also $\begin{eqnarray*} -f(x)*(2x) \end{eqnarray*}$ .

Was muss ich jetzt 0 setzen um das Taylorpolynom 1. Grades zu erhalten?

20.04.2005, 22:38

bartleby81

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RE: Taylorpolynom

Zitat:

Original von gazzle
Wenn du das dann hast, setze f(x)= 0. Dann bekommst du einen Wert für f(x). Diesen kannst du dann mit $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in f'(x) einsetzen und erhälst f'(x). Dann einfach f(x),f'(x) und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in f''(x) usw...

Wenn ich $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ setze erhalte ich ja -2.

Was muss ich dann in $\begin{eqnarray*} f^{'}(x) \end{eqnarray*}$ einsetzen?

20.04.2005, 22:42

gazzle

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Du setzt dein f(x) und x ein...

du hast ja ne entwicklungsstelle für das Taylorpolynom also z.B. $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ das setzt du dann für x ein und dann ist es simple weil ziemlich viel wegfällt Big Laugh

Big Laugh

20.04.2005, 22:53

bartleby81

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Naja da würde ich ja sozusagen auf -2 kommen. Aber was sagt mir das jetzt? Ist das dann das Taylorpolynom 1. Grades?

20.04.2005, 22:58

gazzle

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na schau für f(x) hast du -2 raus

erster Teil der TP -2

dann hast du -2 für f'(x) das ist ja dann -2/1!*(x-0)

also -2 - 2x .....usw

Zitat:

Wie berechnet man den Schnittpunkt der Funktion und ihrer Asymptote?

da setzt du einfach die gleichungen gleich also die f(x) und die der Asymptote. Dann bekommst du nen Wert, den kannst du dann in f(x) oder die Asymptotengleichung einsetzen und erhälst den dazugehörigen y wert.

20.04.2005, 23:08

bartleby81

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Ahh verstehe, langsam kapiere ich wie die Sache funktioniert. Da werde ich das jetzt mal fertig durchrechnen bis zum 3. Grad. Mal sehen ob ich auf das richtige Ergebnis komme.

Danke Dir erstmal für deine Mühen und Geduld.

20.04.2005, 23:11

gazzle

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kein Problem.

schau mal einen Thread weiter hoch ich habe deine eine Frage zu 4.a) übersehen und da nen Tipp noch hingeschrieben.

20.04.2005, 23:18

bartleby81

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Aha, cool, danke schön.

Woher weisst Du das das die 4. Aufgabe ist? Kennst Du die Prüfung?

20.04.2005, 23:24

gazzle

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smile

Ja ich habe die diese Woche schon durchgerechnet. Muss sagen, dass sie sehr leicht ist, bis auf die Kovergenz Sache,aber wir gleiten wohl gerade ins off-Topic

20.04.2005, 23:28

bartleby81

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Leicht ist leider immer Ansichtsache. Ich muss so eine demnächst leider schreiben, naja und allzu gut sieht es noch nicht aus. :-(

20.04.2005, 23:34

gazzle

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kleiner Tip: such dir wen mit dem du lernen kannst das ist effektiver. ps.: ich schreibe da auch mit und ganz ehrlich, wenn man sich ein wnig reinübt dann ist es wirklich leicht! Wenn du Fragen hast, meine icq steht ja hier auch im Forum, ich kann ja dann auch versuchen etwas tipps zu geben.

20.04.2005, 23:51

bartleby81

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Danke für Dein Angebot. Muss leider sofort drauf zurückkommen.

Bei meiner zweiten Ableitung komme ich auf -4. Wenn ich das in die Formel einsetze erhalten ich -2x² und nicht wies eingentlich richtig ist -6x².

Ich habe die 2. Ableitung normal nach Schema gebildet.

Also f''(x)*v+f'(x)*v' = ...

Ne Ahnung wo der Fehler liegen könnte?

21.04.2005, 09:24

gazzle

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Also da hast du entweder falsch umgestelt oder falsch gerechnet.

ich habe da

$\begin{eqnarray*} f''(x)*(x^2-1)+f'(x)*2x + f'(x)*2x + f(x)*2 = 12x+8 \end{eqnarray*}$

das ist meine zweite Ableitung ohne umstellen. Wenn ich da jetzt mal einsetze:
f'(x) = -2, f(x)= -2 und x=0

$\begin{eqnarray*} f''(x)*(0^2-1) - 2*2*0 - 2*2*0 - 2*2 = 12*0 +8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)*(-1) + 0 + 0 - 4 = 0 +8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = -12 \end{eqnarray*}$

so wenn ich das dann in TP einsetze

$\begin{eqnarray*} \frac{-12}{2!}*(x^2-0) = -6x^2 \end{eqnarray*}$

also bei mir kommt jetzt mal auf die schnelle das richtige raus, also schau nochmal bitte bei deiner Rechnung nach. Kann sein, dass du nen Teil nicht richtig abgelitten hast oder aber vieleicht ein Vorzeichen übersehen. (P.S. wenn ich dir schneller helfen soll, MIRANDA+MATHPLUGIN) Viel Spass erstmal beim Rechnen

22.04.2005, 13:24

bartleby81

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Hallo,

ja Du hast recht, vielen Dank.
Ich bin nach langem rechnen und probieren auf die richtige Lösung gekommen und denke ich habe die Logik, die dem zu Grunde liegt auch verinnerlicht.
Danke das Du mir so tatkräftige Unterstützung beim Lösen des Problems gegeben hast. Hoffe es haut morgen alles hin. ;-)

Ansonsten schönes Wochenende... ;-)

27.05.2009, 18:36

oranginaplus

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Also ich hab da mal ne Frage weil sich mir grad der Sinn des taylorpolynoms entzieht.

Meine Aufgabe lautet das Taylorpolynom T2 von wurzel (x) um den Entwicklungspunkt 1 zu bestimmen.

Das Taylorpolynom entfernt sich ja eher vom original soll das Taylorpolynom nicht eine approximation sein?

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