Ebene und Gerade im Würfel

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SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene und Gerade im Würfel
Hallo,

es geht um einen Würfel mit der Seitenlänge 4.

Dort wird rechts oben eine Stück rausgeschnitten, in Form einer Pyramide.

Also ein Bild folgt gleich, aber hier mal die Koordinaten:

Würfel:

A (4/0/0); B (4/4/0); C (0/4/0); D (0/0/0); E (4/0/4); F (4/4/4); G (0/4/4); H (0/0/4)

Die Koordinaten der Ebene PQR die sich durch das raustrennen des Stücks in pyramidenform ergeben:

P (4/2/4); Q (4/4/2); R (2/4/4) und die Spitze der Pyramide, die dann ja in den Würfel geht bzw. ist wurde in einer der vorigen Aufgaben berechnet liegt bei S (10/3 / 10/3 / 10/3).


Es geht nun darum:

Bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden k der Ebene E und der Ebene F durch B, D und H.

Die Ebene E ist die Ebene von PQR.



Das in der als Koordinatenform gibt ja dann


So nun die Ebene F durch B, D und H:



Und hier die Koordinatenform:

x=4-4v-4w
y=4-4v-4w
z=4w

x+y=4-4v
y+z=4-4v | *(-1) und dann beide addieren

=> x-y=0, also x=y


Wenn ich das nun in die Koordinatengleichung der Ebene E einsetze, erhalte ich:

2x + z = 10
also z = 10-2x



also



?

Ist das nun meine Schnittgerade k ?


Vielen Dank im Voraus!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene und Gerade im Würfel


einsetzen von E2 in E1 gibt:
4 + v + w +.... = 10
w =2 - 2v
und die gerade

bleibt die frage, wer von uns beiden sich verrechnet hat
werner
 
 
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene und Gerade im Würfel
Zitat:
Original von wernerrin



Das ist dann wohl die die .

Wie kommst du auf die Einsen?

Wir machen doch die Ebene B, D und H. Also B + v* BD + w* BH.

Dann kommt man doch aber auf meine Ebenengleichung oder nicht?
Oder wie haben sich deine Werte ergeben?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene und Gerade im Würfel
ja das ist dasselbe,
du hast ja die freiheit, die 4 steckt szusagen in dem parameter. dein richtungsvektor ist halt länger, aber er zeigt in dieselbe richtung (4/4/0) => 4(1/1/0) (und v´= 1/4v).
ich nehme immer möglichst kleine zahlen, a) finde ich es schöner und b) verrechnet man sich weniger (hoffentlich)
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

achso stimmt...alles klar. x ist ja frei wählbar..

Übrigens hatte ich noch einen kleinen Fehler in meiner Gleichung der Schnittgeraden k, die muss natürlich so lauten:



und nicht wie oben mit (0/1/10) als Stützvektor.


Dankeschön! Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt stimmt alles
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ja, alles klar.

So, ich benutze mal dieses Thema, da meine Frage eigentlich wieder mit etwas Ähnlichem zu tun hat.

Es geht um Folgendes:

Gegen sei der abgebildete Würfel mit der Seitenlänge 4 in einem kartesischen Koordinatensystem. Das Dreieck BRP stellt einen Ausschnit einer Ebene E dar. Das Dreieck MCR stellt einen Ausschnitt einer Ebene F dar.

Von U (0/0/6) geht ein Strahl aus, der auf V (1,5/6/0) zielt. Trifft der Strahl den Würfel? Trifft der Strahl das Dreieck BRP?

Hier das Bild zur Aufgabe.



Ich habe dann mal die verschiedenen Ebene betrachtet, ob bzw. wo es da Schnittpunkte gibt.

Also x,z-Ebene (y=0) habe ich (0/0/6) und bei der y,z-Ebene (x=0) ebenfalls (0/0/6). Bei der x,y-Ebene (z=0) war es (1,5/6/0).

Ja, nun sind das ja aber die "allgemeinen" Schnittpunkte bzw. einfach Ebenen, aber der Würfel geht ja nicht unendlich, wenn ich das mal so formulieren darf. *g*

Ich habe dann auch einfach mal die Punkte A, B und C genommen und eine Ebene aufgespannt (entsprechend dem Boden, also x,y-Ebene) und komme so aber auch auf (1,5/6/0).

So, woher weiß ich denn nun, ob der Strahl nun wirklich den Würfel schneidet und nicht vielleicht am Würfel vorbeigeht und die Ebene sonst wo schneidet?

- - - - - -

Für das mit dem Dreieck BRP habe ich übrigens das gemacht:

Die Ebene (BRP) hat die Koordinatengleichung: x+y+z=8 (aus vorheriger Teilaufgabe).

Die Gerade UV hat die oben geschriebene Gleichung und daraus ergeben sich:

x=1,5l
y=6l
z=6-6l

Das setze ich in die Koordinatengleichung ein und erhalte für l 4/3.

Das in die Geradengleichung gibt den Punkt (2/8/-2).

Tja..dann habe ich die Werte mal noch in die Koordinatengleichung eingesetzt und es kommt 8=8 raus, also eine wahre Aussage. Ist das nun die Bestätigung dafür, dass in diesem Punkt das Dreieck BRP geschnitten wird vom Strahl? Mir kommt der Punkt nämlich etwas "komisch" vor von der Vorstellung von dessen Lage her... *g*


Vielen Dank im Voraus!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

zu dem ersten problem: ich denke ein punkt P liegt auf einer würfelfläche, wenn gilt:

wenn du 2 solche punkte findest, geht der strahl durch den würfel
(e1:z=4, e2:y=4)
bis morgen
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

mit meiner Geradengleichung für UV und den Punkten die sich ergeben für die einzelnen Ebenen (also, x=0; y=0; z=0) kann ich im Prinzip nichts anfangen?

Das mit dem Punkt P der auf der Würfelfläche liegt, also wenn ich da zwei Punkte finde, wo es passt...das verstehe ich noch nicht ganz.
Wieso denn nur y=4 und z=4 und nicht auch für x=4 ?

Könntest du mir das nochmal kurz erklären oder vielleicht mal einen von zwei Punkten "vorrechnen"? (Denn ich denke durch den Würfel sollte der Strahl schon gehen, ansonsten wäre die Frage danach ob er durch's Dreieck geht ja "umsonst" *g*)

Dankeschön.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

guten morgen
zunächst: es genügt zu zeigen, dass 1 punkt obiges erfüllt, da dies die bedingung dafür ist, dass der punkt ein punkt des würfels ist. der strahl könnte dann allerdings den würfel nur berühren.
die 2 punkte, die ich meinte, sind die durchstoßungspunkte auf den beiden ebenen z = 4 und y =4.
gemeint habe ich das so:
1) schnitt von g mit der xz-ebene: y=0 => P(0/0/6) mit p3>4, daher liegt der punkt außerhalb des würfels
2)E: z = 4, das ist der "deckel" des würfels: E geschnitten mit g ergibt
4 = 6 - 6l => l = 1/3 => P(0,5/2/4) mit 0 <= p1 <= 4 UND 0 <= p2 <= 4 UND 0 <= p3 <= 4, damit liegt der punkt P auf der würfelfläche( wegen p3 = 4), und einen 2. punkt erhältst du beim schnitt mit y = 4, während x = 4 den punkt Q(4/16/-10) liefert, s.o.
zum dreieck: der schnittpunkt S(2/8/-2) der ebene BRP mit g liegt außerhalb des würfels, was bedeutet, daß der strahl das dreieck nicht trifft, da sich dieses innerhalb des würfels befindet.
werner

n.s. : 8 = 8 bedeutet nur, dass der punkt S in der ebene liegt, was wir hoffen wollen, sonst hättest du dich ja verrechnet
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

sodala....ok.

Also dann mal zu dem, ob die Gerade den Würfel bzw. durch diesen durchgeht.

Da schaue ich dann eben einfach, da die Kantenlänge des Würfel ja 4 beträgt, nach den Schnittpunkten indem ich eben x, y und z vier setze.

Dann bekomme ich bei z=4 also (0,5/2/4) und das entspricht ja den Werten zwischen 0 und 4 für alle drei und der letzte ist sogar direkt 4. Also liegt der Punkt mal auf der Würfelfläche, wie du schon gesagt hast.

Dann das Ganze für y=4 gemacht, gibt den Punkt (1/4/2) und hier liegen auch alle drei Werte zwischen 0 und 4 und diesmal ist der y-Wert genau 4. Das hieße dann auch, dass der Punkt auf der Würfelfläche liegt oder?

Für x=4 bekomme ich den (4/16/-10), welcher die Bedingungen dann nicht erfüllt, also auch nicht auf der Ebene liegt.


D.h. der Strahl geht durch den Würfel.

- - -

Zum Dreieck:

Da habe ich ja eben den Schnittpunkt zwischen der Ebene BRP und der Geraden des Strahls ausgerechnet, nämlich (2/8/-2). Hier eben auch wieder überprüfen für die einzelnen Werte ob die zwischen 0 und 4 liegen und das haut ja nicht wirklich hin, also kann der Strahl auch das Dreieck nicht treffen, da sich der Punkt ja nichtmal innerhalb des Würfels befindet.


Richtig? *g*

Danke für die Hilfe!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

bestens
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hehe, alles klar ok - dankeschön! Augenzwinkern

- - -

Hm, habe sogar noch eine "Kleinigkeit" zu dem Thema, die eigentlich wieder genau mit dem bzw. ähnlich zu tun hat.

Also hier die Aufgabe.

Wie man sehen kann, sind einige Punkte etwas "korrigiert", da unter Aufgabe a) ja das Zeichnen der x,y-Ebene sozusagen verlangt war. Wenn man aber genau die Punkte nimmt, wie sie da stehen, erigbt das Ganze kein Gescheits "Bild"...also da muss was verdreht/vertauscht gewesen sein.

Logischer sind so auf dem Papier dann die neu angegebene Punkte mit Bleistift (wie auf dem Bild ja zu sehen ist).

Naja, unabhängig davon ist bei Aufgabe c) ja dann was zu rechnen.


Ich habe bisher mal nur zwischen Insel (I) und der Spitze (S) gemacht:



Also:

x=130-200t
y=230-440t
z=100t

Ja, dann wird ja noch die Ebene BCD benötigt.

Also die Punkte B (180/60/20); C (20/140/-20) und D (60/20/80).



Die Koordinatengleichung die ich dann für die Ebene rausbekommen habe lautet:




Ja, dann meine x, y und z von der Geradengleichung IS da eingesetzt ergibt und den Wert in die Geradengleichung liefert den Punkt .

Gut, sollte ich mich da niergends verrechnet haben (*g*), was sagt mir das nun darüber aus, ob die Sicht auf S von der Insel I aus wirklich behindert wird oder nicht? Also laut der Zeichnung (mit den neuen, korrigierten Punkten), sollte eigentlich keine Sicht möglich sein.


Danke im Voraus!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

das ist eine ganz witzige aufgabe, auf jeden fall besser als das fs-programm.
1) ich denke dass C(20/140/+20) lauten sollte statt C(.../-20), aber das ist eh im prinzip egal.
(ich habe auch mit -20 weitergemacht)
2) da hast du dich ziemlich verrechnet, da schaust du in ein tiefes loch!

3) ich hab dir ein bild angehängt, wie gefordert und ein bißchen mehr, da sieht man, dass man ein problem geometrisch oft einfach lösen kann
(hab natürlich die 2 schnittpunkte vorher berechnet), man sieht auch, dass man nicht die ebene BCD sondern ACD betrachten muß

wie man das nun im einzelnen analytisch macht, dazu morgen mehr
(muß es noch sortieren)
wenn ich mich verrechnet habe oder so, ist nicht absicht!
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hmm..achso. Und das mit dem Punkt C der z-Wert macht in Sachen "Sicht" oder dann bei der Rechnung der Schnittpunkte zwischen Gerade und Ebene nichts aus?

Du hast dann jetzt also die Punkte genommen, wie ich sie in meinem Bild korrigiert hatte oder? Denn mit den Original-Koordinaten gibt das keinen Sinn, stimmts?

- - -

Also die beiden Geraden für IS und HS habe ich jetzt mal aufgestellt, bzw. die von IS hatte ich ja schon geschrieben, die dürfte ja korrekt sein:






So und dann die Ebene ACD:



x=100-80r-40s
y=-100+240r+120s
z=20-40r+60s

Wenn ich hier die x-Gleichung mit drei multipliziere und dann mit y addiere gibt das: 3x+y=200


Richtig soweit?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

hallo, ich muß leider jetzt weg, und drum gebe ich dir mal, was ich fabriziert habe, überprüfe es bitte, und melde dich bei unklarheiten


gibt t = - 105/13 und

um zu überprüfen, ob dieser punkt unterhalb der pyramidenkante liegt, also die sicht auf die bergspitze verstellt, habe ich eine ebene konstruiert, die senkrecht auf E(CDA) steht und die strecke CD enthält, diese habe ich dann mit der senkrechten durch S2 geschnitten
den normalenvektor der ebene bekommt man so

die gerade lautet

ergibt den punkt
K(640/13;680/13;690/13), und dieser punkt liegt oberhalb von S2, daher ist die sicht verstellt.
vom boot aus siehst du den berg.
eine korrigierte skizze habe ich angehängt
bis später
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

mh, ok das mit der Ebene senkrecht auf der Ebene CDA muss ich mir nochmal genauer anschauen...aber danke schon mal.

Nur was mir jetzt sofort kurz auffällt ist, wie du kommst du zu dem Richtungsvektor bei der Geraden IS ?

Punkt I bei (130/230/0) passt ja und dann t*IS gibt doch nicht (10/22/-5) oder was hast du für S genommen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

das hatten wir schon einmal: möglichst KLEINE zahlen
(200/440/-100) : 20 => (10/22/-5)
jetzt bin ich wirklich weg
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

achso ja stimmt ja...ok. *g*

Dann vielen Dank auf jeden Fall schon mal und ich schau' mir das Ganze jetzt mal an und melde mich dann sobald ich's hab...oder eben noch eine Frage habe. Augenzwinkern
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

sodala...also soweit sogut, ich hab's dann jetzt auch alles.

Den Schnittpunkt der Ebene (ACD) und der Geraden IS habe ich auch so:




So, dass man dann überprüfen muss, ob der Punkt nun oberhalb oder unterhalb der Pyramidenkante liegt is auch klar. Das mit dem Normalenvektor kannte ich bisher soweit ich weiß eigentlich nicht so, aber ist eigentlich verstanden.

Wie kommt denn aber bei dem Normalenvektor dann auf (-1/3/4) ? Also wie wird das denn gerechnet, "normal" multipliziert gibt ja was anderes..

- - -

Ich habe das Ganze dann einfach mal nicht mit einer Ebene gemacht die senkrecht auf der Ebene ACD steht, sondern mit einer Gerade.

Also ich habe die Pyramidenkante genommen:



Und dann eben einfach mal an der Stelle wo unser Schnittpunkt S bzw. genauer S2 gewesen ist, ein anderen z-Wert gewählt...und zwar unterhalb der Pyramide - ich habe mal -40 genommen für z und einen zweiten Punkt der ebenfalls die gleichen x und y Koordinaten wie S2 hat und eben einen z-Wert oberhalb dem höchsten Punkt der Pyramide - ich glaube ich habe mal 780/32 genommen (gibt genau 60).

Dann gibt das also die Gerade:



Die beiden Geraden gleichgesetzt und dann den Punkt ausgerechnet und das gibt dann den Punkt K von dir:




Damit ist klar, dass die Sichtlinie von der Insel direkt auf die Steine trifft und der Berg nicht zu sehen ist. *g*

Nur irgendwie hat man bei der Methode deutlich mehr Rechenaufwand, als bei deiner mit der senkrechten Ebene auf der Ebene ACD und dann mit dem Normalenvektor. Vielleicht kannst du mir da wie gesagt nochmal kurz erklären, wie dann das "n" letztendlich zustande kommt...also die Rechnung. (3/1/0)*(2/-6/5) ist klar woher das kommt..
- - -

Achja, in deiner Skizza/Zeichnung bzw. Zeichnung dürftest du den H-Punkt also die Position des Bootes etwas verkehrt haben.
Du hast wohl H (210/-100/0) oder so gelesen, aber es ist ja H (210/-10/0) und damit geht dann die Sichtlinie gerade noch so über die eine Kante der Pyramide, aber das ist wohl noch so weit unten an der Pyramide, dass die Höhe (z=20 an der Stelle) da die Sicht wohl nicht behindert.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

schönen sonntag, war das gestern feucht!
1) ja da hast du recht. ich hatte H(210/-100/0) statt korrekt H(210/-10/0).
habe nun alles korrigiert, man muß nun auch HS untersuchen nach derselben methode wie IS, das ergebnis lautet:

woraus folgt, dass der blick vom schiff auf den berg durch die pyramide nicht getrübt wird.

zu deiner frage: es gibt (mindestens) 2 möglichkeiten festzustellen, ob K über/ unter S liegt:
stelle die senkrechte gerade g durch S auf.
methode 1: schneide sie mit der geraden g2, auf der die kante der pyramide (hier CD bzw. AD) liegt, ist K_3 > S_3 liegt S unterhalb der kante.
um das festzustellen mußt du das entsprechende lineares gls lösen

methode 2: ich nehme eine ebene, in der die gerade g2 (CD) liegt in koo-form und schneide sie mit g.
das ist ein gls mit nur 1 parameter!
im prinzip kannst du dazu jede ebene der schar nehmen, die durch g2 repräsentiert wird, ausgenommen die ebene ADC. und genau aus diesem grund "erzeuge" ich den normalenvektor n der gesuchten ebene als vektorprodukt n x CD. damit ist sichergestellt, dass ich NICHT die ebene ADC generiere und die kante CD in der ebene liegt.
im einzelnen:


das liefert die ebene E: -x + 3y + 4z = 320

geschnitten mit

gibt den punkt K

wenn du noch fragen hast, frage
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ok.

Eine letzte Frage habe ich jedoch noch:




Das ist doch keine normale Multiplikation von Vektoren oder? Also wie man auf n(ACD) und CD kommt ist klar...aber das Ergebnis , wie kommt das genau zustande?

Daraus hast du dann die Ebene E: -x + 3y + 4z = 320 bekommen. Die Koordinaten sind klar, kommen aus dem Ergebnis der Normalen da oben und wo sind hier die 320 her?


Dankeschön und ebenfalls schönen Sonntag..
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

nein ist das sogenannte VEKTORPRODUKT, das ergibt wieder einen vektor, der auf die beiden anderen senkrecht steht, wenn ihr das noch nicht gehabt haben solltet, dann kann man diesen vektor n dadurch finden, dass man das gls löst

(nur dann hast du dieselbe arbeit, wie wenn du das problem mit 2 geraden löst)
die formel für das vektorprodukt steht in jedem buch, sicher auch hier im matheboard
die ebene ergibt sich aus der normalvektorform


und zu guter letzt habe ich noch das problem mit den originalwerten gerechnet, nur als guter pyramidenbaumeister habe ich den bauplatz eingeebnet, d.h. C(20/-140/+20) genommen.
da gefällt mir die aufgabe eigentlich noch besser.

die schnittpunkte habe ich für die ebene durch DA, die senkrecht auf xy-ebene steht, berechnet, die kann man sofort hinschreiben
E: x + y = 0
sonst wie gehabt, liefert


mit denselben konsequenzen wie oben
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ahja alles klar ok.

Ich habe jetzt den Artikel Vektorprodukt mal rausgesucht und durchgelesen und jetzt wo ich das so anschaue...vll. hatten wir das doch schon mal kurz, nur irgendwie nicht mehr verwendet die letzte Zeit. *g*

Ja, dass die Pyramide hier bisschen auf schrägem Untergrund gebaut ist, ist leicht unlogisch..stimmt. Aber bei der Aufgabe hatten ja so und so einige Punkte nicht wirklich gestimmt. Augenzwinkern

Dann nochmal vielen Dank für die Hilfe und noch einen schönen Sonntag.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

gern geschehen
werner
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