Normierter Raum

30.11.2007, 17:38

hxh

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Normierter Raum

Welcher dieser Ausdrücke definiert auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{3} \end{eqnarray*}$ eine Norm.

$\begin{eqnarray*} \mid\mid x \mid\mid = | x_{1} | + | x_{3} | \end{eqnarray*}$

Bin mir ziemlich unsicher bei diesem Thema, aber die einzige Norm die ich mir vorstellen könnte (welche igrendwie hier irgendwie passen könnte) wäre die 1-Norm aber müsste ja so aussehen

$\begin{eqnarray*} \mid\mid x \mid\mid = | x_{1} | + | x_{2} |+| x_{3} | \end{eqnarray*}$

dann wäre der AUsdruck also keine NOrm.
was soll man da noch dazu sagen zeigen verwirrt

verwirrt

30.11.2007, 17:40

WebFritzi

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Das, was du da hingeschrieben hast (also das erste), ist keine Norm.

30.11.2007, 17:41

Tomtomtomtom

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Welche Eigenschaften hat denn eine Norm? Die mußt du entweder alle zeigen, oder dir eine herauspicken, die dir geeignet scheint, ein Gegenbeispiel zu konstruieren.

30.11.2007, 17:47

hxh

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Ja das erste was ich geschrieben habe ist keine Norm.

Also Eigenschaften wären, Definitheit, Homogänität und die Dreiecksungleichung.

Hier sollte ja Definitheit nicht hinhaun, aber wie zeige ich das? das |x2| fehlt ja dann

30.11.2007, 17:52

Tomtomtomtom

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Naja es soll gelten

$\begin{eqnarray*} \|x\|=0 \leftrightarrow x=(x_1,x_2,x_3)=0 \end{eqnarray*}$

Wie könnte denn ein Vektor aussehen, so daß ||x||=0 gilt, aber x nicht der Nullvektor ist?

30.11.2007, 18:03

hxh

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geht das überhaupt ? ( ich denke nur wenn x1,x2,x3 = 0)

diese Norm gibt doch den absolutbetrag an. $\begin{eqnarray*} \sqrt {x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} } \end{eqnarray*}$

bzw ich weiß nicht genau ob das so stimmt ??

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30.11.2007, 18:12

Tomtomtomtom

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Ich kann dir nciht ganz folgen.

Du kennst alle Eigenschaften einer Norm.

Du hast einen Ausdruck von dem du dir sicher bist das er KEINE Norm ist.

Um diese Vermutung zu bestätigen, reicht es, daß du einen Vektor findest, bei dem der Ausdruck angewandt auf den Vektor gegen eine der Normeigenschaften verstößt.

30.11.2007, 18:28

hxh

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In der Vorlesung macht man eher selten Bespiele dazu und ich hab auch keins im inet dazu gefunden. Ich würde gerne wissen wie man genau $\begin{eqnarray*} ||x|| \end{eqnarray*}$ verstehen kann.
Wenn man das ja mit dem Skalarprodukt induziert heisst.
$\begin{eqnarray*} ||x|| := \sqrt{<x,x>} \end{eqnarray*}$

30.11.2007, 18:29

Tomtomtomtom

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Das in der Aufgabenstellung ist doch in deinem Fall die Definition:

||x||:=|x1|+|x3|

30.11.2007, 18:33

hxh

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gibt die Norm nicht die Länge eines Vektors wieder ? Ich finde ja keinen anderen Vektor der die Länge Null hat ausser dem Nullvektor.

Das ganze verwirrt mich irgendwie LOL Hammer

LOL Hammer

30.11.2007, 23:06

gessi

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Zitat:

Original von hxh
gibt die Norm nicht die Länge eines Vektors wieder ? Ich finde ja keinen anderen Vektor der die Länge Null hat ausser dem Nullvektor.

Das ganze verwirrt mich irgendwie LOL Hammer

LOL Hammer

"Die Norm" gibt es nicht, es gibt viele Normen - alles, was die 3 Normeigenschaften erfüllt ist eine Norm.

Das, was man allgemein als Länge eines Vektors kennt, ist eben eine bestimmte Norm (eukl. Norm).

Man kann aber auch alle mögliche andere definieren und dann schauen, ob es eine Norm ist. Ich glaube, du versuchst momentan, diese (eventuelle) Norm mit einer deiner bekannten Normen zu identifizieren - und das geht eben nicht, weil sie "einfach irgendwie" definiert ist.

Wie schon geschrieben wurde, ist dein erstes Beispiel keine Norm. Bei so einer Aufgabenstellung ist es das sinnvollste, ein Gegenbeispiel zu suchen. Bleiben wir mal bei der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \|x\|=0 \Leftrightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt versuche einen Vektor zu finden, sodass nicht $\begin{eqnarray*} 0 = \|x\|= |x_1|+|x_3| \Leftrightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

01.12.2007, 03:30

hxh

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Dein Beitrag hat mir echt geholfen zu verstehen warum ich falsch denke.
Ich weiß nur nicht so ganz wie der Vektor aussehen soll dann. Wohl ein 3-Tupel(wegen C³): (x1,x2,x3)
soll das |x1| , |x3| erste und dritte Komponente dieses Vektors sein ? verwirrt

verwirrt

Forum Kloppe

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01.12.2007, 13:37

WebFritzi

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x1: erste Komponente des Vektors
x2: zweite Komponente des Vektors
x3: dritte Komponente des Vektors

01.12.2007, 14:09

hxh

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wäre nicht das einzige Mögliche x1=0 , x2=0, x3=0
da aber ||x|| = |x1|+|x3| , müsste x2 frei wählbar sein oder diese Kompenente ist gar nicht da, das ist was ich nicht verstehe

01.12.2007, 14:39

WebFritzi

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So, hxh. Jetzt geben wir mal Budda bei die Fische. Das ist doch nun wirklich ziemlich simpel. Eine Normeigenschaft ist

$\begin{eqnarray*} \|x\| = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0. \end{eqnarray*}$

Jetzt schauen wir uns mal die vorliegende Abbildung an:

$\begin{eqnarray*} \|(x_1,x_2,x_3)\| := |x_1| + |x_3|. \end{eqnarray*}$

Jetzt gelte $\begin{eqnarray*} \|(x_1,x_2,x_3)\| = 0. \end{eqnarray*}$ Das ist nach der Definition der Abbildung gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} |x_1| + |x_3| = 0. \end{eqnarray*}$ Da sowohl $\begin{eqnarray*} |x_1| \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} |x_3| \end{eqnarray*}$ nichtnegativ ist, folgt daraus $\begin{eqnarray*} x_1 = x_3 = 0. \end{eqnarray*}$ Damit die Abbildung eine Norm ist, müsste aber sogar $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 = x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ folgen. Das ist aber nicht so, denn man kann $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ beliebig wählen. Ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \|(0,1,0)\| = 0 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} (0,1,0)\neq \vec 0. \end{eqnarray*}$

Damit ist die Abbildung keine Norm.

Kurz gesagt: Bei einer Norm kann $\begin{eqnarray*} \|\vec x\| = 0 \end{eqnarray*}$ nur für den Nullvektor gelten, wenn also $\begin{eqnarray*} \vec x = \vec 0. \end{eqnarray*}$ Das ist hier aber eben gerade nicht der Fall.

01.12.2007, 14:44

hxh

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Vielen Dank , ein Beispiel hab ich wohl gebraucht. Gott

Gott

Gott

01.12.2007, 15:03

WebFritzi

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Nun, ich hoffe, dass du das nächste mal selber drauf kommst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.12.2007, 15:29

hxh

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ja wenn man das jetzt so sieht ist es schon logisch
ICh versuch mich mal an ner anderen, gleiche Vorraussetzungen hab ich nun also C³

$\begin{eqnarray*} ||x||= (|x_{1}|*|x_{2}|*|x_{3}|)^\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Definitheit ist gegeben für ||x|| = (0,0,0)

Homogänität $\begin{eqnarray*} ||\alpha x||= |\alpha| ||x|| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{|\alpha x_{1}|*|\alpha x_{2}|*|\alpha x_{3}|} = |\alpha| \sqrt [3]{|x_{1}|*|x_{2}|*|x_{3}|} \end{eqnarray*}$

wenn das so sein sollte , müsste es stimmen.

bei Dreiecksungleichung ||x+y|| <= ||x||+||y|| bin ich mir nicht sicher wie ich das y einbauen soll.

$\begin{eqnarray*} \sqrt [3]{(|x_{1}|+|y_{1}|)*(|x_{2}|+|y_{2}|)*(|x_{3}|+|y_{3}|)} \end{eqnarray*}$

so vielleicht für die linke seite

01.12.2007, 15:53

gessi

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Zitat:

Original von hxh
bei Dreiecksungleichung ||x+y|| <= ||x||+||y|| bin ich mir nicht sicher wie ich das y einbauen soll.

$\begin{eqnarray*} \sqrt [3]{(|x_{1}|+|y_{1}|)*(|x_{2}|+|y_{2}|)*(|x_{3}|+|y_{3}|)} \end{eqnarray*}$

so vielleicht für die linke seite

Fast... Das soll ja ||x+y|| sein, d.h. $\begin{eqnarray*} \|\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ x_3+y_3 \end{pmatrix} \| \end{eqnarray*}$ .
Schau dir mit diesem Hintergrund nochmal an, wo die Betragsstriche sein müssen.

Habt ihr eigentlich $\begin{eqnarray*} 0^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ definiert?

Edit: Missverständliche Formulierung entfernt

01.12.2007, 16:04

hxh

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$\begin{eqnarray*} \sqrt [3]{(|x_{1}+y_{1}|)*(|x_{2}+y_{2}|)*(|x_{3}+y_{3}|)} \end{eqnarray*}$

kommt wohl dann so hin, rechne das gleich nach , muss jetzt kochen Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.12.2007, 16:05

WebFritzi

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Zitat:

Original von hxh
$\begin{eqnarray*} ||x||= (|x_{1}|*|x_{2}|*|x_{3}|)^\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Definitheit ist gegeben für ||x|| = (0,0,0)

Das macht keinen Sinn. links steht eine Zahl (||x||) und rechts ein Vektor. Achte darauf, was du schreibst. Aus ähnlichen Gründen wie bei der ersten Aufgabe ist auch das hier keine Norm.

01.12.2007, 16:43

hxh

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Definitheit geht hier nicht .. mh
||x||=0 x=0

=> x1=x2=x3=0

(|0|*|0|*|0|)^1/3 = 0^1/3 und das wäre doch 0 verwirrt

verwirrt

01.12.2007, 16:57

WebFritzi

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Und ich dachte, du hättest es kapiert... Ein weiteres Beispiel gebe ich dir nicht. Das ganze ist nun wirklich zu trivial.

01.12.2007, 17:03

hxh

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ach ich depp ich glaub ich habs jetzt Hammer

Hammer

ich kann einfach den vektor (0,1,1) nehmen das ist nicht der Nullvektor

01.12.2007, 17:56

WebFritzi

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Jepp, das ist nicht der Nullvektor, aber trotzdem gilt $\begin{eqnarray*} \|(0,1,1)\| = (0\cdot 1\cdot 1)^{\frac{1}{3}} = 0. \end{eqnarray*}$ Das Ding ist also keine Norm.

01.12.2007, 18:00

hxh

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ja genau keine Norm. manchmal könnt ich mich für so eine Dummheit echt nur schlagen Forum Kloppe

Forum Kloppe

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