Nebenbedingungen verrechnen |
| 30.11.2007, 17:49 | Bastiiie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Nebenbedingungen verrechnen die Lösung kann nicht so schwierig sein und hat auch mit der "normalen" Aufgabe nichts zu tun, aber ich komme einfach nicht auf die Antwort: Folgendes Gleichungssystem x1 >= 1 x2 >= 1 x3 >= 1 x4 >= 1 5x1 + 10x2 >= 30 10x2 + 20x3 >= 50 20x3 + 50x4 >= 200 Wie kann ich die ersten 4 Gleichungen in die restlichen verrechnen, sodass die 4 Gleichungen wegfallen und die anderen entsprechend verändert werden? Mir fällt dazu einfach nichts ein.. Danke fü jede Hilfe! Bastiiie |
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| 30.11.2007, 18:17 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das wird nicht gehen. Dein ursprüngliches System beschreibt einen Bereich im R^4, der durch 7 Hyperebenen begrenzt ist. Solange nicht zufällig einige der Hyperebenen parallel zueinander liegen, wirst du diesen Bereich nicht durch 4 Hyperebenen beschreiben können. Stell es dir mal im R^2 vor. Du hast die Bedingungen x1>=0 x2>=0 x1+x2=>1 Dazu kannst du ein schönes Bild zeichnen, in dem der Bereich, der zu allen Ungleichungen gehört markiert ist. Diesen Bereich durch eine einzige Ungleichung zu beschrieben, ist nicht möglich. |
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| 30.11.2007, 18:28 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Nebenbedingungen verrechnen Du könntest zB versuchen zu substituieren. Für die wäre dann die Nichtnegativität zu fordern. Grüße Abakus 
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| 30.11.2007, 20:05 | Bastiiie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Nebenbedingungen verrechnen Hallo, wie soll das denn sonst gemeint sein? Die Aufgabenstellung ist folgende: Zur Einführung der gemeinsamen Währung Euro soll eine genügende Anzahl von Banknoten zur Verfügung stehen. Von den Scheinen zu 5 Euro, 10 Euro, 20 Euro und 50 Euro sollen jeweils mindestens eine Million Stück hergestellt werden. Außerdem sollen 5- und 10-Euro-Noten mindestens eine Summe von 30 Mio. Euro ergeben, 10- und 20-Euro-Noten sollen sich auf mindestens 50 Mio. Euro aufsummieren, und aus den 20- und 50-Euro-Noten sollen mindestens 200 Mio. Euro kombinierbar sein. Die Herstellung eines 5-Euro-Scheins kostet 2 Euro, 10-Euro-Scheine sind für 3 Euro zu drucken, die 20-Euro-Scheine kosten pro Stück 4 Euro und für den 50-Euro-Schein sind 5 Euro anzusetzen. Die Gesamtkosten sollen minimiert werden. a) Stellen Sie ein LP auf, in dem die Zielfunktion und alle Restriktionen angegeben sind. Vereinfachen Sie dieses LP, indem Sie die Mindestproduktionsmengen herausrechnen. Geben Sie Ihre Umformungsschritte hier mit an. |
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| 30.11.2007, 23:19 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Nebenbedingungen verrechnen Für das LP müsstest du zunächst die Zielfunktion aufstellen. Dann kannst du die Substitution ja mal austesten. Tomtomtomtom hat recht, dass du die Ungleichungen nicht zu einer zusammenfassen kannst, aber das ist hier auch nicht gefordert. Es geht um die Aufstellung eines LPs. Grüße Abakus
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| 01.12.2007, 11:01 | Bastiiie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey zusammen, erstmal Danke für die schnellen Antworten, echt super! 
Als Zielfunktion habe ich 2x1 + 3x2 + 4x3 + 4x3 =! min Ich verstehe nicht ganz was ihr mit Substitution meint?! zB aus x1 >= 1 kann man ja folgende Gleichung machen: x1 = 1 - x5 Das könnte man mit x2,x3 und x4 machen, aber was bringt mir das? Wenn ich das in die Zielfunktion einsetze habe ich dort eine ganz normale Zahl stehen.. 
Ich komm da nicht weiter.. Viele Grüße Bastiiie |
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| 01.12.2007, 21:39 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ist jetzt die Dimension, einmal hast du Millionen Stück und einmal nicht ?
Aus einer Ungleichung kannst du so keine Gleichung machen, nein. Substitution bedeutet, dass du eine Variable durch eine andere ersetzt. Hier musst du überlegen, was genau von Interesse ist: das ist die Anzahl der Noten über 1.000.000 Stück, die produziert werden (dies geben die neuen Variablen bei der obigen Substitution an). Grüße Abakus
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| 02.12.2007, 00:18 | Bastiiie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, ich habe einfach die Millionen aus den NB gekürzt, das sollte doch machbar sein, oder? Aber mit der Substitution komme ich nicht weiter, denn ich kriege die 4 NB nicht in die anderen 3NB eingerechnet - oder ist das möglich? Es irriert mich, dass man die 4NB verrechnen soll - es würde doch auch ohne gehen?! |
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| 02.12.2007, 11:24 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Solange Nebenbedingungen und Zielfunktion konsistent sind, ja. Das sind sie hier nur nicht. Bevor du über den zweiten Aufgabenteil nachdenkst, stelle bitte eine korrekte Formulierung des Problems auf.
Du kannst das LP in beiden Versionen lösen. Im ersten Fall musst du dir allerdings zunächst (mit Simplex) eine zulässige Basislösung besorgen. Teste es ggf. einfach aus. Ersetze doch mal die Variablen wie angegeben und schreibe hin, was rauskommt. Grüße Abakus
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| 02.12.2007, 17:38 | Bastiiie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Nebenbedingungen verrechnen JAU, ich habe es geschafft - vielen Dank zusammen!! |
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| 02.12.2007, 21:09 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nur mal so nebenbei, die Zielfunktion mit einem beliebigen skalaren Faktor >0 zu multiplizieren, ändert eigentlich überhaupt nichts am Problem. |
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| 03.12.2007, 00:08 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schon wahr, jedoch soll die Modellierung möglichst das Problem genau wiedergeben. Wenn du hier implizit irgendwas (ggf. äquivalent) umformst, ist das Problem im Zweifel nicht mehr erkennbar (und die Modellierung lesen auch Nicht-Mathematiker, die dann eifrig mit "entdeckten Fehlern" ankommen). Der Nachteil hier ist, dass 1 gleich 1 Million Stück jeweils bedeutet. Wenn nun zB 1.000.200 Stück rauskommen, wäre der Wert der Variablen 1,0002. D.h. du hast hier eigentlich ein Integer-Problem (die gesuchten Stückzahlen sind ganzzahlig), rechnest aber mit Kommazahlen.
Klasse, wie sieht deine Lösung nun aus ? Grüße Abakus
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| 03.12.2007, 01:06 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist wohl etwas wahres dran. Ich hatte neulich auch einen Artikel mit der schönen Formulierung "Äquivalent dazu können wir auch folgendes Problem lösen:" Nach zwei Tagen rumprobieren war ich kurz davor den Autor anzumailen, hab dann aber doch noch einen guten Tipp bekommen. Aber eine einfache skalare Multiplikation der Zielfunktion sollte schon zu durchschauen sein. Wenn es hier um diskrete Optimierung geht, muß man aber eh nochmal extra nachdenken. Schließlich kann der optimale Gitterpunkt beliebig weit von der optimalen Lösung des zugehörigen kontinuierlichen linearen Problems entfernt sein. |
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| 09.12.2007, 15:13 | Bastiiie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
x1 = 1 x2 = 2,5 x3 = 1,25 x4 = 3,5 Ergibt 32 Millionen! |
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| 10.12.2007, 23:15 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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, ja, korrekt. Grüße Abakus
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