Lineare Abbildungen

03.12.2007, 19:48

Mulder

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Lineare Abbildungen

Hallo,

wir sollen diverse Abbildungen auf Linearität, Injektivität und Surjektivität untersuchen.

a) F: R² -> R² , (a , b) -> (a+b , ab)

Was die Linearität angeht: Da bin ich soweit, dass diese Abbildung nicht homogen ist (daher habe es auch gar nicht erst auf Additivität untersucht).

Dennoch kann sie ja theoretisch noch injektiv sein, oder nicht?

Mein Problem ist: Wie kann ich denn formal auch zeigen, dass die Abbildung injektiv ist? Ich weiß da irgendwie überhaupt kein Verfahren. Die Abbildung

F: x -> 2x beispielsweise ist injektiv, das sieht man ja schon sofort. Aber wie man das denn nun formal richtig zeigt, weiß ich nicht.

Kann mir da jemand füroberes Beispiel einen kleinen Schubs geben, wie ich das zeige?

03.12.2007, 20:02

tmo

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du kannst injektivität zeigen, indem du zeigst, dass aus $\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$ .
andersrum kannst du als widerspruchsbeweis auch zeigen:
$\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \Longrightarrow f(x_1) \neq f(x_2) \end{eqnarray*}$

aber man sieht hier leicht, dass die funktion nicht injektiv ist.

03.12.2007, 20:12

Mulder

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Zitat:

aber man sieht hier leicht, dass die funktion nicht injektiv ist.

Tut man das? Hammer

Hammer

Also haben verschiedene x hier das gleiche Bild? Das würde dann ja am besten mit der zweiten von dir genannten Methode gehen, oder?

Also dann sagen, sei x_1 von x_2 verschieden und dann zeigen, dass das Bild das gleiche sein kann?

03.12.2007, 20:15

tmo

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einfacher ist es ein konkretes gegenbeispiel zu geben.

beachte

$\begin{eqnarray*} (a+b,ab)=(b+a,ba) \end{eqnarray*}$

03.12.2007, 20:22

Mulder

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} (a+b,ab)=(b+a,ba) \end{eqnarray*}$

Manchmal sieht man wirklich vor lauter Bäumen den Wald nicht...

Danke dir, jetzt ist es klar. Freude

Freude

Okay, ein ähnliches Verständnisproblem habe ich jetzt auch bei der Surjektivität. Dabei muss ja jedes in der Bildmenge enthaltenes Element auch mindestens einmal abgebildet, bzw. "verwendet" werden, oder?

03.12.2007, 20:27

tmo

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ja das müsstest du zeigen, wenn du surjektivität vermutest.

aber auch hier ist es wieder leicht ein gegenbeispiel zu geben, z.b. $\begin{eqnarray*} (0,r) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r >0 \end{eqnarray*}$

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03.12.2007, 21:00

Mulder

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Oh man, bis ich dieses Gegénbeispiel gefunden hätte, wäre wahrscheinlich 3.Advent. Danke. Wink

Wink

Mein lieber Scholli, die nächste Aufgabe hat es auch in sich.

Also: F: R^n ---> R^n ,

x = (x_1 , .... , x_n) ---> (x_1 - a, .... , x_n -a) ,

wobei a das arithmetische Mittel der aufsummierten x_n ist.

Keine Ahnung, ob man das auch so auf Anhieb sehen kann, aber ich habe raus, dass das eine lineare Abb. ist. Kann das jemand verifizieren? Nur zur Sicherheit?

03.12.2007, 21:15

tmo

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ja das ist eine lineare abbildung.
hast du das denn auch ausreichend bewiesen?

03.12.2007, 21:20

Mulder

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Nunja, ich habe mir einfach zwei Mengen x und y genommen und gezeigt, dass die homogen und additiv sind,

also:

$\begin{eqnarray*} \lambda F(x) = F(\lambda x) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} F(x+y) = F(x) + F(y) \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Summe von (x+y) betrachte und das arithmetische Mittel von (x+y) haben will, ist das ja das gleiche wie Summe der arithmetischen Mittel der beiden Summanden x und y, oder? Das war der einzige Punkt, bei dem ich mir nicht ganz sicher war, aber normalerweise sollte das gehen, oder?

Sorry, ich kenne den Latex-Befehl für arithmetisches Mittel (dieser Strich über dem x) nicht.

03.12.2007, 21:49

Mulder

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Okay, jetzt tun sich hier so langsam die Pforten zur Hölle auf.

Den Ansatz für den Beweis für Injektivität haben wir hier ja jetzt stehen. Wenn ich mir zwei gleiche Abbildungen F(x) und F(y) nehme und diese gleich setze, kann ich das dann überhaupt formal richtig auf x=y zurückführen? Oder muss ich da andersrum ran und erst einmal von x=y ausgehen und dann die Gleichheit der Abbildungen zeigen?

03.12.2007, 21:49

tmo

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ja das stimmt mit dem arithmetischen mittel

du kannst das ja z.b. so hinschreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{x_1+...+x_n}{n} + \frac{y_1+...+y_n}{n} = \frac{x_1+...+x_n + y_1 + ... + y_n}{n} = \frac{(x_1+y_1)+...+(x_n+y_n)}{n} \end{eqnarray*}$

03.12.2007, 22:16

Mulder

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Also ich habe jetzt zwei Abbildungen F(x) und F(y) gleich gesetzt.

Das bedeutet ja, dass die einzelnen Komponenten des Bildes gleich sein müssen, oder? Also:

x_1 - a = y_1 - b

...

x_n - a = y_n - b

(wobei a und b jetzt die arithmetischen Mittel sind)

Soweit in Ordnung?

Da komme ich jetzt nicht weiter. Das wäre für mich klar, wenn die x_n paarweise verschieden wären, aber das sind sie ja nicht zwangsläufig, oder?

03.12.2007, 22:19

tmo

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zur injektivität:

zeige:
$\begin{eqnarray*} F(n,n-1,...,2,1) = F(n-1,n-2,...,1,0) \end{eqnarray*}$

das ist anschaulich klar, denn die komponenten des bildvektors sind gerade die abstände der komponenten des urbildvektors zum mittelwert.

und an diesem abstand ändert sich ja nichts, wenn man die einzelnen komponenten alle um die selbe zahl erhöht.

03.12.2007, 22:36

Mulder

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Okay, nochmal zur Surjektivität. Da haben wir in a) (besser gesagt du Augenzwinkern

Augenzwinkern

) ein Gegenbeispiel gefunden.

Jedes Bild muss also "verwendet" werden. Wie zeigt man das allgemein, wenn das gilt? Vielleicht ein Widerspruchsbeweis, in dem man davon ausgeht, dass es ein Bild gibt, das nicht "verwendet" wird?

Dann wäre das der Vorgehensweise aus a) vielleicht noch halbwegs ähnlich... *grübel*

03.12.2007, 22:42

tmo

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in vielen fällen kann man die surjektivität konstruktiv beweisen.

Sei also $\begin{eqnarray*} f: X \to Y \end{eqnarray*}$ eine abbildung.
dann konstruiert man ein $\begin{eqnarray*} x(y) \in X \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} f(x(y)) = y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ gilt.

manchmal kann man auch mit stetigkeit argumentieren. manchmal bestimmt auch mit einem widerspruchsbeweis.

03.12.2007, 22:49

Mulder

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Zitat:

Original von tmoSei also $\begin{eqnarray*} f: X \to Y \end{eqnarray*}$ eine abbildung.
dann konstruiert man ein $\begin{eqnarray*} x(y) \in X \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} f(x(y)) = y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ gilt.

Ahm... wie soll ich sagen... da scheitert es glaube ich an der Terminologie.

x und y sind doch beides Menge, oder? Was bezeichnet der Ausdruck x(y) denn?

03.12.2007, 22:53

tmo

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vielleicht hilft dir ein beispiel:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \mapsto 2x \end{eqnarray*}$

dann beweist man die surjektivität so:
Für alle $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ (Bildmenge) gilt: $\begin{eqnarray*} f(\frac{y}{2}) = y \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x(y) = \frac{y}{2} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ (urbildmenge) gilt.

03.12.2007, 23:03

Mulder

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Hilft auf jeden Fall.

Zitat:

Original von tmo $\begin{eqnarray*} f(\frac{y}{2}) = y \end{eqnarray*}$

Hmm... den gesuchten Ausdruck x(y) erhält man also allgemein, wenn man die Abbildung (in diesem Fall) y ---> 2x nach x umformt. Ist das die richtige Vorgehensweise oder ist das jetzt willkürlich gewählt von dir?

03.12.2007, 23:05

tmo

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ja manchmal kann man das so machen.

aber letztendlich ist halt jede abbildung anders und man kann keine allgemein beste vorgehensweise angeben.
du musst halt irgendwie beweisen, dass jedes element "verwendet" wird, wie du es genannt hast. wie du das machst, ist meistens dir überlassen.

03.12.2007, 23:12

Mulder

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Zwar habe ich noch keine Ahnung, wie ich da jetzt rangehe, aber wenigstens weiß ich nun, wie es geht. Immerhin. Ich probier nochmal ein wenig dran rum.

Danke jedenfalls für all die aufgewendete Zeit. smile

smile

04.12.2007, 15:24

tmo

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bei dieser abbildung ist es wieder von vorteil, wenn man nach einem gegenbeispiel ausschau hält smile

smile

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