Erwartungstreue und Umformen

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erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungstreue und Umformen
Hallo!

Ich habe da ein Problemchen.

Und zwar soll ich zeigen, dass eine bestimmte Schätzfunktion NICHT erwartungstreu ist.
Der Ansatz ist mir klar, aber wenn ich dann alles auflöse, kommt bei mir raus, dass diese bestimmte Schätzfunktion erwartungstreu ist.

Also muss da irgendwo ein Fehler sein! Ich finde ihn aber nicht.

Ich habe zum Beispiel folgendes:

die Xi sind unabhängig



Ich könnte mir vorstellen, dass hier der Fehler liegt.Kann mir jemand dazu etwas sagen? Dankle
AD Auf diesen Beitrag antworten »

in Verbindung mit Summationsindex ? Vermutlich meinst du

.

Das ist i.a. falsch - wie kommst du darauf, dass díese Gleichheit gelten könnte?
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Danke für die Antwort!

Ich dachte, der Erwartungswert eines Produkts von ZV ist gleich dem Produkt der Erwartungswerte der ZV.

Steht so auch bei Wikipedia (also als Formel).
Ich dachte das könnte man hier anwenden und die Summenzeichen einfach "mitziehen".

Stimmt das nicht?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von erwartungstreuer
ich dachte, der erwwartungswert eines produkts von ZV ist gleich dem produkt der erwartungswerte der ZV

Für unabhängige Zufallsgrößen mag das stimmen, i.a. stimmt das aber nicht. Und ist die Zufallsgröße von , also sich selbst, unabhängig? Nein, das stimmt nur für fast sicher konstante Zufallsgrößen, ein sehr exotischer Spezialfall.
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal.

Kannst du mir nen Tipp geben, wie ich die oben aufgestellte Gleichung vereinfache, so dass ich weiterrechnen kann?

Also eigentlich meine ich den Ausdruck ganz links in meinem 1. Beitrag. (keine Gleichung)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der Hauptfehler, den du gemacht hast, ist einfach zu benutzen. Für ist das auch richtig, für jedoch falsch. Und diese Produktkombination kommt eben auch in der Doppelsumme vor...

Richtig gerechnet kann man der linken Doppelsumme so den Garaus machen:

.

Bis hierhin ist nur die Unabhängigkeit der verwendet worden. Anscheinend sind sie auch noch identisch verteilt, obwohl du das noch nicht deutlich erwähnt hast? In diesem Fall kannst du natürlich noch weiter vereinfachen.
 
 
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja komplizierter als gedacht.
Du hast Recht, X1,....,Xn sind exponentialverteilt (mit Lamda) und unabhängige ZV.
Das mit der Doppelsumme klingt einleuchtend. Aber alles was danach kommt ist etwas zu anspruchsvoll für mich. Ich glaube nicht so wirklich, dass uns der Prof. so etwas zumuten würde.
Ich poste mal kurz die Aufgabe und meinen Lösungsweg bis zu besagter Stelle, vielleicht finden wir dann etwas weniger kompliziertes. Eigentlich ist die Aufgabe ja ganz simpel.

Danke erstmal, ich brauch ein paar Minuten zum Posten.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist daran kompliziert? Die Doppelsumme wird so aufgespalten, dass in dem einen Teil die mit , und in dem anderen Teil die mit versammelt sind - den Grund dafür habe ich genannt.
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Also gegeben ist:

Schätzfunktion

der zu schätzende Parameter der GG=

X1,...,Xn sind exponentialverteilt mit und unabhängige ZV

Jetzt soll gezeigt werden, dass die Schätzfunktion NICHT erwartungstreu ist!

Mein Ansatz:











Soweit bin ich gekommen und dann hab ich halt den Fehler aus meinem 1. Post gemacht.
Fällt dir jetzt was einfacheres ein? Oder hab ich noch mehr Fehler?

Bin für jeden Hinweis dankbar. Willkommen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe dem oben wenig hinzuzufügen - ich finde, mein Zugang ist einfach genug. Insofern bin ich auch überhaupt nicht dieser Meinung:

Zitat:
Original von erwartungstreuer
Ich glaube nicht so wirklich, dass uns der Prof. so etwas zumuten würde.

An der Hochschule sollte man sich doch von ein paar lächerlichen Summensymbolen nicht einschüchtern lassen.
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Danke auf jeden Fall für deine Hilfe.

Ich lass mich ja von ein paar Summenzeichen nicht einschüchtern. Ich kann auch NACHVOLLZIEHEN was du da gemacht hast.
Aber SELBER DRAUFKOMMEN kann ich als Nicht-Mathestudent halt nicht. Und das hier ist Teil einer Hausaufgabe. Also muss ich selber draufkommen, und deshalb glaube ich, dass es auch einfacher gehen muss.
Ich bin mir ganz sicher, dass es einen anderen Weg geben muss, komme aber leider nicht drauf, da Xk ja leider nicht unabhängig von sich selbst ist.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von erwartungstreuer
Ich bin mir ganz sicher, dass es einen anderen Weg geben muss

Es gibt immer einen anderen Weg. Aber ich bin mir auch ganz sicher, dass dieser nicht substanziell einfacher ist.
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es keine "Vereinfachung" für Ausdrücke wie ?

Weil ich könnte ja einfach sagen:

Y sei eine ZV, so dass



Dann würde sich meine letzte Zeile verändern (mit Umstellen von n^-2)



Wenn es eine "Vereinfachung" für Ausdrücke wie gibt, wäre mir vielleicht schon geholfen. Ich würde dann später Y wieder ersetzen.

Ich will ja irgendwann auf etwas kommen wie



, damit ich dann



dafür einsetzen kann um dann hoffentlich zu zeigen, dass die Schätzfunktion nicht erwartungstreu ist.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von erwartungstreuer

Das musst du nun doch mitgekriegt haben, dass dieser Wert falsch ist. Der richtige Wert ist

,

ergibt sich u.a., wenn du die Exponentialverteilung oben in die Endformel aus meinem Beitrag einsetzt. Wie du darauf aber mit einer Dünnbrettbohrmethode kommen willst, darauf bin ich sehr gespannt. Augenzwinkern
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das jetzt rihtig verstanden habe, dann ist meine letzte Zeile aus dem Beitrag von 12:18 Uhr auch falsch?

Ich hab doch nur umgestellt um auf das zu kommen, was anscheinend falsch ist.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Ungleichheitszeichen ist die Zeile schon richtig - Gleichheit wäre falsch.
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, d.h. dass die Lösung bis dahin stimmt und ich hab halt nach wie vor das eingangs erwähnte Problem habe.
(Also eigentlich nicht, weil du mir ja schon mit dem Problem geholfen hast, ich aber eine andere "Herangehensweise" bevorzugen würde.)

Ich glaube ich sollte erstmal einfachere Aufgaben zu diesem Thema lösen, vielleicht fällt es mir ja dann wie Schuppen von den Augen.

Deshalb hab ich hier mal ne andere Aufgabe (zum selben Thema) gelöst und würde mich freuen, wenn du mir gleich mitteilen würdest, dass diese Lösung richtig ist (natürlich nur, wenn sie es denn auch ist und ich dich nicht nerve).

Also: (vor allem 2. ist hier zu diesem Thema relevant)

Gegeben:

- Urne mit n Kugeln, beschriftet mit den Zahlen 1,...,n
=> Es wird eine Kugel aus der Urne gezogen
- Es sei ZV X = Nummer der gezogenen Kugel

1. Gesucht:

Wahrscheimnlichkeitsfunktion für X

Meine Lösung:

für i=1,...,n

ist die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Kugel (Zahl) zu ziehen.
X ist also (diskret) gleichverteilt.

2. Gesucht:

Man soll zeigen, dass



ein erwartungstreuer Schätzer für n ist!

Meine Lösung:

Es muss gelten:





mit


Erwartungswert bei diskreter Gleichverteilung

also:



Die Summe muss weg!=> Summenformel für die ersten n natürlichen Zahlen einsetzen ergibt:



also



Das muss man doch bei so einer Aufgabe so machen, oder?
Fänds toll wenn jemand irgendetwas dazu zu sagen hat.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist richtig.
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Finds echt toll, das du dich hier so engagierst.
Darf man fragen ob du das ehrenamtlich machst oder beruflich?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Hier im Board bin ich ehrenamtlich unterwegs, wie alle. Augenzwinkern
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Umso löblicher!

Noch eine kleine Frage (gleiche Aufgabe von eben)

Ich habe



Das n ist doch eigentlich eine Konstante, oder?
Das heißt doch ich kann das n einfach "rausziehen", sodass



Ich hatte erst überlegt, hier die Regel mit dem Erwartungswert vom Produkt zweier ZV anzuwenden, aber n ist ja keine ZV, sondern einfach eine natürliche Zahl (die Anzahl der Kugeln in der Urne).
Die Frage ist ob n auch eine Konstante ist, sodass ich n rausziehen kann.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Multiplikative Konstanten sind kein Problem, die können immer rausgezogen werden.
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist ja, ob n überhaupt eine Konstante ist.
Bin gerad verwirrt, da n ja auch variabel ist.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von erwartungstreuer
Die Frage ist ja, ob n überhaupt eine Konstante ist.

Oh oh, jetzt begibst du dich aber auf gefährlichen Boden: Damit stellst du jetzt das ganze Modell der mathematischen Stichprobe in Frage. smile

Nur weil man die Stichprobengröße variieren kann, heißt das noch lange nicht, dass man das als Zufallsgröße ansieht.
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Manchmal spielen die Synapsen verrückt.
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Ich bin es nochmal.
Hab mir nochmal Gedanken zur 1. Aufgabe gemacht (Zeige, dass die Schätzfunktion NICHT erwartungstreu ist):

Kann man die Aufgabe nicht grafisch lösen?
Also praktisch die Schätzfunktion plotten, dann den Erwartungswert der Schätzfunktion anzeigen lassen und dann praktisch ablesen, dass der Erwartungswert der Schätzfunktion nicht mit dem wahren Parameter übereinstimmt?

Man müsste aber irgendwie einbauen, dass die Xi exponentialverteilt sind, ...

Kenn mich leider mit mathematischer/statistischer Software kaum aus, weiß also nicht ob das möglich ist.

Geht sowas?

Danke
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie plottet man eine zufällige Schätzfunktion? Nur eine Trajektorie? Welche Beweiskraft hat das hinsichtlich Erwartungstreue?

Fragen über Fragen.
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Na deswegen meinte ich ja, dass man einbauen muss, dass die Xi exponentialverteilt sind (das beschreibt ja gewissermaßen die Art der Zufälligkeit => bitte nicht wörtlich nehmen).
Trajektorie habe ich noch nie gehört, kann ich also auch nichts zu sagen.

Heißt das, dass ich eine grafiische Lösung lieber nicht anstreben sollte?

Gruß
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde es einigermaßen ungewöhnlich, dass du dich gegen eine bereits vorliegende Lösung so mit Händen und Füßen wehrst - nur weil du meinst, was besseres finden zu können, wozu du dann doch nicht in der Lage bist. Dein letzter Vorschlag war in seiner Unausgegorenheit geradezu haarsträubend.
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, danke für die Hilfe.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst nicht gleich vergnatzt reagieren: Ich würde schon gern wissen, was an meinem Zugang so auszusetzen ist? Ich finde ihn geradlinig, schnörkellos - einfach naheliegend. Es fehlt dann nur noch, die Erwartungs- und Varianzwerte deiner speziellen Exponentialverteilung einzusetzen, um damit dieses Ergebnis zu erhalten. Ist das zu langweilig? Augenzwinkern
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte nicht vergnatzt reagierend erscheinen (was auch immer das heißen mag).
Dein Zugang ist ja auch gut.
Er liefert ja auch ein Ergebnis das passen würde, nämlich das





womit dann ja bewiesen wäre, dass die Schätzfunktiion nicht erwartungstreu ist.

Ich tue mir mit dieser Lösung deshalb so schwer, weil ich die Hausaufgabe abgeben muss und nur sehr ungern etwas abgebe, das ich zwar glauben und verstehen, aber wahrscheinlich jemand anderem kaum erklären könnte.
Ich bin ein kleiner Perfektionist - das macht es mir halt schwer.

Zum Beispiel dieser Teil der Lösung:



Das verschlägt mir die Sprache.
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Das entspricht einfach überhaupt nicht dem Niveau meiner Statistik-Vorlesung, sondern geht weit darüber hinaus.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Da steckt gar nix weiter dahinter:

In der Doppelsumme fehlen die Summanden für , sie werden ja explizit ausgeschlossen. In dem zweiten Ausdruck werden sie nun aber mit aufgenommen. Damit das noch stimmt, müssen sie aber an anderer Stelle wieder abgezogen werden - und das geschieht gleich vorn. Wenn man so will, wird also eine "kräftige" Null in der Form



addiert. Kann mir beim besten Willen nicht vorstellen, dass diese kleine Summenmanipulation das "Niveau einer Vorlesung übersteigt". Also mal schön runterkommen. Augenzwinkern
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Verstanden habe ich das ja. Aber das du überhaupt auf die Idee gekommen bist, derartige Umformungen durchzuführen, lässt mich staunen.
Wir machen bei uns halt weniger Beweise, sondern mehr Anwendungen der Formeln (woher die dann genau kommen ist eher zweitrangig).
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, noch eine Frage:

Das du aus





gemacht hast, ist erlaubt, obwohl

j=k

?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Problem ist nicht die Stochastik, sondern massive Unsicherheit im Zusammenhang mit dem Summensymbol! Dort im Erwartungswert steht das Produkt der Zufallsgrößensumme



mit sich selbst - anders formuliert: ihr Quadrat.

Wie man diese Summe nun schreibt, ob oder oder oder , ... das ist doch nun wirklich sch....egal. Wichtig ist doch nur, dass das Indexsymbol nicht schon anderweitig global verbraten ist, dann sollte man dieses Symbol natürlich nicht verwenden. Das ist kein Widerspruch zu der korrekten Darstellung

,

wo das doppelt verwendet wird, denn in dieser Darstellung hat ja das jeweils nur lokale Bedeutung als Index in der jeweiligen Summe - außerhalb deren Geltungsbereich ist das wieder "frei" als anderweitiger Index verfügbar. Zugegebenermaßen wäre die Darstellung

,

an dieser Stelle noch etwas deutlicher, da sie den Geltungsbereich der Summen richtig abgrenzt. Es hat sich eben eingebürgert, da etwas nachlässig zu agieren, wenn keine Verwechslungsgefahr besteht - für nicht so Erfahrene mag das manchmal verwirrend sein. Eine Umwandlung in



wäre hier jedenfalls völliger Käse, und zwar in zweierlei Hinsicht: Doppelverwendung von Indizes in verschachtelten Summen gibt es nicht! Und die lokale Trennung, die links da ist, ist rechts in der Doppelsumme nicht mehr vorhanden. Die Darstellung



hingegen ist völlig korrekt, und genau deswegen bin ich ja zu verschiedenen Indexsymbolen in den zwei Summen übergegangen.
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja wirklich logisch. Das ich da nicht selbst drauf gekommen bin, ...

Mir ist übrigens aufgefallen, dass unter der Aufgabe noch 2 Hinweise stehen (dachte zuerst die gehören zur nächsten Aufgabe => Verzerrung der Schätzfunktion berechnen).



und



Diese Hinweise haben wir in "unserer" Lösung ja gar nicht benutzt. Kannst du dir erklären, was mit diesen Hinweisen erreicht werden sollte?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Da du nie deutlich die eigentliche Aufgabenstellung genannt hast, kann ich das nicht sagen.
erwartungstreuer Auf diesen Beitrag antworten »

Also gegeben ist:

Schätzfunktion

der zu schätzende Parameter der GG=

X1,...,Xn sind exponentialverteilt und unabhängig

Jetzt soll gezeigt werden, dass die Schätzfunktion NICHT erwartungstreu ist!

Hinweise siehe oben.

Das ist die Aufgabe, dachte das hätte ich am 4.12. klargestellt.
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