Eigenwerte und dazugehörige Hauptachsenrichtungen |
04.12.2007, 18:43 | Kallie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eigenwerte und dazugehörige Hauptachsenrichtungen Folgende Matrix ist gegeben: mit Aufgabe ist es nun für jedes die Eigenwerte und die dazugehörigen Hauptachsenrichtungen zu bestimmen. Wie soll das aber gehen, wenn die Determinante der Matrix 0 ist!? Danke schonmal! |
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04.12.2007, 18:49 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Matrix ist symmetrisch. Berechne das charakteristische Polynom. |
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04.12.2007, 18:53 | Kallie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh, ich habe gerade selbst gemerkt, dass ich nicht richtig nachgedacht habe! Trotzdem danke! |
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04.12.2007, 19:22 | Kallie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So nun habe ich das char. Polynom und die Eigenwerte bestimmt: Daraus folgen die 3 Eigenwerte Wie gehe ich nun aber weiter vor um die Hauptachsen zu bestimmen!? |
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04.12.2007, 19:29 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das stimmt bisher. Meinst du mit Hauptachsen die Eigenvektoren? |
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04.12.2007, 19:33 | Kallie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also mit Hauptachsen bezeichnen wir die paarweise orthogonalen Eigenvektoren einer sym. Matrix! |
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04.12.2007, 19:41 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, das macht Sinn. Zunächst musst du aber jeweils eine Basis der Eigenräume finden - alle drei haben die Dimension 1 (algebraische Vielfachheit gleich geometrischer Vielfachheit). |
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04.12.2007, 19:50 | Kallie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Basis und Eigenräume sagen mir überhaupt nichts! |
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04.12.2007, 19:57 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenvektor...r_Eigenvektoren |
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04.12.2007, 20:09 | Kallie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So wirklich weiterhelfen tut mir das immer noch nicht! Sorry! |
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04.12.2007, 20:20 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein lineares Gleichungssystem wirst du wohl lösen können, oder nicht? |
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04.12.2007, 20:21 | Kallie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja das kann ich wohl! |
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04.12.2007, 20:27 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eigenwerte und dazugehörige Hauptachsenrichtungen Gut, dann löse mal die folgenden drei Gleichungssysteme: 1) 2) 3) Die Lösungsmenge wird jeweils von einem Parameter abhängen. |
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04.12.2007, 20:55 | Kallie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eigenwerte und dazugehörige Hauptachsenrichtungen Das erste System hatte ich auch schon, aber ich glaube dies ist das erste mal, dass ich ein LGS mit sin und cos habe. Für 1) Wenn ich die 2. Zeile mit multipliziere und dann zu der 3. Zeile addiere bekomme ich folgende Matrix: Ist das soweit richtig?! An dieser Stelle würde ich setzen. Somit wäre und ?! Jetzt bitte nicht auf die Mütze hauen, falls das falsch ist! |
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04.12.2007, 21:38 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Offensichtlich wird die erste Gleichung von gelöst. |
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05.12.2007, 16:12 | Kallie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meine Lösung scheint auch richtig zu sein, aber deine sieht um einiges schöner aus! Wie bistn du darauf gekommen?! |
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05.12.2007, 18:58 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe den ursprünglichen Lösungsvektor mit (skalar) multipliziert - dann spart man sich die Fallunterscheidung (nicht die Probe vergessen!). |
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05.12.2007, 22:48 | Kallie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm, klar, hab ich mal wieder nicht auf den ersten blick gesehen! habe jetzt die anderen beiden eigenvektoren berechnet. Für 2) und für 3) Also beides die selben,...ob das so richtig ist!? Wahrscheinlich gibts wieder einen viel unkomplizierteren Weg! |
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05.12.2007, 23:25 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist falsch. EDIT: Es ist übrigens nur das Vorzeichen der ersten Komponente falsch.
Das ist richtig, falls . Verwende lieber den immer gültigen Vektor |
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