Volumeberechnung eines Tetraeders

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Volumeberechnung eines Tetraeders
Hallo, ich habe folgendes Problem, uind zwar soll ich die Fromel für das Volume eines Tetraeders herleiten, beginnend mit der Höhe(als tipp)
kann mir da einer helfen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

die Eckpunkte des Tetraeders mit der Seite a seien A,B,C,D.

Von D wird die Körperhöhe H normal auf ABC gezeichnet, sie trifft das Dreieck ABC in dessen Schwerpunkt S (d. i. der Mittelpunkt des gleichseitigen Dreieckes).

Dieser liegt auch auf der Höhe h des gleichseitigen Dreieckes ABC und teilt diese im Verhältnis 2 : 1 vom Eckpunkt aus gesehen (Schwerpunktseigenschaft).

Daher beträgt die Länge SA = (2/3)*h, wobei h = (a/2)*sqrt(3) ist.

Es ist SA = (2/3)*h = (2/3)*(a/2)*sqrt(3) = (a/3)*sqrt(3)

Das räumliche Dreieck SAD ist nun ein rechtwinkeliges, mit SD = H, SA = (a/3)*sqrt(3) als Katheten und AD = a als Hypothenuse.

Lassen wir nun Pythagoras walten, gilt:

H² = a² - a²/3 = (2/3)*a²
H = a*sqrt(2/3)
°°°°°°°°°°°°°°°


Das Volumen letztendlich wird nach der allg. Pyramidenformel

V = G*H/3

berechnet, für G (Grundfläche) setzen wir (a²/4)*sqrt(3), die Fläche des gleichseitigen Dreieckes ->


[edit mYthos 23.2. / 16:02]
V = (a²/4)*sqrt(3)*(1/3)*a*sqrt(2/3) = (a³/12)*sqrt(3)*sqrt(2)/sqrt(3)

V = (a³/12)*sqrt(2)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°



Gr
mYthos
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supper, danke für die schnelle hilfe.

nex

edit: nur noch eine frage, bist du dir sicher das es

V=a^3/4 ist und nicht a^3/12 ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Nexus

.. man soll in der Nacht nicht mehr arbeiten!

Klar ist das Volumen des Tetraeders:

V = (a³/12)*sqrt(2)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°


Ich hatte das Drittel für das Pyramidenvolumen ausgelassen!
Ich editiere es dann mal oben, damit da nix Falsches stehenbleibt.


Sorry & Danke
mYthos
-=Nexus=- Auf diesen Beitrag antworten »

jo supper, danke
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