Doppelpost! Rang, Ungleichung

05.12.2007, 19:49

miranda

Rang, Ungleichung

Hallo!

Ich habe folgende Rangungleichung zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} Rang(\alpha ° \beta ) + Rang (\gamma ° \beta ) \leq Rang (\beta ) + Rang (\gamma ° \beta ° \alpha ) \end{eqnarray*}$

Die linearen Abbildungen \alpha ,\beta , \gamma der Vektorräume A,B,C,D seien folgendermaßen definiert:
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ : A --> B
$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ : B --> C
$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ : C --> D

Als Hinweis habe ich gegeben, dass ich den Dimensionssatz verwenden soll.

Der Dimensionssatz an sich ist mir klar und ich weiß auch, dass der Rang gerade die Dimension des Bildes ist. Was mir hier Probleme macht sind die Verknüpfungen zwischen den Abbildungen. Ich verstehe nicht, wie diese Schreibweise gemeint ist und wie man damit umgehen muss.

Ich wär sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte!!

05.12.2007, 19:53

tigerbine

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Meinst Du $\begin{eqnarray*} \alpha \circ \beta \end{eqnarray*}$ ? Hier wohl die Nacheinanderausführung der Abbildungen?

06.12.2007, 06:44

miranda

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Ja genau. Nur leider habe ich bei der Hintereinanderausführung von Abbildungen ziemliche Verständnisprobleme. Liege ich richtig, dass im Fall
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ° $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$
zuerst B auf C und dann A auf B abgebildet wird?

Irgendwie fehlt mir da die Vorstellung. Kann mir das vielleicht jemand genauer erklären?

06.12.2007, 10:03

piloan

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Hi
hier ist der passende Artikel :

http://de.wikipedia.org/wiki/Komposition_(Mathematik)

Grüße

06.12.2007, 10:51

tigerbine

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Gestartet wird mit allen Elementen aus A. Diese bekommen Bilder aus B zugeordnet. Was für ein Gebilde bilden die Bilder denn bzgl. des VR B?

06.12.2007, 18:07

miranda

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Die Elemente aus B werden auf Elemente aus C abgebildet, das verstehe ich schon. Aber bei der Hintereinanderausführung $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ° $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ bedeutet ja $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ . Wenn ich das richtig verstanden habe bedeutet das, dass zuerst die Abbildung von $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ (B --> C) und danach die Abbildung von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (A --> B) durchgeführt wird. Aber genau das verstehe ich nicht. Wenn ich meine Elemente von B nach C schicke und in der nächsten Abbildung die Menge C gar nicht vorkommt kann ich auch nicht weiterabbilden. Oder mach ich da grad nen riesen Denkfehler?

06.12.2007, 18:14

tigerbine

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Schreiben wir es doch einmal ordentlich.

$\begin{eqnarray*} \text{Rang}(\alpha \circ \beta ) + \text{Rang} (\gamma \circ \beta ) \leq \text{Rang} (\beta ) + \text{Rang} (\gamma \circ \beta \circ \alpha ) \end{eqnarray*}$

Dabei gilt für die linearen Abbildungen:

$\begin{eqnarray*} \alpha:~A \to B,~\beta:~B \to C,~\gamma:~C \to D \end{eqnarray*}$

Ich würde nun meinen, dass es hier heißen muss:

$\begin{eqnarray*} \beta \circ \alpha \end{eqnarray*}$

Kannst Du da Rückfragen?

06.12.2007, 19:54

miranda

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Oh ja! Entschuldige, das war mein Fehler! Die richtige Ungleichung lautet:
Rang( $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ° $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ) + Rang( $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ° $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ Rang( $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ) + Rang( $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ° $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ° $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )

Dann wird A auf B und B auf C abgebildet und die Hintereinanderausführung macht auch Sinn. Ich hab allerdings immer noch ein Problem damit darauf die Dimensionsformel anzuwenden. Der Rang ist ja gleich der Dimension des Bildes. Kann man damit sagen, dass Rang( $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ° $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ) = dim(C) ? Oder muss ich da ganz anders drangehen?

06.12.2007, 19:59

tigerbine

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Zitat:

Original von tigerbine
Gestartet wird mit allen Elementen aus A. Diese bekommen Bilder aus B zugeordnet. Was für ein Gebilde bilden die Bilder denn bzgl. des VR B?

Dazu erstmal die Frage beantworten

06.12.2007, 23:09

WebFritzi

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http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/...=679694#v679694

miranda und grundle sind offenbar ein und dieselbe Person. Nur zur Info: Es wird hier nicht gerne gesehen, wenn man in mehreren Foren die gleiche Frage postet. Ich persoenlich habe nichts dagegen, andere aber sehr wohl.

06.12.2007, 23:16

tigerbine

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Du kannst ja gerne in beiden Foren auf die Frage antworten. Augenzwinkern