Rang von Matrizenprodukten

05.12.2007, 21:44

marci_

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Rang von Matrizenprodukten

Guten Abend!

mir ist ein letzter Teil einer aufgabe nicht klar und zwar:

$\begin{eqnarray*} \alpha: \mathbb R^3 \to \mathbb R^2, \beta: \mathbb R^2 \to \mathbb R^4, \gamma: \mathbb R^4 \to \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

und deren Abbildungsmatrizen:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ -1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1& 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die frage hierzu:
warum kann der rang der abbildungsmatrix von $\begin{eqnarray*} \gamma o \beta o \alpha \end{eqnarray*}$ nie größer als 2 sein?

in der teilaufgabe zuvor musste ich den rang der abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} \gamma o \beta o \alpha \end{eqnarray*}$ bestimmen und zeigte, dass dieser 2 ist.
aber das ist nicht die begründung nehm ich an!?

die abbildung verlief doch so:
$\begin{eqnarray*} _A \gamma_C \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} _C \beta_B \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} _B \alpha_A \end{eqnarray*}$

kann ich den Rang 2 so begründen, dass dieser maximal 2 sein kann, weil am Ende wieder A seht und A den rang 2 hat?

danke und gruß, marci

06.12.2007, 01:13

tigerbine

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RE: Rang von Matrizenprodukten
Die Verkettung heißt, wir starten mit der Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Zu dieser ist uns nur die Dimension des Zielraums bekannt, nicht aber ihr Rang. Da der Urbildraum eine größere oder gleiche Dimension wie der Zielraum hat, wäre es möglich dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ den Rang 2 hat. Größer kann er wohl aber nicht werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Kleiner schon.

Damit hat der UVR, auf den du nun die Abbildung ß loslässt, maximal die Dimension 2. Gibt es eine lin Abbildung, deren Bild dann eine größere Dimension hat? Dazu mal in den angegebenen Satz schauen.

07.12.2007, 00:36

marci_

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Zitat:

a der Urbildraum eine größere oder gleiche Dimension wie der Zielraum hat, wäre es möglich dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ den Rang 2 hat. Größer kann er wohl aber nicht werden

der urbildraum hat doch die dimension 3?!

Zitat:

Gibt es eine lin Abbildung, deren Bild dann eine größere Dimension hat? Dazu mal in den angegebenen Satz schauen.

in welchen satz muss ich dafür schaun?

danke und gruß, marci

07.12.2007, 00:51

tigerbine

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Hab doch auch >= gesagt. Also 3 > 2 Big Laugh

Big Laugh

Aber wer ist denn hier für den max. Rang ausschlaggebend? Nicht der Urbildraum. Satz ist nur die Dimensionsformel.

07.12.2007, 17:20

marci_

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dim V= dim Kern $\begin{eqnarray*} (\alpha) \end{eqnarray*}$ + dim Bild $\begin{eqnarray*} (\alpha) \end{eqnarray*}$
dabei ist das bild für den maximalen rang ausschlaggebend!
die dimension des kernes beträgt 1, damit der satz gilt, muss der rang zwei sein!

ist das eine angemessene begründung?

07.12.2007, 17:23

tigerbine

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Und warum sollte der der Kern die Dimension 1 haben? verwirrt

verwirrt

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07.12.2007, 17:38

marci_

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ich glaub ich hab mich verrechnet rg kern(alpha)=2

dimv=4 ?
muss ich diese dimension auf die "urbild" dim beziehen, schon oder?

07.12.2007, 17:44

tigerbine

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Du verstehst immer noch nicht worum es mir geht. Vergiß bitte mal die konkreten Werte in den Matrizen. Mir geht es nur um die Frage

Zitat:

warum kann der rang der abbildungsmatrix von $\begin{eqnarray*} \gamma \circ \beta \circ \alpha \end{eqnarray*}$ nie größer als 2 sein?

Dazu braucht hier nur die Dimensionen der Vektorräume zwischen denen abgebildet wird.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \alpha: \mathbb R^3 \to \mathbb R^2, \beta: \mathbb R^2 \to \mathbb R^4, \gamma: \mathbb R^4 \to \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

Da ist schon nach der ersten Abbildung klar, dass der Rang der gesamten Abbildung nie größer als 2 sein kann. Das möchte ich nun von Dir einmal begründet hören.

07.12.2007, 20:06

marci_

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leider weiß ich darauf keine antwort...
ist es vllt. so, dass die erste abbildung bereits bei einer verkettung die restlichen abbildungen vorgibt?!

07.12.2007, 20:08

tigerbine

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ich wiederhole meine Frage aus dem Würfelthread. Die Bilder welcher Vektoren sind für eine lineare Abbildung entscheidend?

07.12.2007, 20:17

marci_

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die bilder für die gilt:f(v)=0 und f(v)=w ?

07.12.2007, 20:18

tigerbine

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Nein. Ein VR hat i.A. unendlich viele Vektoren. Dennoch gibt es meist endlich viele "besondere"

07.12.2007, 20:22

marci_

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die vektoren, die mittels der einheitsmatrix auf sich selbst abgebildet werden?

07.12.2007, 20:24

tigerbine

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Ihre joker sind verbraucht. BASISVEKTOREN, wäre die richtige Antwort gewesen. Nichts anderes als deren Bilder lesen wir auch in den Spalten von darstellenden Matrizen.

Wir haben also 3 Basisvektoren im Urbildraum. Deren Bilder unter der Abbildung Alpha werden betrachtet. Wie viele linear unabhangige können wir danach höchstens haben?

07.12.2007, 20:31

marci_

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es gilt doch:
die anzahl an elementen der basis, aus der ich abbilde entspricht der spaltenanzahl der abbildungsmatrix
die anzahl an elemente der basis in die ich abbilde, entspricht der zeilenanzahl der abbildungsmatrix

da wir von R³ nach R² abbilden ist die anzahl der elemente der basis aus der ich abbilde=3 und somit die anzahl der spalten der abbildungsmatrix=3
es gibt also maximal 3!

07.12.2007, 20:40

WebFritzi

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Alpha bildet in den R^2 ab, d.h., das Bild von Alpha kann hoechstens 2-dimensional sein. Die Dimension des Bildes ist aber gerade der Rang.

07.12.2007, 20:48

marci_

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die abbildungsmatrix, die diese abbildung beschreibt ist doch eine 2x3 matrix?
von diesen drei spalten vektoren sind aber max. 2 linear unabhängig?!

dank webfritzi für die erklärung...
mir fällt der umgang( wie man ja sieht) noch nicht so ganz leicht

07.12.2007, 21:03

WebFritzi

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Zitat:

Original von marci_
die abbildungsmatrix, die diese abbildung beschreibt ist doch eine 2x3 matrix?
von diesen drei spalten vektoren sind aber max. 2 linear unabhängig?!

2mal ja.

07.12.2007, 21:25

tigerbine

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Ist nun auch klar, warum der Rang der Komposition höchstens 2 sein kann?

07.12.2007, 22:45

marci_

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irgendwie nicht, weil gamma bildet doch den R4 in den R³ ab,
oder ist der rang von alpa ausschlaggebend für alle?

07.12.2007, 23:44

tigerbine

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Welche menge Bildet Beta denn ab. In der Komposition der Abbildungen? Da liegt der Hund begraben. Einzeln gilt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \alpha: \mathbb R^3 \to \mathbb R^2, \beta: \mathbb R^2 \to \mathbb R^4, \gamma: \mathbb R^4 \to \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

Zusammen aber

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \stackrel{\alpha} \to \text{Im}(\alpha) \subseteq \mathbb R^2 \stackrel{\beta} \to \text{Im}_{\alpha}(\beta) \subseteq \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$

07.12.2007, 23:51

marci_

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beta bildet R² ab!
aber warum nimmst du gamma nicht mehr hinzu?

07.12.2007, 23:57

tigerbine

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Marci, du verstehst es einfach nicht. unglücklich

unglücklich

Beta kann in der Komposition nichts abbilden, was nicht mehr da ist. Alleine genommen bildet es sicher den IR² ab. Gamma hab ich weggelssaen, weil ich zu faul war, noch mehr indizes zu tippen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nehmen wir das brutalste Beispiel für alpha

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0&0&0 \\0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \text{Im}(\alpha) = \begin{pmatrix} 0 \\0\end{pmatrix} \subseteq \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

Nun kann beta nur noch den Nullvektor abbilden. Es liegt nun in der Natru der Linearen Abbildung, dass folgt:

$\begin{eqnarray*} \text{Im}_{\alpha}(\beta) = \begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \subseteq \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$

08.12.2007, 00:14

marci_

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ich steh hier glaub total aufm schlauch...sorry!

an dem hier scheiters ein bischen bei mir:

Zitat:

Beta kann in der Komposition nichts abbilden, was nicht mehr da ist.

ist das jetzt nur für die nullmatrix der fall?
oder für alles, weil dann versteh ich nicht, wo es hinkommt...

schonmal vielen dank für deine geduld mit mir!

08.12.2007, 00:30

tigerbine

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Wir sind alle einmal durch das Tal gegangen. Die einen länger, die anderen kürzer Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nein, das ist für jede Matrix der Fall, die nicht vollen Rang hat. Wichtig ist, dass Du einsiehts, dass das Bild einer Linearen Abbildung ein Untervektorraum des Zielraums ist. Und nur dieser wird in einer Komposition von Abbildungen weiter abgebildet.

Zweitens, kann man einen Raum nicht dimensionsmäßig durch abbilden vergrößern. Schauen wir uns die Abbildung beta alleine an. Sie bildet von einem 2D in einen 4D Raum ab. Dennoch hat das Bild, ein UVR des 4D-VR höchstens die Dimension 2.

Gehen wir nun die Komposition für den höchst möglichen Rangfall durch. Dann ist schon alleine durch alpha klar, dass wir, da der Zielraum schon nur 2D ist, über diese Dimenison im weiteren nicht mehr hinauskommen werden.

08.12.2007, 00:53

marci_

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Zitat:

Gehen wir nun die Komposition für den höchst möglichen Rangfall durch. Dann ist schon alleine durch alpha klar, dass wir, da der Zielraum schon nur 2D ist, über diese Dimenison im weiteren nicht mehr hinauskommen werden.

das bedeutet also, dass alpha für den ganzen ablauf verantworlich ist!
durch alpha ist der rest schon in gewisser weise vorbestimmt?

Zitat:

Zweitens, kann man einen Raum nicht dimensionsmäßig durch abbilden vergrößern. Schauen wir uns die Abbildung beta alleine an. Sie bildet von einem 2D in einen 4D Raum ab. Dennoch hat das Bild, ein UVR des 4D-VR höchstens die Dimension 2.

das hat mir zum verständnis gefehlt

08.12.2007, 00:56

tigerbine

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Richtig, alpha setzt den ersten Maßstab. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.12.2007, 00:59

marci_

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dankeschön!

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