lineare abbildung eines quadrates

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marci_ Auf diesen Beitrag antworten »
lineare abbildung eines quadrates
Hallo!

Ein Quadrat Q Teilmenge von besitzt die Eckpunkte:



Nun soll ich alle Matrizen A bestimmen für die die lineare abbildung:
die ecken des quadrates auf sich selbst abbildet.

Da mein Urbild, wie mein Bild in sind, kann ich eine Basis B nehmen, mit
und

ist gesucht:

dann muss ich doch so vorgehen:


da aber ein eckpunkt erst duch die Basis gebildet werden muss, muss ich das doch so machen:


ich müsste als abbildungsmatrix doch eine 2x2 Matrix erhalten?
aber auf die komm ich nicht...
könnt ihr mir bitte helfen?

danke und gruß, marci
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare abbildung eines quadrates


Was besagt es denn, wenn ein Punkt, also ein Vektor durch eine l.Abb. auf sich selbst abgebildet wird? Es muss wohl für die 4 Ecken gelten:




Die einfachste Abbildung die dies leisten wird ist die Identität. Augenzwinkern Nun kann es noch weitere geben? Wenn jeder Eckpunkt auf sich abgebildet werden soll, nein. Oder dürfen die Ecken "permutieren"?
 
 
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

@tigerbine, ich dachte auch sofort an die einheitsmatrix, aber dann gäbe es doch eine matrix, wie du schon sagtest, wenn jeder punkt auf sich selbst abgebildet werden würde!

permutieren, heißt zB: P1 wird auf P2 usw. abgebildet?

ich habe die frage genauso übernommen, wie sie auf dem blatt steht.
also müsste genau für die frage, die einheitsmatrix die einzige lösung sein?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich interpretiere die fragliche Formulierung wie tigerbine, also
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Im Aufgaben stellen hat der WebFritzi wohl mehr Übung wie ich. Von Marci würde ich noch gerne hören, warum es bei "unserer" Interpretation keine weitere Matrix geben kann. Und muss man dafür wirklich die Identität von allen 4 Punkten fordern? Wie viele (und welche) muss man mindestens fordern?

Zitat:
@tigerbine, ich dachte auch sofort an die einheitsmatrix, aber dann gäbe es doch eine matrix,


? Ja es soll doch auch eine gebe. Da steht ja nicht , zeigen sie, dass es keine gibt verwirrt
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

@tigerbine:
in der aufgabenstellung steht: geben sie alle matrizen an, aber es gibt ja dann nur eine!
deine frage verstehe ich allerdings nicht ganz...
was meinst du mit der identität fordern?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wie begründest du denn, dass es keine weitere gibt?
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

der zeilen und spaltenrang der abbildungsmatrix muss 2 sein:
damit jeder punkt auf sich selbst abgebildet wird, muss die abbildungsmatrix die einheitsmatrix sein.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann ich nicht nachvollziehen...
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

wollt ihr da jetzt einen beweis sehen. bzw. auf was muss in der begründung eingehen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich würde gerne eine einfache Antwort auf meine Frage sehen. Ich werfe mal die Begriffe Bilder von Basisvektoren in den Raum.
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

allgemein gilt ja:
das bild einer linear abbildung ist die menge an vektoren aus W die f tatsächlich annimmt

für die basis gilt doch dann:
das bild einer linearen abbildung ist die menge an linear unabhängigen vektoren aus W, die f tatsächlich annimmt.

aber ich kann glaub immer noch nichts mit deinem hinweis anfangen...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ein letzter Tipp, welche Bilder muss ich denn kennen, um eine Lineare Abbildung eindeutig beschreiben zu können? So ein Vektorraum hat ja oft überabzahlbar viele Elemente. Das könnte dann ein wenig dauern Big Laugh
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Formulierung der Aufgabe ist recht gar schlampig. Aber ich denke schon, daß gemeint ist:

Bestimmen Sie alle linearen Abbildungen, die die Menge der Eckpunkte des Quadrates (wie beschrieben) auf sich abbildet. Es geht also mit anderen Worten um die Symmetriegruppe des Quadrates.

Sonst wäre die Aufgabe nämlich trivial. Denn und bilden eine Basis des . Wenn und durch eine lineare Abbildung jeweils auf sich selbst abgebildet werden, dann ist die beschreibende Matrix bezüglich der Basis gerade die Einheitsmatrix, die gesuchte Abbildung also die Identität. und folgen bereits aus der Linearität. Das kann man auch verwenden, um die Aufgabe im anders verstandenen Sinn zu lösen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es so gemeint ist wie Leopold denkt, dann duerfte es nach meinen Ueberlegungen 8 solche lineare Abbildungen geben. Dabei bin ich davon ausgegangen, dass alle 4 Ecken getroffen werden muessen, dass also eine echte Permutation stattfindet.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und damit hätten wir die Diedergruppe , die Symmetriegruppe des Quadrates. Sie wird erzeugt von einer Spiegelung (z.B. Spiegelung an der Mittelsenkrechten der Strecke ) und einer Drehung (z.B. Drehung um den Ursprung gegen den Uhrzeigersinn mit 90° als Drehwinkel). hat Ordnung 2, hat Ordnung 4:



Und die zugehörigen Matrizen bestimmen eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe, die vom Isomorphietyp ist.
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

okei dankeschön, mit der Dieergruppe, kann ich im moment nichts anfangen.
ich versuch es morgen mit spiegel und drehen.
vielen dank euch alle!

gruß, marci
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab bis jetzt 4 matrizen aufgestellt, aber ich weiß jetzt nicht mehr, was noch fehlt:

für die abbildung jedes punktes auf sich selbst hab ich die abbildungsmatrix:


für die spiegelung der eckpunkte über den mittelpunkt:

für die spiegelung der eckpunkte über die x-achse:

für die spiegelung der eckpunkte über die y-achse:


jetzt fehlen ja noch 4 matrizen, die sicherlich so aussehen:


welche fälle hab ich vergessen?

gruß und danke, marci
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt nur untersuchen, welche Möglichkeiten es gibt, die Basis in die Menge abzubilden (die Bilder von und liegen wegen der Linearität dann schon fest). Dabei dürfen allerdings die Bilder von und nicht gleich oder gegengleich sein, da man sonst nicht alle vier Elemente von erreicht. So erhältst du die möglichen linearen Abbildungen :







usw.

Wenn du alles richtig machst, kommst du so auf acht Abbildungen. Um die Matrizen bezüglich der kanonischen Basis zu finden, kannst du die Abbildungen im elementargeometrischen Sinn anwenden. Zum Beispiel , die Spiegelung an der Diagonalen . Bei dieser Spiegelung wird auf und und auf abgebildet. Damit lautet die Abbildungsvorschrift von , jetzt mit in Spaltenschreibweise:



Probe:

marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

heißt das, ich muss für jede mögliche abbildungsart eine abbildungsmatrix finden?!
stimmen meine matrizen somit? und mir fehlen noch 4?

ich habs bis jetzt immer so gemacht:

wird auf abgebildet:
dann hab ich gesagt: } entsprechnedes mit

danach:
also:

diese bild hab ich als linearkombination von ausgedrückt und erhielt damit die erste spalte der abbildungsmatrix...entsprechnedes hab ich mit gemacht

dadurch erhielt ich die abbildungsmatrix:

wie erhalte ich nun :

edit: ich glaub ich weiß wie: ich kann doch nun einfach P_1 zb vertauschen:
nicht mehr (-1,0), (0,-1) sondern (0,-1), (-1,0) und damit erhalte ich weitere 4 abbidlungsmatrizen!
mit den viern von vorhin ergibt das dann die gesuchten 8...
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