Rechte Winkel auf einer Uhr?

07.12.2007, 16:17

WaterSplash

Rechte Winkel auf einer Uhr?

Hallo!

Unser Lehrer hat uns heute in Mathe eine verrückte Knobelaufgabe gestellt.

Wie oft bilden Stunden- und Minutenzeiger einer Uhr im Verlauf von 24 Stunden einen rechten Winkel?

Antworten:
1.) 11 mal
2.) 22 mal
3.) 33 mal
4.) 44 mal

Ich möchte natürlich einen guten Eindruck machen, deswegen bitte ich um Hilfe! Big Laugh

Danke schon einmal! Wink

07.12.2007, 16:28

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Wenn ich das richtig sehe, sind alle 4 Antworten falsch.

Dabei nehme ich natürlich an, dass sich Stunden- und Minutenzeiger stetig bewegen, d.h. nicht ruckweise im Stunden- bzw. Minutentakt.

EDIT: Nein, ich korrigiere mich - es stimmt doch eine der vier Antworten. Ich hatte ein paar dämliche Doppelzählungen um 3 und um 9 dabei. Big Laugh

07.12.2007, 16:43

WaterSplash

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Welche stimmt denn? Bitte hilf mir!

Tanzen

07.12.2007, 16:47

vektorraum

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Zitat:

Original von WaterSplash

Ich möchte natürlich einen guten Eindruck machen, deswegen bitte ich um Hilfe! Big Laugh

Du möchtest einen guten Eindruck machen, nicht wir.

Also mach sinnvolle Vorschläge oder gib wenigstens Ansätze...

07.12.2007, 17:01

therisen

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Offen für Interpretationen:

07.12.2007, 18:39

WaterSplash

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Also ich weiß, dass jede Stunde mindestens einmal ein rechter Winkel zustande kommt. So jetzt bin ich aber wirklich ratlos...???

Also muss irgendwo eine Besonderheit vorkommen, da die Lösung 24 nicht zur Wahl steht...

Helft mir doch bitte!

07.12.2007, 23:26

Leopold

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Zwischen 0.00 Uhr und 1.00 Uhr stehen die Zeiger um ca. 0.16 Uhr und um ca. 0.49 Uhr senkrecht aufeinander. Entsprechendes gilt auch für die folgenden Stunden des Tages.

Und so kannst du das rechnerisch lösen:

Um Mitternacht stehen die beiden Zeiger aufeinander. Bezeichnen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ die Zeit in Minuten nach Mitternacht und $\begin{eqnarray*} \kappa, \gamma \end{eqnarray*}$ die Winkel im Gradmaß, die der kleine bzw. große Zeiger bis zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ zurückgelegt haben, so gelten

$\begin{eqnarray*} \kappa = \kappa(t) = 0{,}5t \, ; \ \ \gamma = \gamma(t) = 6t \end{eqnarray*}$

Warum?

Die Zeitpunkte, zu denen die beiden Zeiger einen rechten Winkel bilden, sind durch die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \gamma - \kappa = 90 + 180k \ \ \text{mit einem ganzzahligen} \ k \geq 0 \end{eqnarray*}$

bestimmt (warum?). Löse diese Gleichung nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auf und beachte $\begin{eqnarray*} 0 \leq t < 1440 \end{eqnarray*}$ (warum?). So findest du alle in Frage kommenden Werte $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Und nur deren Anzahl interessiert.

08.12.2007, 14:38

WaterSplash

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Vielen Dank Leopold. Ich bin auf 44-mal gekommen!

Stimmt das?

08.12.2007, 15:27

Leopold

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Das stimmt. Und unterstellt man, daß eine der Antworten 1.) bis 4.) richtig ist, könnte man auch so argumentieren: Da auf der Uhr nur 12 Stunden vertreten sind, der Tag aber 24 Stunden hat, kann die gesuchte Anzahl nur gerade sein. Daher kommen nur 2.) und 4.) als Antworten in Frage. Und da 2.) eindeutig zu wenig ist, muß es 4.) sein.

Wichtig ist nur, daß, wie auch immer du die Aufgabe löst, du auch jeden Schritt der Lösung klar verstanden hast. Wenn du so vorgehst, wie von mir vorgeschlagen, kannst du dann auch alle "warum?" beantworten?

08.12.2007, 15:38

therisen

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Wenn du die Anzahl der Nullstellen in dem Plot meines obigen Beitrages zählst und diese mit 2 multiplizierst, kommst du ebenfalls auf 44. Das ist kein Zufall Augenzwinkern

09.12.2007, 13:50

mathe760

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@ Leopold:

Zitat:

Um Mitternacht stehen die beiden Zeiger aufeinander. Bezeichnen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ die Zeit in Minuten nach Mitternacht und $\begin{eqnarray*} \kappa, \gamma \end{eqnarray*}$ die Winkel im Gradmaß, die der kleine bzw. große Zeiger bis zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ zurückgelegt haben, so gelten

$\begin{eqnarray*} \kappa = \kappa(t) = 0{,}5t \, ; \ \ \gamma = \gamma(t) = 6t \end{eqnarray*}$

Warum?

Die Zeitpunkte, zu denen die beiden Zeiger einen rechten Winkel bilden, sind durch die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \gamma - \kappa = 90 + 180k \ \ \text{mit einem ganzzahligen} \ k \geq 0 \end{eqnarray*}$

bestimmt (warum?). Löse diese Gleichung nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auf und beachte $\begin{eqnarray*} 0 \leq t < 1440 \end{eqnarray*}$ (warum?). So findest du alle in Frage kommenden Werte $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Und nur deren Anzahl interessiert.

kannst du mir da vielleich mal ein paar Ansätze geben, wie man darauf kommt, fangen wir z.B mit dem ersten an, das wäre echt nett.

Bis denn mathe760 Wink

09.12.2007, 14:16

tmo

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ich bin zwar nicht Leopold, aber antworte trotzdem mal:

das ist zunächst einfach nur dreisatz.
in 60*12 minuten bewegt sich der kleine zeiger um 360°.
also bewegt er sich in 1 minute um 0,5°.
also bewegt er sich in t minuten um...

09.12.2007, 17:27

Leopold

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Zitat:

Original von tmo
das ist zunächst einfach nur dreisatz.

Die ganze Aufgabe ist ein lineares Problem. Man muß nur die Denksperre "die Uhr ist rund" überwinden und aus den zwei Kreisen für zweimal 12 Stunden ein lineares Kontinuum von 1440 Minuten oder 8640° machen.

07.02.2009, 20:32

matheburg

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Wenns dir zu mathematisch ist überleg dir einfach:
(1) Jede Stunde gibt es GENAU 2-mal den Zustand des rechten Winkels
(2) Vier mal am Tag (3 Uhr, 9 Uhr, 15 Uhr, 21 Uhr) gibt es einen der für zwei Stunden auf einmal zählt.

Also ist das Ergebnis 48 - 4 = 44.

07.02.2009, 21:35

mYthos

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Der letzte Beitrag ist mehr als ein Jahr her.
Bitte doch auf das Datum achten.

mY+

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Rechte Winkel auf einer Uhr?

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