Stetigkeit einer Funktion

09.12.2007, 03:38

aaron_h

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Stetigkeit einer Funktion

Hallo Boardmitglieder! Folgende Funktion ist gegeben:

Fuer alle x Element IR:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}\frac{{x-1} }{\vert x^2-1 \vert} & \text {fuer }x\text{ Element } \mathbb R \setminus \text\{-1,1\}\\0 & \text{fuer }x\text{ Element \text\{-1,1\} }\end{cases} \end{eqnarray*}$

Untersuchen sie fuer welche x Element IR die Funktion f: IR ---> IR stetig ist.

Habe leider keinen Ansatz... unglücklich

unglücklich

09.12.2007, 09:38

20_Cent

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Für x nicht -1 und 1 ist die Funktion stetig als Komposition stetiger Funktionen, untersuche also noch die beiden Punkte einzeln.
Unterscheide dazu den rechts- und den links-Limes an beiden Stellen, damit du den Betrag weglassen kannst.
mfG 20

09.12.2007, 15:11

aaron_h

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Fuer x gegen Unendlich und x gegen minus Unendlich geht die Funktion gegen Null. Also ist der Limes Null. Fuer x=0 ist: f(0) = 1.

Die Funktion ist fuer x Element IR, ausser -1 und 1, stetig.

Ist das so korrekt? verwirrt

verwirrt

09.12.2007, 15:58

system-agent

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Zitat:

Original von aaron_h
Fuer x gegen Unendlich und x gegen minus Unendlich geht die Funktion gegen Null. Also ist der Limes Null. Fuer x=0 ist: f(0) = 1.

das ist für die aufgabe nutzlos

Zitat:

Original von aaron_h
Die Funktion ist fuer x Element IR, ausser -1 und 1, stetig.

ja, das ist klar, nun betrachte eben die grenzwerte $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow1}f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow1}f(x) \end{eqnarray*}$

09.12.2007, 18:13

aaron_h

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Die Aufgabenstellung heisst "Untersuchen sie fuer welche x Element IR die Funktion f: IR ---> IR stetig ist."

Die Funktion ist fuer x Element IR, ausser -1 und 1, stetig. Also geloest. Freude

Freude

Ne, scheinbar nicht. traurig

traurig

@system-agent

Ich muss mir den Grenzwert 1 angucken. Was sagen mir denn die auf- bzw. absteigenden Pfeile? Ich kenne nur waagerechte Pfeile.

09.12.2007, 20:06

system-agent

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der pfeil von oben heisst, dass man den grenzwert "von oben" betrachtet, also wenn man sich von der positiven seite der 1 nähert. dementsprechend bedeutet der pfeil von unten, dass man sich lediglich von der negativen seite der 1 nähert

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09.12.2007, 20:43

aaron_h

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Danke fuer die Auskunft. Meine Studienunterlagen sind leider ziemlich schlecht, d.h. eigenltlich nutzlos. Wie man nun bei der Untersuchung vorgeht, kann ich nur vermuten. Gibt es irgendwo eine Zusammenfassung die ich mal nachlesen kann, wie ich mich nun von der positiven und negativen Seite der 1 naehre.

Ich wuerde jetzt in die Funktion einfach -1000, -100, -10 und 1000, 100, 10 einsetzen.... Erstaunt1

Erstaunt1

09.12.2007, 20:53

system-agent

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naja, ich würde das folgenkriterium verwenden.... aber dazu kannst du auch bei wikipedia nachlesen unterm stichwort grenzwert einer funktion

09.12.2007, 21:17

aaron_h

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Demanch ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow1}f(x)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow1}f(x)=0 \end{eqnarray*}$

09.12.2007, 21:21

Ash

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Zitat:

Original von 20_Cent
Für x nicht -1 und 1 ist die Funktion stetig als Komposition stetiger Funktionen, untersuche also noch die beiden Punkte einzeln.
Unterscheide dazu den rechts- und den links-Limes an beiden Stellen, damit du den Betrag weglassen kannst.
mfG 20

Hallo ich bin auch bei der bearbeitung dieser afgabe und muss erhlich sgane, ich versteh da nicht wirklich was - ich komme mit den unterlagen mal gar nicht klar...

Wieso ist die Fkt für alle x € \ { -1, 1 } stetig?

also wie beweis ich dass x-1 bzw |x²-1| stetig sind?

Und btte ja - eher die unterlagen anschauen udn mehr selber nachschauen und so^^ aber ich komm nicht weiter...

09.12.2007, 21:41

system-agent

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da bemüht man den satz über die komposition stetiger funktionen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=1 \end{eqnarray*}$ ist stetig,
$\begin{eqnarray*} g(x)=x \end{eqnarray*}$ ist stetig
und dann folgt nach satz: $\begin{eqnarray*} g(x)+f(x)=x+1 \end{eqnarray*}$ ist stetig

genauso beim zweiten:
$\begin{eqnarray*} f_1(x)=x \end{eqnarray*}$ ist stetig,
$\begin{eqnarray*} f_2(x)=-1 \end{eqnarray*}$ ist stetig
$\begin{eqnarray*} f_3(x)=|x| \end{eqnarray*}$ ist stetig,
also ist $\begin{eqnarray*} f_1(x)^2=x^2 \end{eqnarray*}$ stetig
also ist auch $\begin{eqnarray*} x^2+f_2(x)=x^2-1 \end{eqnarray*}$ stetig,
also ist auch $\begin{eqnarray*} f_3(x^2-1)=|x^2-1| \end{eqnarray*}$ stetig

09.12.2007, 21:47

aaron_h

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Also ist f(x) fuer alle x Element IR, ausgenommen -1, 1 stetig. Was ist dann mit $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow1}f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow1}f(x) \end{eqnarray*}$ ?

09.12.2007, 22:36

Ash

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Cool - also das mit der komposition hab ich gecheckt... ahh ein engel auf erden hat sich bei mir gemeldet (wie so oft in meinem leben)...

Also was mach ich denn nu mit dem limes quatsch? (sorry der ausdruck, aber ich will programmieren lernen und net mathematiker werden...)^^

10.12.2007, 03:53

aaron_h

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Zitat:

Original von system-agent
da bemüht man den satz über die komposition stetiger funktionen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=1 \end{eqnarray*}$ ist stetig,
$\begin{eqnarray*} g(x)=x \end{eqnarray*}$ ist stetig
und dann folgt nach satz: $\begin{eqnarray*} g(x)+f(x)=x+1 \end{eqnarray*}$ ist stetig

genauso beim zweiten:
$\begin{eqnarray*} f_1(x)=x \end{eqnarray*}$ ist stetig,
$\begin{eqnarray*} f_2(x)=-1 \end{eqnarray*}$ ist stetig
$\begin{eqnarray*} f_3(x)=|x| \end{eqnarray*}$ ist stetig,
also ist $\begin{eqnarray*} f_1(x)^2=x^2 \end{eqnarray*}$ stetig
also ist auch $\begin{eqnarray*} x^2+f_2(x)=x^2-1 \end{eqnarray*}$ stetig,
also ist auch $\begin{eqnarray*} f_3(x^2-1)=|x^2-1| \end{eqnarray*}$ stetig

Stetig fuer alle x Element IR ausser -1 und 1 ?

10.12.2007, 08:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von aaron_h
Stetig fuer alle x Element IR ausser -1 und 1 ?

Munteres Ratespiel mit einer klaren Antwort: Nein.

Wie schon gesagt wurde, mußt du an den Ausnahmestellen jeweils den links- und den rechtsseitigen Grenzwert anschauen. Sind diese gleich, dann stetig, wenn nicht, dann unstetig.

10.12.2007, 13:44

aaron_h

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von aaron_h
Stetig fuer alle x Element IR ausser -1 und 1 ?

Munteres Ratespiel mit einer klaren Antwort: Nein.

Wie schon gesagt wurde, mußt du an den Ausnahmestellen jeweils den links- und den rechtsseitigen Grenzwert anschauen. Sind diese gleich, dann stetig, wenn nicht, dann unstetig.

Ja, ich weiss. Links und rechts von 1 und -1 ist lim = 0. Warum ist die Schlussfolgerung, stetig fuer alle x Element IR ausser -1 und 1, falsch?

10.12.2007, 14:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von aaron_h
Links und rechts von 1 und -1 ist lim = 0.

Also das stimmt wohl so nicht.

Aber sonst hattest du Recht. Die Funktion ist unstetig bei x=-1 und x=1. Ich hatte die Betragsstriche im Nenner übersehen. Hammer

Hammer

10.12.2007, 15:27

aaron_h

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Ich habe das nochmal nachgerechnet. Demnach ist die Funktion fuer -1 stetig, fuer 1 unstetig. Der Grenzwert auf beiden Seiten der -1 ist naemlich minus unendlich. Korrekt? Freude

Freude

10.12.2007, 15:36

AD

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Zitat:

Original von aaron_h
Der Grenzwert auf beiden Seiten der -1 ist naemlich minus unendlich.

Das ist korrekt ... und das heißt Polstelle. Keine Spur von Stetigkeit an dieser Stelle!

Da bist du genau in die Bärenfalle "links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich, also stetig" hineingetappt. Übrigens, "der Grenzwert existiert" heißt, dass er eine reelle Zahl annimmt!!! Grenzwert gleich plus oder minus unendlich ist nur eine eingebürgerte, aber für Anfänger verwirrende Umschreibung für bestimmte Divergenz.

10.12.2007, 15:49

aaron_h

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Ach so. Also stetig, wenn der Grenzwert auf beiden Seiten gleich ist, aber unstetig, wenn der Grenzwert zwar gleich, aber unendlich oder minus unendlich ist?

10.12.2007, 15:54

AD

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Nicht so schlampig, sondern exakt: Stetig ist die Funktion an besagter Stelle, wenn die Grenzwerte von beiden Seiten als reelle (d.h. endliche) Werte existieren, einander gleich sind, und zudem noch mit dem Funktionswert an dieser Stelle übereinstimmen! Den letzten Teil hast du hier überhaupt noch nicht erwähnt, denn es ist ja $\begin{eqnarray*} f(-1)=0 \end{eqnarray*}$ .

10.12.2007, 16:04

aaron_h

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Ich behaupte jetzt mal ganz dreist, dass es nicht moeglich ist, dass die Grenzwerte auf beide Seiten unendlich sind und der Funktionswert an der untersuchten Stelle ist auch unendlich. Eigentlich ist die Sache schon klar, wenn man sieht, dass die Grenzwerte unendlich sind, oder? smile

smile

10.12.2007, 16:06

AD

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Zitat:

Original von aaron_h
Eigentlich ist die Sache schon klar, wenn man sieht, dass die Grenzwerte unendlich sind, oder?

Stimmt, wenn eine der Bedingungen schon negativ ausfällt, muss man den Rest natürlich nicht mehr kontrollieren.

10.12.2007, 16:08

aaron_h

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Danke, du hast mir sehr geholfen Mit Zunge

Mit Zunge

10.12.2007, 16:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von aaron_h
der Funktionswert an der untersuchten Stelle ist auch unendlich.

Was soll das? Funktionswerte sind immer endlich. smile

smile

10.12.2007, 16:34

aaron_h

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von aaron_h
der Funktionswert an der untersuchten Stelle ist auch unendlich.

Was soll das? Funktionswerte sind immer endlich. smile

smile

Ich sage doch, dass das nicht moeglich ist. Prost

Prost

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