Ellipse um 45 grad gedreht. schnittpunkt mit y achse gesucht

09.12.2007, 09:12

alex

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Ellipse um 45 grad gedreht. schnittpunkt mit y achse gesucht

hi , ich brauche hilfe unglücklich

unglücklich

:

ich hab eine Ellipse die um 45 grad gedreht ist und brauche den schnittpunkt mit der y achse, mein ansatz schaut so aus.

angenohmen wir hätten 4x²+4y²-4xy-6 =0 (Ellipse)

und setzt für x= cos(alpha)*u - sin(alpha)*v
für y= cos(alpha)*u + sin(alpha)*v

alpha ist 45 grad, aber eigentlich unwichtig zur zeit

kann mir bitte jm verraten wie ich dann auf dises zwischen ergebnis kommt?

(4-4 cos(alpha)*sin(alpha))u²+ (4+4 cos(alpha)*sin(alpha))v² +(-4 cos²(alpha)+ 4sin²(alpha) uv -6 = 0

kommst? ach ja (-4 cos²(alpha)+ 4sin²(alpha) uv wird dann null wegen der trigonometrische formel (aber wie komme ich bis hier hin
?)

wegen meinem (alpha)= 45° oder von mir aus =pi/4 erhalte ich ja:

x= 1/2* wurzel 2*(u-v)
y= 1/2* wurzel 2*(u-v)

aus dem ganzen ausdruck da oben sollte nun so etwas werden wie

2 u² +6v² -6= 0

Könnt ihr mir bitte helfen?

es wäre sehr nett wenn ihr es schritt für schritt auflöst, damit ich diese rechenregel verstehe...
Danke

09.12.2007, 09:56

20_Cent

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Ich würde mich sehr wundern, wenn mir nach 4(!!!) Doppelposts noch jemand auf meine Frage antwortet.
Denk mal drüber nach.

09.12.2007, 10:22

alex

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was soll ich tun? niemand geht auf diese frage ein und ich bräcuhte dringend eine antwort unglücklich

unglücklich

09.12.2007, 10:29

20_Cent

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Hier ist ein Fehler:

Zitat:

und setzt für x= cos(alpha)*u - sin(alpha)*v
für y= cos(alpha)*u + sin(alpha)*v

Hier muss in der zweiten Zeile u und v vertauscht werden.

Danach würde ich einfach x und y in deiner Ausgangsgleichung ersetzen.

mfG 20

PS: Hab einfach mal ein bisschen Geduld, das ist ein Forum, kein Chat!

09.12.2007, 11:02

alex

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ich bekomme beim ausmultiplizieren kein brauchbares ergenis traurig

traurig

theoretisch müssten sich die gemischten glieder (also -4xy) durch das einsetzen der Drehmatrix eleminieren, aber das passiert nicht... bei mir nicht. verwirrt

verwirrt

verwirrt

Angenohmen ich sehe das problem aus einer anderen perspektive, meine Ellipse hat in diesen Fall kein gemischtes glied sondern ist wirklich nur eine

x²/a² + y²/b²=1
also

y= b/a * wurzel(a²-x²)

da sie immernoch um 45 grad gedreht ist nehme ich die drehmatrix, versuche das koordinaten system zu kippen

x cos(alpha) -sin(alpha) u
=
y sin(alpha) +cos(alpha) v

soll eine 2x2matrix darstellen * einen spaltenvektor

was sollte ich in diesen fall für u bzw v einsetzen, wenn ich den schnittpunkt mit der y-achse suche?

09.12.2007, 13:03

riwe

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warum einfach, wenn es auch so kompliziert geht unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} x=0\to 4y²-6=0\to y_{1,2}=\pm\frac{\sqrt{6}}{2} \end{eqnarray*}$

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09.12.2007, 14:10

alex

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danke riwe

mist... x=o setzen, daran hab ich nicht gedacht... oh danke smile

smile

ich muss aber die formel verallgemeinern... oh nein, wie schön das aussieh, so eindeutig... aaaaah danke danke danke.

09.12.2007, 14:26

riwe

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Zitat:

Original von alex
danke riwe

mist... x=o setzen, daran hab ich nicht gedacht... oh danke smile

smile

ich muss aber die formel verallgemeinern... oh nein, wie schön das aussieh, so eindeutig... aaaaah danke danke danke.

also das licht aufgegangen Freude

Freude

:
das ergibt IMMER eine quadratische gleichung in y unglücklich

unglücklich

09.12.2007, 15:12

alex

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und nun bräuchte ich den schnittpunkt mitt der waagerechte tangente. im u,v sysem hätte ich ja eine steigung-135° und den richtungsvektor (-1/wurzel(2) , 1/wurzel(2)) <--- transponiert

steigung der tangente wäre in uv system dann (u*u0)/a + (v*v0)/b =1

und die hesse normalform u/wurzel(2)+v/wurzel(2)= d

oder soll ich lieber die finger von diesen ansatz lassen und jm hat wieder eine so schöne 1 zeilige lösun smile

smile

ich hätte wieder das koordinatensystem um 45 grad gedreht und und und...

was sagt ihr dazu?

09.12.2007, 16:00

riwe

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Zitat:

Original von alex
und nun bräuchte ich den schnittpunkt mitt der waagerechte tangente. im u,v sysem hätte ich ja eine steigung-135° und den richtungsvektor (-1/wurzel(2) , 1/wurzel(2)) <--- transponiert

steigung der tangente wäre in uv system dann (u*u0)/a + (v*v0)/b =1

und die hesse normalform u/wurzel(2)+v/wurzel(2)= d

oder soll ich lieber die finger von diesen ansatz lassen und jm hat wieder eine so schöne 1 zeilige lösun smile

smile

ich hätte wieder das koordinatensystem um 45 grad gedreht und und und...

was sagt ihr dazu?

na vielleicht mit 2 zeilen.
für die horizontale(n) tangente(n) gilt $\begin{eqnarray*} y = k \end{eqnarray*}$
daher hast du nun eine quadratische gleichung in x,
womit in deinem beispiel für deren diskriminante
$\begin{eqnarray*} D²=\frac{3}{2}-\frac{3k²}{4}=0 \end{eqnarray*}$ gilt.
damit $\begin{eqnarray*} k=\pm\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
also 2 parallele zur x-achse in diesem abstand hinmalen

edit: das obligate bilderl

09.12.2007, 16:21

alex

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Das sieht sehr schön aus! und ist äusserst genau.

hätte ich nun punkte Po(xo, yo), ..., Pn-1 (Xn-1, Yn-1) und wäre dann die beste um 45° gedrehte matrix gesucht, wie müsste ich dann vorgehen?

Ich hätte nun wieder alle punkte um 45° gedreht also wieder einen u,v koordinatensystem

cos (-45°) -sin(-45°) (Xi) - (Ui)
... .. ...

dann den kleinst quadrate ansatz benutzt....

lass mich raten, es geht einfacher? oder was hättest du geacht?

09.12.2007, 16:49

alex

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wie berechne ich den schnittpunkt mit der tangente?

09.12.2007, 19:07

riwe

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da vermischst du ja 2 probleme.
1) suche die "beste" ellipse im gedrehten koordinatensystem durch die Pi punkte
drehwinkel ist 45°
2) bestimme achsenabschnitte und tangente
verwirrt

verwirrt

oder so ähnlich

09.12.2007, 20:21

alex

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hmmm na gut
, dann möchte ich lieber den schnittpunkt der ellipse mit der tangente. ich muss alles noch drehen... das mach ich dann im nachhimnein. ich muss die formel irgendwie umformen, so dass ich eine hauptachsentrnsformation mache...
aber erstmal den schnittpunkt der waagerechtne tangente wurzel(2) mit der ellipse

viele dank für deine Hilfe!

10.12.2007, 12:28

Alex

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Zitat:

Original von riwe

Zitat:

Original von alex
und nun bräuchte ich den schnittpunkt mitt der waagerechte tangente. im u,v sysem hätte ich ja eine steigung-135° und den richtungsvektor (-1/wurzel(2) , 1/wurzel(2)) <--- transponiert

steigung der tangente wäre in uv system dann (u*u0)/a + (v*v0)/b =1

und die hesse normalform u/wurzel(2)+v/wurzel(2)= d

oder soll ich lieber die finger von diesen ansatz lassen und jm hat wieder eine so schöne 1 zeilige lösun smile

smile

ich hätte wieder das koordinatensystem um 45 grad gedreht und und und...

was sagt ihr dazu?

na vielleicht mit 2 zeilen.
für die horizontale(n) tangente(n) gilt $\begin{eqnarray*} y = k \end{eqnarray*}$
daher hast du nun eine quadratische gleichung in x,
womit in deinem beispiel für deren diskriminante
$\begin{eqnarray*} D²=\frac{3}{2}-\frac{3k²}{4}=0 \end{eqnarray*}$ gilt.
damit $\begin{eqnarray*} k=\pm\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
also 2 parallele zur x-achse in diesem abstand hinmalen

edit: das obligate bilderl

wie berechne ich die punkte der tangente, die die ellipse berühren?

10.12.2007, 12:33

riwe

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stöhn

Big Laugh

steht doch da:
setze $\begin{eqnarray*} y=\pm\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ in die ellipsengleichung ein, dann bekommst du das jeweils zugehörige x unglücklich

unglücklich

11.12.2007, 09:29

alex

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ich bräucte eine formel...

11.12.2007, 18:41

alex

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@riwe
entsculdige aber wie kommst du hier drauf?

für die horizontale(n) tangente(n) gilt $\begin{eqnarray*} y = k \end{eqnarray*}$
daher hast du nun eine quadratische gleichung in x,
womit in deinem beispiel für deren diskriminante
$\begin{eqnarray*} D²=\frac{3}{2}-\frac{3k²}{4}=0 \end{eqnarray*}$ gilt.
damit $\begin{eqnarray*} k=\pm\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
also 2 parallele zur x-achse in diesem abstand hinmalen

wie kommst du von

4x²+4y²-4xy-6 =0

auf

$\begin{eqnarray*} D²=\frac{3}{2}-\frac{3k²}{4}=0 \end{eqnarray*}$ gilt.
damit $\begin{eqnarray*} k=\pm\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

hast du irgendetwas abgeleitet? wenn ja was? entschuldige ich sehe es einfach nicht, sitze schon ewig daran.

11.12.2007, 19:02

riwe

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RE: @riwe
also noch einmal, stöhn unglücklich

unglücklich

die gleichung der zur x-achse parallelen tangente lautet IMMER
$\begin{eqnarray*} y=k \end{eqnarray*}$
mit noch unbekannten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$

nun schneidet man die gerade mit der ellipse, setzt also y =k ein:

$\begin{eqnarray*} 4x²-4kx+4y²-6=0 \end{eqnarray*}$
das ist eine quadratische gleichung in x.

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{k}{2}\pm D \end{eqnarray*}$
da die gerade tangente sein soll, gibt es nur einen schnitt/berührpunkt, daher muß gelten, dass die diskriminante (der ausdruck unter der wurzel)

$\begin{eqnarray*} D = 0 \end{eqnarray*}$

damit hast du im konkreten fall

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}-\frac{3k²}{4}=0\to k=\pm\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

und damit die berührpunkte der ZWEI tangenten

$\begin{eqnarray*} x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

noch einmal male ich es nicht mehr her

auch du könntest
a) den formeleditor benutzen, ich tu´s ja auch
b) einmal die KOMPLETTE aufgabe schicken.

Big Laugh

Big Laugh

11.12.2007, 23:00

alex

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RE: @riwe
Hammer

Hammer

Hammer

oh vielen dank ich hab so viel im kopf das ich so einfache sachen übersehe!!! ich danke dir vielmals, weißt du, ich muss das ganze drehen und hin und her wenn du magst schicke ich dir am freitag die ausarbeitung, dann weißt du was ich meine mit viel mist im kopf. Dank vielmals!!! vielen vielen Dank. Gott

Gott

Gott

Gott

oh gott ich hab es 1000fach abgeleitet gott und die welt eingesetz und sehe... es ist eine schulaufgabe... oh mein gott wie peinlich. ich danke dir so sehr smile

smile

11.12.2007, 23:20

riwe

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RE: @riwe
schicke du nur unglücklich

unglücklich

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