Konvergenz von Folgen

10.12.2007, 14:43

FrankyHill

Konvergenz von Folgen

Kann mir mal wer erklären was ich hier zu tun habe?

Untersuchen sie die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_n\in N \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz und bestimmen sie gegebenenfalls den Grenzwert.

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{3n^{4}-4n+5 }{3n^{5} +5n^{3} +5} \end{eqnarray*}$

10.12.2007, 14:51

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Folgen

Zitat:

Original von FrankyHill
Kann mir mal wer erklären was ich hier zu tun habe?

Genau das, was in der Aufgabe steht. Da du im Hochschulbereich postest, sollte das ja kein Problem sein. (Kann jeder Schüler der 11. Klasse. Augenzwinkern

)

10.12.2007, 14:57

FrankyHill

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RE: Konvergenz von Folgen
Wenn ich es könnte würde ich nicht fragen. Da ich es aber gerne lernen würde wäre es schön Hilfe dabei zu bekommen. Das ich in dem Bereich einige Wissenslücken habe ist mir selbst bewust, aber deshalb versuche ich ja auch was dagegen zu tun.

10.12.2007, 15:10

brain man

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Größte Potenz ( $\begin{eqnarray*} n^5 \end{eqnarray*}$ ) ausklammern, kürzen und Grenzwertsätze anwenden.

10.12.2007, 15:23

FrankyHill

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sorry aberauch das schnall ich nicht recht. Kannst du mir mal ne Aufgabe lösen mit einzelnen Schritten was zu tun ist. Einfach irgendeine wo Zahlen vorkommen und ich mir den Rechenweg erklären kann.

10.12.2007, 15:41

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Folgen
Gegenfrage: du weißt, was Ausklammern ist?

Wenn ja, kannst du dann aus $\begin{eqnarray*} 3n^{5} +5n^{3} +5 \end{eqnarray*}$ den Ausdruck n^5 ausklammern?

10.12.2007, 15:48

FrankyHill

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RE: Konvergenz von Folgen
$\begin{eqnarray*} n^{5}(3+ \frac{5n^{3} }{n^{5} }+\frac{5}{n^{5} } ) \end{eqnarray*}$

Und nu?

10.12.2007, 16:05

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Folgen
Beim mittleren Summanden kannst du noch kürzen. Dasselbe machst du mit dem Zähler. Dann kannst du n^5 kürzen und bildest vom Rest den Grenzwert.

10.12.2007, 16:14

FrankyHill

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RE: Konvergenz von Folgen
Also $\begin{eqnarray*} (3+\frac{5}{n^{2} }+5) \end{eqnarray*}$ Ist das so ok, oder kann man das weiter kürzen. 2. Wie bilde ich den Grenzwert?

10.12.2007, 16:24

FrankyHill

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RE: Konvergenz von Folgen
Ne quatsch, soll glaube ich ehr so sein

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{4}(3-\frac{4}{n^{2} }+ \frac{5}{n^{4} })}{n^{5}(3+\frac{5}{n^{2} }+ \frac{5}{n^{5} } ) } \end{eqnarray*}$

10.12.2007, 17:19

brain man

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RE: Konvergenz von Folgen

Zitat:

Original von FrankyHill
Ne quatsch, soll glaube ich ehr so sein

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{4}(3-\frac{4}{n^{2} }+ \frac{5}{n^{4} })}{n^{5}(3+\frac{5}{n^{2} }+ \frac{5}{n^{5} } ) } \end{eqnarray*}$

Nee, nee . Der Gedanke, der dahinter steckt ist der, dass man in Zähler und Nenner $\begin{eqnarray*} n^5 \end{eqnarray*}$ ausklammert, damit man diese Potenz rauskürzen kann - Mach das mal bitte.

10.12.2007, 17:36

FrankyHill

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RE: Konvergenz von Folgen
$\begin{eqnarray*} \frac{ n^{5}(\frac{3}{n^{-1} }+ \frac{4}{n^{4} } \frac{5}{n^{5} })}{n^{5} (3+\frac{5}{n^{2} }+ \frac{5}{n^{5} }) } \end{eqnarray*}$

10.12.2007, 17:44

brain man

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RE: Konvergenz von Folgen

Zitat:

Original von FrankyHill
$\begin{eqnarray*} \frac{ n^{5}(\frac{3}{n^{-1} }+ \frac{4}{n^{4} } \frac{5}{n^{5} })}{n^{5} (3+\frac{5}{n^{2} }+ \frac{5}{n^{5} }) } \end{eqnarray*}$

Fast richtig. Wahrscheinlich meinst du :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n^5(\frac{3}{n}-\frac{4}{n^4}+\frac{5}{n^5})}{n^5(3+\frac{5}{n^2}+\frac{5}{n^5})}= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n}-\frac{4}{n^4}+\frac{5}{n^5}}{3+\frac{5}{n^2}+\frac{5}{n^5}} \end{eqnarray*}$

Sosing - Jetzt kannst du den Grenzwertsatz :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} \end{eqnarray*}$ verwenden.

Dieser gilt nur, falls a_n und b_n konvergieren. Das zeigt (hoffentlich) auch, wieso du die größte Potenz ausklammern musst. Würdest du das nicht tun, würden auch die Folgen nicht konvergieren.

10.12.2007, 17:50

FrankyHill

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RE: Konvergenz von Folgen
Habe das leider noch nie gemacht. Wie wende ich den Grenzwertsatz an.

10.12.2007, 18:00

brain man

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RE: Konvergenz von Folgen

Zitat:

Original von FrankyHill
Habe das leider noch nie gemacht. Wie wende ich den Grenzwertsatz an.

Ah sry, hatte gedacht du bist damit vertraut und deswegen den GWS auch nicht aufgeschrieben. Er lautet :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}= \frac{\lim_{n \to \infty}a_{n}}{\lim_{n \to \infty}b_{n}} \end{eqnarray*}$

Analog gibt es die für die anderen Grundrechenarten auch z.B. :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}a_{n}+b_{n}=\lim_{n \to \infty}a_{n}+\lim_{n \to \infty}b_{n} \end{eqnarray*}$

Auf dein Beispiel übertragen heißt das du kannst erstmal den Zähler und Nenner als Folge betrchten nämlich :

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{3}{n} -\frac{4}{n^4}+ \frac{5}{n^5} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} b_{n}=3+\frac{5}{n^2}+ \frac{5}{n^5} \end{eqnarray*}$

Dann kannst du die einzelnen Summanden als Folge betrachten, und kommst über die Partialgrenzwerte zum Gesmtgrenzwert.

10.12.2007, 18:02

FrankyHill

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RE: Konvergenz von Folgen
Wenn ich n jetzt gegen unendlich wachsen lasse,bleibt doch nur noch 0/3 stehen. Was bedeuten würde die Folge konvergiert gegen 0. Stimmt das so. Warum ich den größten Exponenten ausklammern muss ist mir aber nicht klar.

10.12.2007, 18:05

brain man

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Schade, dass du meine Beiträge nicht liest. unglücklich

Zitat:

Dieser (der Grenzwertsatz) gilt nur, falls a_n und b_n konvergieren. Das zeigt (hoffentlich) auch, wieso du die größte Potenz ausklammern musst. Würdest du das nicht tun, würden auch die Folgen nicht konvergieren.

10.12.2007, 18:10

FrankyHill

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Lese deine Beiträge schon, aber das ganze Thema ist für mich noch so abstrakt das ich nicht alle Info so verarbeiten kann. Ist meien Lösung falsch?

10.12.2007, 18:12

brain man

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Zitat:

Original von FrankyHill
Ist meine Lösung falsch?

Nein.

10.12.2007, 18:17

FrankyHill

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Habe das Problem das ich nicht erkenne kann wann a_n und b_n sich nähren. Wie kann ich erkennen ob eine Folge konvergiert oder nicht und somit ja auch ob eine Grenzwert existiert.

10.12.2007, 18:22

brain man

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Zitat:

Original von FrankyHill
Habe das Problem das ich nicht erkenne kann wann a_n und b_n sich nähren. Wie kann ich erkennen ob eine Folge konvergiert oder nicht und somit ja auch ob eine Grenzwert existiert.

Da gibt es mehrere Kriterien. Es gilt :

"Jede konvergente Folge ist monoton und beschränkt."

10.12.2007, 18:28

FrankyHill

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Ok, danke schön erstmal. Werde werde mir jetzt erstmal nen bischen Literatur zur Hand nehmen und das gelernte nochmal Nachverfolgen. Würde dann gerne morgen einige Übungsaufgaben dazu machen und meine Ergebnisse ma posten. Hast mir auf jeden Fall sehr weiter geholfen so das ich endlich nen Einstieg in das Thema gefunden habe. Dafür nochma DANKE!!! Augenzwinkern

10.12.2007, 23:41

aaron_h

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RE: Konvergenz von Folgen
Wenn ich das hier sehe

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{3n^{4}-4n+5 }{3n^{5} +5n^{3} +5} \end{eqnarray*}$

gucke ich mir Zaehler und Nenner an. Da die Potenzen im Nenner groesser sind als im Zaehler, behaupte ich mal dreist, das ganze geht gegen Null. Prost

11.12.2007, 09:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von brain man
Da gibt es mehrere Kriterien. Es gilt :

"Jede konvergente Folge ist monoton und beschränkt."

Leider falsch. unglücklich

Es gilt nur die Umkehrung:
"Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent."

@aaron_h: dein Beitrag bringt nichts essentiell neues. Deine Behauptung wurde hier in mühsamer Kleinarbeit bewiesen.

@FrankyHill: die Idee bei Folgen mit gebrochen rationalen Ausdrücken ist, daß man durch geschicktes Ausklammern und anschließendem Kürzen Terme erhält, bei denen das n nur noch im Nenner vorkommt. Von diesen Termen kennt man den Grenzwert.

11.12.2007, 12:09

FrankyHill

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Hallo zusammen, habe versucht eure Tipps an einem neuen Beispiel ma alleine anzuwenden.

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n^{5} }{n^{5} +n^{4}+n^{3} +n^{2} +n+1 } \end{eqnarray*}$

jetzt die $\begin{eqnarray*} n^{5} \end{eqnarray*}$ ausklammern...

$\begin{eqnarray*} a_n=n^{5}(\frac{1}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2} }+\frac{1}{ n^{3} }+\frac{1}{n^{4} }+ \frac{1}{n5^{n} }}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=n^{5}(\frac{1}{1+\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}+\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n^{2} }+\lim_{n \to \infty }\frac{1}{ n^{3} }+\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n^{4} }+\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n5^{n} }}) \end{eqnarray*}$

Somit kann man sagen die Folge konvergiert gegen 1!

Ist das so OK?

2. Wenn ich eure Posts richtig verstanden habe ist eine Folge nur dann konvergent wenn ich durch ausklammern des größten Exponenten kein (bsp) "n" mehr im Zähler habe. Was schreibt man den wenn dies nicht gegeben ist? Die Folge ist nicht konvergent und es exsistiert somit kein Grenzwert! Wie formoliert man das korekt?

11.12.2007, 12:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von FrankyHill
$\begin{eqnarray*} a_n=n^{5}(\frac{1}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2} }+\frac{1}{ n^{3} }+\frac{1}{n^{4} }+ \frac{1}{n5^{n} }}) \end{eqnarray*}$

So wäre es richtig:
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2} }+\frac{1}{ n^{3} }+\frac{1}{n^{4} }+ \frac{1}{n^5}} \end{eqnarray*}$

Das n^5 ist ja schließlich rausgekürzt. Augenzwinkern

Zitat:

Original von FrankyHill
2. Wenn ich eure Posts richtig verstanden habe ist eine Folge nur dann konvergent wenn ich durch ausklammern des größten Exponenten kein (bsp) "n" mehr im Zähler habe. Was schreibt man den wenn dies nicht gegeben ist? Die Folge ist nicht konvergent und es exsistiert somit kein Grenzwert! Wie formoliert man das korekt?

Das gilt natürlich nur bei Folgen mit gebrochen rationalen Ausdrücken, wo Zähler und Nenner aus Polynomen bestehen. beispiel:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\frac{n^3}{n^2+1} = \lim_{n \to \infty}~(n \cdot \frac{1}{1+1/n^2}) \end{eqnarray*}$

Hier kann man sagen, der der 2. Faktor konvergiert und der 1. Faktor nach unendlich divergiert, so daß die Folge insgesamt divergiert.

Es gibt aber genügend beispiele, wo die Lage nicht so einfach ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~(\sqrt{n^2+n}-n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\frac{sin(n)}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~(n \cdot sin(1/n)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\frac{n}{2^n} \end{eqnarray*}$

11.12.2007, 13:14

FrankyHill

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Probiere ich es nochmal an ner weiteren Aufgabe

$\begin{eqnarray*} a_n=(\frac{5n^{2} }{3n^{2} +2n+1})^{4} \end{eqnarray*}$

würde jetzt erstmal die Klammer auflösen

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{5n^{2*4} }{3n^{2*4} +2n^{4}+1} \end{eqnarray*}$

die 1 hoch vier spar ich mir jetz ma extra hinzuschreiben. Bleibt ja eh 1.

Somit erhalte ich

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{5n^{8} }{3n^{8} +2n^{4}+1} \end{eqnarray*}$

jetzt kürze ich die $\begin{eqnarray*} n^{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{3+2\frac{1}{n^{4} }+\frac{1}{n^{n8} } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n= \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$

Die Folge konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$

11.12.2007, 13:24

FrankyHill

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Kann ich bei folgender Aufgabe genauso vorgehen?

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n^{2} -1}{n+3}- \frac{n^{3} +1}{n^{2}+1 } \end{eqnarray*}$

11.12.2007, 13:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von FrankyHill
würde jetzt erstmal die Klammer auflösen

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{5n^{2*4} }{3n^{2*4} +2n^{4}+1} \end{eqnarray*}$

Leider falsch. Da müßtest du im Nenner auf $\begin{eqnarray*} (3n^2 +2n+1)^4 \end{eqnarray*}$ die entsprechende binomische Formel anwenden. Das wäre aber ziemlich lästig. Ich würde erstmal nur die Folge $\begin{eqnarray*} b_n := \frac{5n^2}{3n^2 +2n+1} \end{eqnarray*}$ betrachten. Wenn b_n konvergiert, kannst du einen geeigneten Grenzwertsatz anwenden.

Zitat:

Original von FrankyHill
Kann ich bei folgender Aufgabe genauso vorgehen?

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n^{2} -1}{n+3}- \frac{n^{3} +1}{n^{2}+1 } \end{eqnarray*}$

Hier mußt du erstmal alles auf einen Bruch bringen.

11.12.2007, 14:08

FrankyHill

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ok, wenn ich erstmal nur b_n betrachte bekomme ich dort aber $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ raus.

Welchen Grenzwertsatz wende ich da jetzt wie an?

11.12.2007, 14:24

klarsoweit

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Wie wäre es mit dem:

Sind (a_n) und (b_n) konvergente Folgen mit Grenzwerten a bzw. b, dann ist die Folge $\begin{eqnarray*} c_n := a_n \cdot b_n \end{eqnarray*}$ ebenfalls konvergent und der Grenzwert ist a * b.

Das ist aber elementares Handwerkszeug, genauso wie das Einmaleins.

11.12.2007, 14:39

FrankyHill

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Ja nur was ist mein a_n? Habe doch nur noch nen hoch 4 übrig.

Heißt das dann 1 hoch vier * b_n oder b_n hoch vier...

11.12.2007, 14:50

klarsoweit

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Du tust dich wirklich fürchterlich schwer. Warum tust du dir bloß Mathe an? verwirrt

Schreibe:
$\begin{eqnarray*} b_n=\frac{5n^{2} }{3n^{2} +2n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_n = b_n \cdot b_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d_n = c_n \cdot b_n \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} a_n = d_n \cdot b_n = \left( \frac{5n^{2} }{3n^{2} +2n+1} \right)^4 \end{eqnarray*}$

11.12.2007, 15:10

FrankyHill

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Gut. Die Folge a_n habe ich am Anfang ja schon einmal gelöst und ebenfalls $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ heraus bekommen.

Demnach müsste ich für $\begin{eqnarray*} c_n=a_n*b_n = \frac{5}{3} *\frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ berechnen.

Das wäre dann 8 1/3 bzw 25/3!!!

11.12.2007, 15:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von FrankyHill
Gut. Die Folge a_n habe ich am Anfang ja schon einmal gelöst und ebenfalls $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ heraus bekommen.

Wir einigen uns mal darauf, daß das nicht a_n, sondern b_n war. a_n ist die Folge, wo die Folge b_n hoch 4 genommen wird. Im übrigen hast du Schwierigkeiten mit der Bruchrechnung.

11.12.2007, 15:37

FrankyHill

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Yup! sorry , natürlich muss das $\begin{eqnarray*} \frac{25}{9} \end{eqnarray*}$ heißen.

11.12.2007, 15:47

FrankyHill

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$\begin{eqnarray*} a_n =(b_n)^{4}=(\frac{5}{3}) ^{4}= \frac{625}{81} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_n= a_n*b_n= \frac{625}{81}* \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$

11.12.2007, 15:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von FrankyHill
$\begin{eqnarray*} a_n =(b_n)^{4}=(\frac{5}{3}) ^{4}= \frac{625}{81} \end{eqnarray*}$

Eine formal saubere Schreibeweise freut jeden Mathematiker. Augenzwinkern

So sollte das lauten:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~a_n = \lim_{n \to \infty}~(b_n)^{4} = \lim_{n \to \infty}~(b_n) \cdot \lim_{n \to \infty}~(b_n) \cdot \lim_{n \to \infty}~(b_n) \cdot \lim_{n \to \infty}~(b_n) = (\frac{5}{3})^{4}= \frac{625}{81} \end{eqnarray*}$

Die 2. Zeile von deinem Post streichst du einfach mal.

Im übrigen gibt es auch noch folgenden wichtigen Satz:

Ist f(x) eine stetige Funktion und (a_n) eine konvergente Folge mit Grenzwert a, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~f(a_n) = f \left(\lim_{n \to \infty}~a_n \right) = f(a) \end{eqnarray*}$

Dann könnte man hier die Funktion f(x)=x^4 verwenden. smile

11.12.2007, 16:01

FrankyHill

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Ok , danke für die Geduld. Hat ja etwas länger gedauert mit dieser Aufgabe. Übrigens die Frage warum ich mir Mathe antue ist nicht sehr ermutigend. Gebe mir ja Mühe und bin auch bereit entsprechend Zeit zu investieren um das was ich früher zu wenig getan habe aufzuholen. Besser spät als gar nicht,0der?

11.12.2007, 18:23

Shini

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Ich kann das super gut nachvollziehen. Ich hab mir 7Jahre nach abschluss der schule überlegt zu studieren. es ist mathe... es ist verdammt hart, aber ich werde es nicht einfach aufgeben... mir geht es ähnlich wie dem Franky... für mich ist fast alles wieder "neu"... egal, ob es in der 10., 11. oder gar 8. Klasse schon mal dran war...

Wünsch dem Franky gutes gelingen smile

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