Koordinatenmatrix eines Endomorphismus

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daN-R-G Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatenmatrix eines Endomorphismus
Hi Ihr!

Ich habe da mal wieder ein Problem, bei dem ich nicht so ganz weiterkomme. Die Aufgabe lautet wie folgt:

Zeige, dass eine Basis B von ist und berechne die Koordinatenmatrix des Endomorphismus
von bzgl. B.

Soviel zur Aufgabe. Der Nachweis einer Basis ist mir so ziemlich klar:

Anzahl der Basisvektoren (stimmt also schonmal).

Noch zu zeigen: Die Vektoren sind linear unabhängig.



=> Die Vektoren sind l.u.
=> Sie bilden eine Basis B des

Somit wäre der erste Teil ja schonmal geschafft. Jetzt weiß ich nur nicht so richtig, wie ich weiter vorgehen soll, um die Koordinatenmatrix von A bzw B auszurechnen. Meint man eigentlich im falle einer Koordinatenmatrix das gleiche wie eine Darstellende Matrix?

Ich hoffe, dass mir einer ein wenig auf die Sprünge helfen kann, was ich zu tun habe.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

A stellt einen Endo bzgl. der Standardeinheitsbasis dar. Du sollt diesen nun bzgl. der Basis B darstellen. Boardsuche könnte hilfreich sein. Augenzwinkern
daN-R-G Auf diesen Beitrag antworten »

Hmpf... also die Suche bringt mich irgendwie nicht weiter. Anscheinend such ich einfach nach dem Falschen.

Ich habe jetzt nochmal in meinem Buch geblättert, wo ein wohl nicht ganz unwichtiger Satz drinsteht:

Koordinatenwechsel bei Endomorphismen
Es sei ein n-dimensionaler K-Vektorraum, und seien Basen von . Besitzt dann ein Endomorphismus von bezüglich der Basis die Koordinatenmatrix , so gehört bezüglich der Basis die Koordinatenmatrix

wobei die Übergangsmatrix von nach bezeichnet. [...]

Das bedeutet, ich müsste jetzt "nurnoch" die Übergangsmatrix von B nach B' ausrechnen, und dann das Produkt aus dem Inversen der Übergangsmatrix (), der Koordinatenmatrix () und der Übergangsmatrix () selber errechnen, und würde dann meine erwünschte Koordinatenmatrix erhalten?

Edit: Bedeutet das dann nicht in meinem Fall, wenn A in bezug auf die Einheitsbasis dargestellt ist, dass dann S = B ist? Dann müsste ich ja nurnoch das Inverse ausrechnen und dann dieses Produkt bilden, wenn ich das jetzt halbwegs verstanden habe. Stimmt das so?!
daN-R-G Auf diesen Beitrag antworten »

So...Wenn ich meine Oben geschriebenen Deutungen anwenden würde, bekäme ich nun folgendes heraus:

Also dass B eine Basis ist, habe ich ja bereits gezeigt.
Nun möchte ich die Koordinatenmatrix vom Endo bzgl. der Basis darstellen.

Dazu habe ich dann die Formel des obrigen Satzes benutzt, d.h., dass ich zuerst und bestimme:

Da die Koordinatenmatrix bezüglich der kanonischen Basis (kann ich das so einfach schreiben?!) ist, so ist
die Übergangsmatrix von nach .

Nun habe ich das Inverse von bestimmt, in dem ich die Einheitsmatrix neben diese Matrix S geschrieben habe, und dann S zur Einheitsmatrix umgeformt habe, wobei dann meine rechts angefügte Einheitsmatrix nach sämlichen Umformung die inverse Matrix von ist. Also habe ich raus:


Als letztes habe ich nun das Produkt gebildet, und bekam nach meinen Umrechnungen herraus:
, welches nun meine Koordinatenmatrix bzgl. der Basis B darstellen sollte.

Kann mir jemand bestätigen, dass mein Vorgehen so richtig ist? Dass des niemand gerne nachrechnen möchte, kann ich natürlich verstehen! Aber die Ergebnisse sollten zumindest richtig sein. Habe sie mit nem Rechner überprüft. Hauptsache mein Vorgehen und meine Argumentation ist so korrekt.

Vielen Dank!

Danny
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von daN-R-G

Da die Koordinatenmatrix bezüglich der kanonischen Basis (kann ich das so einfach schreiben?!) ist, so ist


Wenn nichts angegeben ist, darf man das i.a. annehmen. Die Formel die du nachgeschlagen ist in dem Kapitel, was wir brauchen.



bedenke, lese von rechts nach links.



Ist dann die gesuchte Matrix. Denn, wir können die lineare Abbildung auf "2 Wegen" gehen





Die Indizes Bedeuten, bzgl. wecher Basis v dargestellt wird.
daN-R-G Auf diesen Beitrag antworten »

Hm... jetzt bin ich aber leicht verwirrt, da du das Matrixprodukt genau andersherum geschrieben hast, als es bei mit in dem Buch steht, oder stehe ich da jetzt gerade irgendwo komplett auf dem Schlauch?

In dem Buch steht auch weiterhin, dass ist, wenn man als definiert.

Also sind meine Schritte, wie ich sie geschrieben habe, nicht richtig?

Sorry, falls ich da was überhaupt nicht verstehe. Aber trotzdem erstmal danke für deine Hilfe!
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn dann T verwirrt und in welcher Beziehung steht S dezu
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinatenmatrix eines Endomorphismus
Zitat:
Original von daN-R-G
Soviel zur Aufgabe. Der Nachweis einer Basis ist mir so ziemlich klar:

Anzahl der Basisvektoren (stimmt also schonmal).


Nana, da warst du aber etwas voreilig, was müssen denn die Vektoren noch erfüllen, damit sie eine Basis sind?

3 mal der erste Einheitsvektor z.b. bildet schließlich keine Basis!

mfG 20
daN-R-G Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinatenmatrix eines Endomorphismus
Zitat:
Original von 20_Cent
Zitat:
Original von daN-R-G
Soviel zur Aufgabe. Der Nachweis einer Basis ist mir so ziemlich klar:

Anzahl der Basisvektoren (stimmt also schonmal).


Nana, da warst du aber etwas voreilig, was müssen denn die Vektoren noch erfüllen, damit sie eine Basis sind?

3 mal der erste Einheitsvektor z.b. bildet schließlich keine Basis!

mfG 20


hm...?! ich hab doch gezeigt, dass die drei auch linear unabhängig sind! Und 3 linear unabhängige Vektoren bilden doch eine Basis des , oder nicht?!

Tja... bleibt noch die Koordinatenmatrix in Bezug auf die Basis B... stimmt meine Multiplikation oder muss sie doch andersrum?! Oder stimmt da garnix? Ich blick momentan leider garnicht mehr durch.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinatenmatrix eines Endomorphismus
Überprüfen kannst du es, wenn Du mit den PC einmal beide Wege durchrechnen läßt. Ich bin die nächsten Tage off, kann dir leider nicht weiter helfen.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Ach herrje, ich bin auch am schlafen.
das "stimmt also schonmal" hatte ich auf die Frage nach der Basis bezogen, und ich dachte, dass du danach mit dem anderen Teil weitermachst.
mfG 20
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