hauptachsentransformation

11.12.2007, 18:15

ushi

hauptachsentransformation

hallo.

ich weiß nicht, ob das so gut ankommt, wenn ich diese frage stelle. aber ich machs trotzdem:

könnte hier mal jemand reingucken? is ein link zum physikerboard. is aber ein mathematisches problem.

edit: für die, die nich gucken wollen:

ich will eine hauptachsentransformation durchführen. ich habe schon eine matrix der eigenwerte und eine der eigenvektoren. was mach ich mit denen? wie gehts weiter?

11.12.2007, 19:49

ushi

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RE: hauptachsentransformation
edit2: na gut dann eben mehr infos:

meine gleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} x^2+6xy-2y^2-2yz+z^2=24 \end{eqnarray*}$

eigenvektormatrix Q und eigenwertmatrix D lauten:

$\begin{eqnarray*} Q=\begin{pmatrix} \frac 1{3\sqrt{\frac {10}9}} & -\frac 3{5\sqrt{\frac 75}} & \frac 3{2\sqrt{\frac 72}} \\ 0 & \frac 1{\sqrt{\frac 75}} & \frac 1{\sqrt{\frac 72}} \\ \frac 1{\sqrt{\frac {10}9}} & \frac 1{5\sqrt{\frac 75}} & -\frac 1{2\sqrt{\frac 72}} \end{pmatrix} ~D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie gehts weiter? was muss ich damit machen?

edit: ach shit ich wollts editieren.

12.12.2007, 10:39

Mazze

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Nun gut, zunächst ist jede Matrix A (ob erweitert oder nicht) die eine Quadrik beschreibt symmetrisch, das heisst Orthonormal diagonalisierbar. Deine Eigenvektoren hast du sogar auch schon gegeben, Du musst jetzt noch überprüfen ob die Eiegnvektoren orthogonal sind und ob sie die länge 1 haben. Dann kannst Du die Matrix A diagonalisieren, und dabei erhällst Du eine Quadrik

$\begin{eqnarray*} x^TDx \end{eqnarray*}$

Dann musst Du eventuel noch eine quadratische Ergänzung machen und hast Deine Quadrik in Normalform (auf die Hauptachse transformiert).

Edit :

Eh ichs vergesse, Du musst natürlich die Matrix A die die Quadrik beschreibt erst bestimmen, also die Matrix A so setzen das

$\begin{eqnarray*} x^TAx = x^2+6xy-2y^2-2yz+z^2 - 24 \end{eqnarray*}$

ist. Wie das geht solltet ihr behandelt haben.

13.12.2007, 15:07

ushi

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hallo mazze

Zitat:

Original von Mazze
Wie das geht solltet ihr behandelt haben.

genau da liegt das problem. ich leiste gerade mein zivildienst und mach nebenbei ein fernstudium. ich muss mir in relativ wenig zeit ziemlich viel selbst beibringen. da tauchen ab und zu fragen auf. also für A hatte ich:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

daraus hatte ich ja bereits Q und D bestimmt. die eigenvektoren hab ich schon normiert. orthogonal waren sie schon.

so also:

$\begin{eqnarray*} x^TDx=(x,y,z)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x^2 \\ -4y^2 \\ 3z^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

irgendwie stell ich mich bei der sache ganz schön sinnlos an. was muss ich machen? kennt jemand einen schönen link?

edit: muss ich so vorgehen?

$\begin{eqnarray*} QAQ^T \end{eqnarray*}$

13.12.2007, 15:44

Mazze

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Deine Matrix A sieht schon gut aus, es ist

$\begin{eqnarray*} Q = x^tAx - 24 \end{eqnarray*}$

Macht ihr die Transformation mit der erweiterten Matrix $\begin{eqnarray*} \tilde A \end{eqnarray*}$ oder mit der normalen Matrix A wie DU sie shcon hast? Der Unterschied ist nur das man die 24 auch noch in die Matrix verwurschtelt.

Was Du jetzt machen musst, ist die Matrix A zu diagonalisieren. Da deine Eigenvektoren normiert und orthogonal sind kannst Du das in der Tat mit

$\begin{eqnarray*} QAQ^T \end{eqnarray*}$

machen.

13.12.2007, 16:04

ushi

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also gut.

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{pmatrix} -\frac 1{3\sqrt{\frac {10}9}} & -\frac 3{5\sqrt{\frac 75}} & \frac 3{2\sqrt{\frac 72}} \\ 0 & \frac 1{\sqrt{\frac 75}} & \frac 1{\sqrt{\frac 72}} \\ -\frac 1{\sqrt{\frac {10}9}} & \frac 1{5\sqrt{\frac 75}} & -\frac 1{2\sqrt{\frac 72}} \end{pmatrix} -24\right] \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \left[ \begin{pmatrix} -\frac 1{3\sqrt{\frac {10}9}} & 0 & -\frac 1{\sqrt{\frac {10}9}} \\ -\frac 3{5\sqrt{\frac 75}} & \frac 1{\sqrt{\frac 75}} & \frac 1{5\sqrt{\frac 75}} \\ \frac 3{2\sqrt{\frac 72}} & \frac 1{\sqrt{\frac 72}} & -\frac 1{2\sqrt{\frac 72}} \end{pmatrix} -24\right] \end{eqnarray*}$

ach du schande. geht das noch zu vereinfachen?

13.12.2007, 18:42

Mazze

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Also zunächst einmal ist

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{pmatrix} -\frac 1{3\sqrt{\frac {10}9}} & 0 & -\frac 1{\sqrt{\frac {10}9}} \\ -\frac 3{5\sqrt{\frac 75}} & \frac 1{\sqrt{\frac 75}} & \frac 1{5\sqrt{\frac 75}} \\ \frac 3{2\sqrt{\frac 72}} & \frac 1{\sqrt{\frac 72}} & -\frac 1{2\sqrt{\frac 72}} \end{pmatrix} -24\right] \end{eqnarray*}$

garnicht definiert. Du kannst keine Zahl von einer Matrix abziehen. Du musst folgendes machen, zunächst gilt ja

$\begin{eqnarray*} x^TAx - 24 = 0 \end{eqnarray*}$

Für deine Matrix A. Weiterhin gilt folgendes

$\begin{eqnarray*} x^TAx = <x,Ax> \underbrace{=}_{\text{für orthogonales Q}} <Qx,QAx> = x^TAQ^TQx \end{eqnarray*}$

Wobei Q hier die orthonormale Matrix aus den Eigenvektoren von A ist. Du kannst A aber sleber auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} A = Q^TDQ \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} x^TAQ^TQx = x^TQ^TDQQ^TQx = x^TQ^TDQx = <Qx,QDx> = <x,Dx> \end{eqnarray*}$

Das kennst Du ja alles eigentlich schon. Du kannst also die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^TAx - 24 = 0 \end{eqnarray*}$

umschreiben in

$\begin{eqnarray*} x^TDx - 24 = 0 \end{eqnarray*}$

Da Du weisst das die Matrix Q aus Eigenvektoren von A besteht und diese Matrix orthonromal ist, musst Du nicht einmal mehr rechnen. Du musst nur wie ich oben Begründen warum Du A durch D ersetzt. Dann fehlt eigentlich nur noch die quadratische Ergänzung (sofern nötig).

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