Pyramide

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florianmar Auf diesen Beitrag antworten »
Pyramide
Folgende Fragestellung:

Ebene E: -13x+21y+14z=78
Ebene H: enthält die Punkte A(0,0,8), B(-6,2,-3) und ist parallel zur z-Achse
--> In welchem Verhältnis wird die Pyramide, die E mit den Koordinatenebenen bestimmt, von H geteilt?

Die Durchstosspunkte der Ebene E wären meiner Rechnung nach D1(-6,0,0), D2(0,3.71,0), D3(0,0,5.57) und das Volumen der gesamten Pyramide V=1/6|D1||D2||D3|=20.66VE.

Hier hänge ich allerdings fest. Wie stelle ich die Gleichung der Ebene H auf und wie bestimme ich das Verhältnis? Hat jemand einen kleinen Denkanstoß?
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide
die Ebene H kannst du in Normalenform aufstellen. Nimm einfach einen deiner beiden für die Ebene H gegebenen Punkte und den Normalenvektor der yz-Koordinatenbene als Normalenvektor für die Ebene H.


Um zu bestimmen in welchem verhältnis die Ebene H die Pyramide teilt, bestimme doch einfach das Volumen der Gesamten Pyramide und dann....


du siehst, dass die Ebene H die Pyramide senkrecht schneidet, also bestimme nachdem du die Ebene H aufgestellt hast, die Schnittgerade mit der Koordinatenebene xy!!

anschließend hast du ja zwei grundflächen, die durch die schnittgerade entstanden sind. da kannste dann jeweils die teilvolumina ausrechnen und dann ins verhältnis zu einander setzen.
florianmar Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von brunsi
Nimm einfach einen deiner beiden für die Ebene H gegebenen Punkte und den Normalenvektor der yz-Koordinatenbene als Normalenvektor für die Ebene H.


Auf die Gefahr hin, mich zu blamieren: irgendwie verstehe ich das nicht ganz.
Der Normalenvektor der yz-Ebene wäre doch .
Wenn ich den als Normalenvektor von H nehme, habe ich: , aber das hilft mir ja nicht wirklich weiter.

Mittlerweile habe ich es so versucht:
Wenn die Ebene parallel zur z-Achse ist und den Punkt enthält, dann muss sie alle Punkte der z-Achse enthalten. Somit kann ich mir einen Punkt der z-Achse, z.B. den Ursprung aussuchen und die Geradengleichung aufstellen. Spricht man dann allerdings noch von Parallelität?
Demnach würde die Ebenengleichung für H lauten: . Ist das korrekt?
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
der normalenvektor ist richtig, aber deine weiter vermutung nicht, denn parallel bedeutet nicht, dass die Ebene H im Ursprung liegt. es bedeutet lediglich, dass diese Ebene in einem iher spannvektoren genauso verläuft wie der richtungsvektor der z-Achse.

und daher kannst du dann auch in diesem fall den normalenvektor der yz-Ebene nehmen.


kanst ja auch die Ebene H in Parameterform aufstellen.

Du kennst ja jetzt schon mit dem Richtungsvektor der z-Achse einen Spannvektor der Ebene H und dann wählst du einen der 2 Punkte, die in der EBene liegen sollen als Stützvektor und bildest dann mit ihm den zweiten Spannvektor. anschließen formst du dann die Ebene in Koordinatenform um.
vielleicht kommt da ja ne richtige ebene für H raus??!
versuche das einfach mal!!
florianmar Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, aber parallel zur z-Achse bedeutet doch, dass die Ebene H orthogonal zur xy-Ebene ist. Wenn sie nun einen Punkt der z-Achse (A) enthält, so muss sie, da die z-Achse ebenfalls orthogonal zu xy-Ebene ist, alle Punkte der z-Achse enthalten.

Außerdem komme ich auf deinem Weg zum gleichen Ergebnis:



brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
wenn du auf meinem weg zum selben ergebnis kommst, dann hast du auf deinem weg auch richtig gerechnet.


und wie weit bist du denn nun mit dem volumen und den verhältnissen?
 
 
florianmar Auf diesen Beitrag antworten »

Habe es jetzt mit den Teilvolumina nochmal versucht, bin aber nicht wirklich weiter gekommen.

Das gesamte Volumen hatte ich ja schon anfangs ausgerechnet:





Die Schnittgerade der Ebene H mit der Koordinatenebene xy wäre:


Aber wie komme ich jetzt auf das Volumen der Teilkörper?
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
du hast ja jetzt die grundfläche in zwei ebenenhälften geteilt, dann musst du einfach die ebenen dieser zwei grundflächen aufstellen und dann musst du einfach die Schnittgerade h der Ebene H mit der Ebene E ausrechnen.

Jetzt müsstest du ja eigentlich zwei zu einander parallele Geraden haben, deren Abstand du mit der Hessischen Normalenform bestimmen kannst. Dieser Abstand ist dann deine Höhe für das entsprechende Teilstück.

Anschließend berechnest du dann mittels Kreuzprodukt den Flächeninhalt der Grundflächen und multiplizierst ihn dann mit deiner Höhe.

Als letzten schritt dann noch die Verhältnisse ausrechnen.

Erzähl mir doch noch mal, ob die Ebene H deinen Durchstoßpunt mit der z-Ebene beinhaltet. Wenn ja, wäre es viel einfacher zu rechnen, weil du dann auf die die Schnittgerade h verzichten könntest!!


Verusch das mal, möchte mal wissen, ob dieses aufgeht!!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
D1(-6;0;0), D2(0, 26/7;0) und

der schnittpunkt dieser ebene mit E und der xy-ebene liefert den punkt P(-39/10;13/10/0)
da beide pyramiden dieselbe höhe haben, ist die wurscht und man erhält

werner
florianmar Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Antworten!
Sie haben mir sehr weitergeholfen.

Florian
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
werner hat recht, ich hab jetzt bloß nicht überprüft, ob die Ebene H durch den Spurpunkt mit der z-Achse durch geht. ansonsten hätte man es sich viel einfacher machen können, wie ich im ansatz beschrieben habe und werner dann noch einmal aufgegriffen und komplettiert hatte.
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