Komposition f°g

13.12.2007, 11:54

lokomotive

Komposition f°g

Ich hätte da gerne ein Problemchen.

Zwei surjektive Abbildungen f und g bilden beim Hintereinanderausführen wieder eine surjektive Abbildung.

Was folgt aber aus f°g ist surjektiv für f und g?
Angeblich ist dann nur f surjektiv. Aber da habe ich meine Schwierigkeit mit.

Wieso kann f nicht bijektiv sein? Und g surjektiv?

13.12.2007, 12:07

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Zitat:

Original von lokomotive
Wieso kann f nicht bijektiv sein? Und g surjektiv?

Wer sagt denn, das das nicht sein kann? Es geht hier doch darum, was sein muss, also zwingend aus der Surjektivität von f°g folgt!

13.12.2007, 12:20

lokomotive

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Die Behauptung ist, dass aus der Surjektivität von f°g folgt, dass nur f surjektiv ist.

Aber da habe ich mein Verständnissproblem.

f: V nach W und g: U nach V

Jedes Element von Bild g wird aber einmal auf W abgebildet (Bijektivität),

und für jedes Element von U existiert ein g(u) (Surjektivität).

Wo ist der Widerspruch?

13.12.2007, 12:59

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Zitat:

Original von lokomotive
Die Behauptung ist, dass aus der Surjektivität von f°g folgt, dass nur f surjektiv ist.

Streich das nur, dann ist die Aussage in Ordnung.

Deine nachfolgende Argumentation

Zitat:

Original von lokomotive
Jedes Element von Bild g wird aber einmal auf W abgebildet (Bijektivität),

und für jedes Element von U existiert ein g(u) (Surjektivität).

kann ich nicht nachvollziehen. Was willst du hier eigentlich nachweisen:

(1) dass f surjektiv ist (was stimmt),

(2) dass g nicht surjektiv ist (was nicht notwendig so ist, s.o.)

Also (2) nachweisen zu wollen, ist sinnlos, das zeigt schon das Beispiel $\begin{eqnarray*} f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x)=x \end{eqnarray*}$ .

13.12.2007, 13:31

mYthos

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RE: Komposition f°g

Zitat:

Original von lokomotive
Ich hätte da gerne ein Problemchen.
...

Ich bin eigentlich froh, wenn ich keine habe Big Laugh

13.12.2007, 13:34

lokomotive

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Mist, habe die Aufgabe nicht korrekt wiedergegeben.
Es soll heissen, dass wenn f°g surjektiv ist, nur f notwendigerweise surjektiv ist.

Aber (immernoch mein Holzweg?) :

$\begin{eqnarray*} f:V->W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g:U->V \end{eqnarray*}$

Meine Behauptung:

Für ein $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ gibts es ein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(u) = v \end{eqnarray*}$ , also wäre g surjektiv
und

für ein $\begin{eqnarray*} g(u) \in V \end{eqnarray*}$ gibt es genau ein $\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(g(u)) = w \end{eqnarray*}$ , also wäre f bijektiv.

Irgendwie hängts bei mir.

Könnte man das eventuell über den Rang, bzw. Dimension zeigen?

13.12.2007, 13:37

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Zitat:

Original von lokomotive
Für ein $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ gibts es ein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(u) = v \end{eqnarray*}$ , also wäre g surjektiv
und

für ein $\begin{eqnarray*} g(u) \in V \end{eqnarray*}$ gibt es genau ein $\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(g(u)) = w \end{eqnarray*}$ , also wäre f bijektiv.

Beides falsche, völlig aus der Luft gegriffene Schlußfolgerungen. Wie kommst du drauf?

Die Argumentation verläuft hier eher so:

Was bedeutet die Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} (f\circ g):\; U\to W \end{eqnarray*}$ surjektiv ist? Nun, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} (f\circ g)(u) = f(g(u) = w \end{eqnarray*}$

gibt. Damit hast du sofort die Surjektivität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , denn für die ist ja für jedes $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(v)=w \end{eqnarray*}$ anzugeben - und da nimmst du hier einfach $\begin{eqnarray*} v=g(u) \end{eqnarray*}$ , fertig.

13.12.2007, 13:37

lokomotive

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RE: Komposition f°g

Zitat:

Original von mYthos

Zitat:

Original von lokomotive
Ich hätte da gerne ein Problemchen.
...

Ich bin eigentlich froh, wenn ich keine habe Big Laugh

Bodo Bach veräppelt im Radio Leute per Telefon. Freude

Das ist seine Einleitung.

13.12.2007, 14:01

lokomotive

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@Arthur Dent:

Sorry für die Definitionen, die sind natürlich falsch. Hammer

Jetzt bin ich konzentriert.

Es ist mir immernoch nicht ganz einleuchtend, leider.

Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, also wenn es für jedes $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(v)=w \end{eqnarray*}$ gibt, dann müsste $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ surjektiv sein.
Die Komposition $\begin{eqnarray*} f°g \end{eqnarray*}$ wäre immernoch surjektiv.

Dann ist aber $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ doch nicht notwendigerweise surjektiv.

13.12.2007, 14:22

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Zitat:

Original von lokomotive
Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, [...]

Dann ist aber $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ doch nicht notwendigerweise surjektiv.

Geradezu revolutionär, was du da treibst: Du hast also eine bijektive Funktion gefunden, die nicht surjektiv ist...

Vielleicht schaust du dir die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv mal genau an, bevor du derart mit ihnen herumwirfst.

13.12.2007, 14:25

lokomotive

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von lokomotive
Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, [...]

Dann ist aber $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ doch nicht notwendigerweise surjektiv.

Also bedeutet notwenidigerweise surjektiv nicht nicht bijektiv.

Danke

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