Konvergenz von Reihen

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Blacks Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen
Hallo!

Ich habe eine Aufgabe:
Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:


Da , für alle und folgt: .

Damit ist das notwendige Kriterium bewiesen.

Nun kann ich die Konvergenz der Reihe durch das Majorantenkriterium hinreichend nachweisen:

.
Es ist bekannt, dass konvergiert, spielt keine Rolle, also ist die Reihe absolut konvergent.
Ist das soweit richtig?
Und wenn ja, dann weiss ich leider nicht, wie ich nun im Weiteren den Wert ( die Summe) dieser Reihe berechnen kann. Nicht, dass mir nur der Ansatz fehlt, ich habe auch keine Ahnung mit welcher Methodik man an dieses Problem rangehen kann. Ich wäre für jede Hilfe dankbar!
Ambrosius Auf diesen Beitrag antworten »

Die Untersuchung der Konvergenz ist meines Erachtens soweit richtig.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst mal etwas umschreiben mit Indexverschiebung sowie komplexen Zahlen



Jetzt folgende Idee: Mit



kann man deinen Reihenwert so schreiben: .

Jetzt ist die Frage, ob man von (*) eine explizite Darstellung hinkriegt. Ich fürchte nein, aber zumindest eine Integraldarstellung sollte drin sein... verwirrt
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst einmal bin ich froh, dass ich die Konvergenz wenigstens richtig untersucht habe.
Was den Wert angeht, verstehe ich die Hilfe nicht. Sobald die Eulersche Zahl ins Spiel kommt, blick ich nur noch halb durch.
Was unendliche Reihen betrifft, habe ich bisher nur die Definition, hinreichende und notwendige Kriterien, sowie das Cauchy-Produkt kennengelernt. Die Aufgabe sollte sich eigentlich nur über diese Themen erstrecken.
Also entweder gibt es einen einfacheren Weg, um den Wert der Reihe zu bestimmen, oder aber man soll diese Reihe tatsächlich nur auf ihr Konvergenzverhalten untersuchen und nicht den Wert bestimmen, weil diese Reihe vielleicht noch zu schwer ist.
Falls jemand einen einfacheren Weg findet, wäre ich dankbar, ansonsten kümmere ich mich um mein nächstes Übungsblatt, auf dem ich ausdrücklich den Wert einer Reihe bestimmen soll. Falls ich da auch nicht weiter kommen sollte, meld ich mich wieder.
Vielen Dank bis dahin!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blacks
ansonsten kümmere ich mich um mein nächstes Übungsblatt, auf dem ich ausdrücklich den Wert einer Reihe bestimmen soll.

Ja, tu das, das würde ich dir dringend anraten. Im übrigen sollte aus der Aufgabenstellung klar hervorgehen, ob nur nach Konvergenz oder ausdrücklich nach dem genauen Reihenwert gefragt wird...

Zitat:
Original von Blacks
Also entweder gibt es einen einfacheren Weg, um den Wert der Reihe zu bestimmen,

Hoffe ich auch - aber ich fürchte nein.
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabestellung lautet genau:
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenzen:
a) ... b).....usw.

Ich bin davon ausgegangen, dass dies den Wert der Reihe beinhaltet.
Also kann ich das ganz wörtlich nehmen und, falls nicht ausdrücklich nach dem Wert gefragt wird, den Wert weglassen?
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Formulierung "Untersuchung auf Konvergenz" heißt für mich ganz klar, dass der eigentliche Wert nicht gefordert ist, sondern nur die Frage Konvergenz/Divergenz zu klären ist. Dabei fällt oft noch die Unterklassifizierung "absolute Konvergenz" im ersten Fall, bzw. "bestimmte Divergenz" im zweiten Fall nebenbei mit ab, die kann man als Bonus noch mit erwähnen - natürlich nur, so sie denn zutreffen. Augenzwinkern

Eine wirkliche Berechnung des Reihenwerts ist natürlich erforderlich bei einer entsprechenden expliziten Formulierung, oder aber auch bei "Berechnen Sie die Reihe ... ".

Sollte eine Formulierung doch mal unklar sein, dann kann man ja Lehrer/Prof auch nochmal nachfragen, bevor man sich einen Wolf rechnet... smile
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe nun weiter gearbeitet und stecke bei folgender Aufgabe fest:

Berechnen Sie die Werte der folgenden unendlichen Reihen und geben Sie bei b) und c) an, für welche die Reihen konvergieren:





Hinweis: Exponentialreihe, geometrische Reihe.


Ich habe mir ein paar Gedanken gemacht:

zu a) Es ist eine alternierende Reihe. Ich könnte außerdem den Quotienten alleine als geometrische Reihe der Form auffassen.

zu b) Hier soll ich wohl den Hinweis "Exponentialreihe" benutzen. Mir ist bekannst, dass ist. Beim Zähler denke ich mir, dass ich in als geometrische Reihe der Form schreiben kann.

zu c) Wieder eine alternierende Reihe. Der Index sollte nicht das Problem sein. Ich könnte die Reihe auch schreiben als:
Den Quotienten könnte ich auseinanderziehen in :.

Ich habe also bei allen 3 Aufgaben das Problem, dass ich die Werte der Einzelteile berechnen kann, aber nicht die Werte der ganzen Reihe.
Danke schonmal im Vorraus!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Bei a kannst du das (-1)^n noch in reinziehen.

Bei b wäre zu klären, was mit 3n! gemeint ist: 3*n! oder (3n)!. Ansonesten solltest du dir die allgemeine Exponentialreihe anschauen und nicht nur die für die Zahl e.

Bei c bringt das Rausziehen des ersten Summanden nichts. Besser ist das Auseinanderziehen des Bruches. Augenzwinkern

EDIT: Was die Berechnung des Reihenwertes angeht, sollten wir uns erstmal nur mit Aufgabe a beschäftigen. Sonst geht das zu arg durcheinander.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

zu a) geometrische reihe ist schonmal eine gute idee, allerdings solltest du den faktor auch noch in die geometrische reihe einbringen. dazu benötigst du nur ein potenzgesetz.

bei der b) sollst du wohl verwenden. mit einer geometrischen reihe kommst du da nicht weit.
viel mehr solltest du so umformen:

achte auch auf den index, bei dem die reihe beginnt.

bei c) würde ich erstmal den bruch auseinanderziehen.

edit: nächstes mal klicke ich auf vorschau bevor ich absende unglücklich
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Das "+" in c) habe ich schon editiert.

Wenn ich das aber richtig verstehe, dann ist das Vorgehen beim Berechnen eines Reihenwertes folgendermaßen:
Man formt den Term soweit um, dass man eine bekannte Fornel oder einen bekannter Reihenwert darauf anwenden kann. Stimmt das so?

Ich habe nun in a) gerechnet:

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blacks
Man formt den Term soweit um, dass man eine bekannte Fornel oder einen bekannter Reihenwert darauf anwenden kann. Stimmt das so?

Ja.

Zitat:
Original von Blacks

Bis dahin ist es richtig. Was danach kommt, ist falsch. Erstens darf nach Wegfall der Summe kein n mehr vorkommen (der war ja nur Laufindex). Zweitens hast du die Formel für die geometrische Reihe nicht korrekt benutzt. Achte darauf, mit welchem Indexwert die beginnt.
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dann schreibe ich nun zu Aufgabe a) weiter, ab der Stelle, an der es falsch war:



Passts?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ein kleiner Fehler beim Beginn der zweiten Summe, sonst ok.

Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Das habe ich verstanden. Ich habe mich dann an b) versucht:



Die Frage, für welche die Reihen konvergieren, habe ich so verstanden, dass ich hinreichende ud notwenige Kriterien untersuchen soll. Dadurch bin darauf gekommen, dass die Reihe für alle konvergiert.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die "- 2" im letzten Term solltest du überdenken, sonst ok. smile
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar:
Es muss "-1" sein und nicht "-2".

Bei c) siehts dann aber für mich wieder deutlich schwieriger aus:



Hier stecke ich fest.
Durch das hinreichende und das notwenige Kriterium kann ich zwar noch bestimen, dass die Reihe für alle konvergieren, da hörts dann aber auf.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Klammern setzen macht sich immer gut:



Die Summe kannst du in zwei Summen auseinander ziehen. Die zweite Summe ist kein Problem. Die erste Summe ist ebenfalls eine geometrische Reihe, wofür es ein klares Konvergenzkriterium gibt.
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »



Das ist mein Ergebnis.
Wenns stimmt bin ich für heute glücklich Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis stimmt. Die Frage ist nur, für welche z die Reihe konvergiert, so daß du das überhaupt so machen darfst.
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blacks
Durch das hinreichende und das notwenige Kriterium kann ich zwar noch bestimen, dass die Reihe für alle konvergieren, da hörts dann aber auf.


Da bin ich mir recht sicher. Auch, wenn ich zunächst gedacht hättem dass es für alle gilt. Aber ich vertraue doch lieber auf meine Rechnung.

Vielen Dank für alle Hilfen. Das ist erstmal genug Mathe für heute!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Und was soll mir das jetzt sagen? Stimmt deine Rechung auch für z=-10 ?
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Verunsicher mich doch nicht Augenzwinkern
Nein, meine Rechnung stimmt nicht für z=-10, weil:
und somit kein Grenzwert existiert.
Nur für ist die Folge eine Nullfolge, das notwendige Kriterium erfüllt und ein Grenzwert existent.
Vielleicht habe ich das ein bisschen missverständlich formuliert...
Oder wolltest du auf was anderes hinaus?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Begründung stimmt einfach so nicht. Was ist denn mit z=-2? Dann konvergiert nämlich die Summe.
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm...
das hinreichende Kriterium besagt doch, dass die Reihe nur konvergiert, wenn die Folge eine Nullfolge ist. Für z=-2 müsste also:
eine Nullfolge sein, damit die Reihe konvergiert. Ich hab jetzt leider nicht die Zeit, das nachzurechnen, aber wenn ich mir das einfach mal anschaue, dann gehen Nenner und Zähler gegen unendlich. Der Bruch konvergiert also gegen 1. Und ändert auch nichts daran, dass die folge keine Nullfolge ist.
Oder sehe ich da was falsch?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

In der Tat. Wenn der Bruch gegen 1 konvergieren würde, würde der "Grenzwert" wegem dem (-1)^n zwischen -1 und 1 hin- und herspringen. Das geht natürlich nicht. Abgesehen davon konvergiert der Bruch aber nicht gegen 1. Siehe auch . Augenzwinkern
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe, dass gegen 0 konvergiert. Denn n wächst deutlich langsamer als . Aber nach dem, was in meinem Skript steht, habe ich es so verstanden, dass 2 natürliche Zahlen x und y, im Falle und , gleich schnell anwachsen. Also wären Nenner und Zähler bei: gleich groß und somit der Bruch =1.
Aber, wenn ich dies einfach mal nachrechne, stellt sich das als falsch dar.

Also kann ich mir merken:
?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip ja. Genauer gilt: für |q| < 1.

Falls x >= 0 ist, gilt , was dann auch die Begründung für den Grenzwert 0 liefert.

Zitat:
Original von Blacks
Aber nach dem, was in meinem Skript steht, habe ich es so verstanden, dass 2 natürliche Zahlen x und y, im Falle und , gleich schnell anwachsen. Also wären Nenner und Zähler bei: gleich groß und somit der Bruch =1.
Aber, wenn ich dies einfach mal nachrechne, stellt sich das als falsch dar.

Das kommt davon, wenn man mit difusen Begriffen arbeitet. Was bedeutet denn mathematisch "gleich schnell" ?
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Der Begriff "gleich schnell" ist natürlich alles andere als optimal. Aber es nicht immer leicht, sich genau und richtig auszudrücken, zumindest für mich nicht.

Auf jeden Fall bin ich jetzt zu folgendem Ergebnis gekommen:
, für .

Das lässt sich durch die hinreichende Bedingung bestätigen:
, für

Also konvergieren die Reihen für alle .
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit |z| < 5 ist ok. Das kann man auch leicht an der Summe ablesen.

Denn wie man leicht sieht, ist das eine geometrische Reihe, und diese konvergiert für .

Die letzte Zeile mit der n-ten Wurzel in deinem Beitrag ist mittelmäßiger Unfug. Erstens mußt du unter der Wurzel den Betrag nehmen. Dann erübrigt sich die Behandlung von (-1)^n. Zweitens reicht es nicht aus, daß die n-te Wurzel < 1 ist (das ist bei auch der Fall), sondern der Grenzwert davon muß < 1 sein.
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Auch, wenn es den Mist, den ich geschrieben habe, nicht besser macht, muss ich sagen, dass ich das richtige gedacht habe und es verstanden habe. Ich hab es einfach nur zu schnell und unüberlegt formuliert.
Danke für die Hilfe!
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