| 13.12.2007, 19:49 |
Stepp |
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Basiswechsel um Transformationsmatrizen
Hallo!
Ich höre Lineare Algebra für Informatiker und Statistiker.
Ich habe eine große Verständnisfrage zu Transformationsmatzen und dem Basiswechsel. Grob gesagt: Ich habe jetzt seit problemlos einer Woche im Internet gelesen aber noch immer verstehe ich nicht was es damit auf sich hat. Ich habe vor ca. einer Woche in einem anderem Forum einen langen Fragebeitrag dazu erstellt, doch dort antwortete mir leider niemand. Dann habe ich nochmal gesucht und das Forum hier gefunden, also probier ichs hier nochmal.
Hier ist der Link zu der Frage in dem anderem Forum:
http://www.matheraum.de/read?i=339645
Und hier ist meine Frage (kopiert aus dem anderem Forum):
| Zitat: |
Also das ganze beschäftigt sich mit dem Thema Basistransformation / Transformationsmatrizen. Wir schreiben bereits Anfang Januar die Klausur, und eine Probeklausur haben wir auch schon. Daher kann ich jetzt sagen, dass es im Prinzip reichen würde zu wissen was man in welchem Fall tun muss...mir wäre es aber bei weitem lieber das ganze zu verstehen.
Ich habe mir anhand einiger Übungsaufgaben und einem Buch hergeleitet was ich bei Aufgaben folgender Art tun muss:
Aufgabentyp 1:
Gegeben ist eine beschreibende Matrix bezüglich der kanonischen Basis. Wir wollen die beschreibende Matrix derselben Abbildung bzgl. einer anderen Basis C finden:
Sei A die die Matrix der Basis C bzgl. der kanonischen Basis.
B sei die gegebene Matrix.
Dann berechnet man die Matrix die die Transformation von der kanonischen Basis in die C-Basis beschreibt mit:
T = (A)^-1 * B * A
Was ist allerdings wenn B nicht bzgl. der kanonsichen sondern einer x-belibigen Basis D gegeben ist? dann kommt eben dieses wir transformieren erst von der Basis D nach kanonische Basis und dann von der kanonsichen Basis nach C ins Spiel denke ich. Doch genau das habe ich nicht verstanden was ich da tun muss.
Aufgabentyp 2:
Gegeben seien zwei Basen A und B. Wir wollen die Koordinatentransformation eines Vektors, der bzgl. einer Basis bekannt ist in die andere Basis darstellen.
Wenn wir von B nach A (oder heisst das von A nach B in diesem Fall?)transformieren wollen muss folgendes gelten: Wir wollen eine Transformationsmatrix finden so dass gilt: T*v = w, wobei v der Koordinatenvektor in der B-Basis und w der Vektor in der A-Basis ist.
Die gesuchte Matrix T lässt sich wieder mit einer einfach Formel berechnen: Sei C eine Matrix der Basis A bzgl. der kan. Basis und D eine Matrix der Basis B bzgl der kan. Basis.
Dann gilt: T = C^-1 * D
Ich denke das diese beiden "Formeln" genau den Zusammenhang haben den ich nicht verstanden habe...
Es gibt noch einen dritten Aufgabentyp, den ich mir nicht herleiten kann den ich mir aber wohl herleiten könnte, wenn ich verstanden hätte wie diese Formeln zustande kommen.
Aufgabentyp 3:
Gegeben ist eine beschreibende Matrix A einer Abbildung. Weiterhin gegeben ist die beschreibende Matrix B der selben Abbildung. Wir sollen mittels geeigneter Basistransformation die Matrix A auf die Matrix B bringen und die neue Basis angeben. Wie gesagt, hier kann ich mir noch absolut nichts vorstellen.
Aufgabentyp 4:
Stelle die Vektoren: (1 2 1 2); (1 2 3 1); (3 2 2 1); (-1 -2 1 1); als Linearkombination der Vektoren (1 2 1 2); (1 2 3 1); (3 2 2 1); (-1 -2 1 1); sowie (1 0 0 0); (0 1 0 0); (0 0 1 0); (0 0 0 1) dar.
Gib jeweils eine geeignete Transformationsmatrix an.
Man hat einen Vektor a (mit Zahlen gegeben) und man soll ihn als Linearkombination eines Vektors b darstellen. Das soll man als MAtrizenprodukt schreiben und natürlich die passende Transformationsmatrix angeben.
Kann es sein, dass dies jetzt erstmal an sich nichts mit Basiswechsel / Koordinatentransformation zu tun hat? Was ist, wenn es man eine Transformationsmatrix für die Linearkombination zu einem Vektor dem man nicht sofort ansieht, dass es sich um die kanonische oder die Einheitsbasis handeln muss?
Gibt es bei diesem Fall auch eine so einfach Formel wie in den ersten zwei Aufgabentypen?
EDITIERT: So, der Hinweis zu Transformationsmatrizen beim Lineare Algebra für Dummköpfe (http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/...cle.php?sid=581) hat mich nach näherem Betrachten jetzt vollkommen verwirrt.
Hier wird jetzt plötzlich mit zwei verschiedenen Basen gearbeitet. Warum? Sie sagen gegeben sei der Raum V mit den Basen B und B'. In meinen Beispielen gab es immer nur eine Basis pro Raum, für was brauchen wir zwei Basen? Genau da liegt der Punkt: Wenn ich verstehen würde was da vor sich geht würde man den Zusammenhang wahrscheinlich recht leicht sehen können.
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Ich mache seit Tagen mit diesem Schrott rum und komme da einfach auf keinen Nenner...kann mir irgendjemand der sich damit auskennt kurz und verständlich erklären wie man darauf kommt wie die Formel aufgestellt werden muss? Ich hoffe hier antwortet jemand. Vielen Dank im vorraus! |
