zu komplex ?

14.12.2007, 19:38

fridolin

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zu komplex ?

Hi .
Wir haben gestern neue Übungen bekommen .
Aufgabe 3 lautet so :

Was ist $\begin{eqnarray*} \sqrt(i) \end{eqnarray*}$ ?
Gibt es mehrere Lösungen in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ?

Meine Antwort wäre : $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ist die imaginäre Einheit und wir so definiert :
$\begin{eqnarray*} i^2 = -1 \end{eqnarray*}$ .
demnach ist $\begin{eqnarray*} \sqrt(i) = \sqrt(-1) \end{eqnarray*}$

In $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ gibt es nur eine Lösung, weil es algebraisch Abgeschlossen ist (siehe Fundamentalsatz der Algebra)

würdet ihr euch damit zufrieden geben ? smile

smile

14.12.2007, 19:43

tmo

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nein, damit bin ich nicht zufrieden.

es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{i} = e^{ln(i) \cdot \frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(i) \end{eqnarray*}$ hat unendlich viele lösungen, da die komplexe logarithmusfunktion mehrere zweige hat.
welche lösungen sind es nämlich?

14.12.2007, 19:47

ushi

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du hast insgesamt einen ziemlich groben fehler drin:

$\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$

dann is:

$\begin{eqnarray*} i=\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$

also kann das nicht stimmen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{i}\neq \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$

edit: also jetz stimmts ja, wegen $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$

14.12.2007, 20:14

fridolin

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zu komplex ?

Zitat:

Original von ushi
du hast insgesamt einen ziemlich groben fehler drin:

$\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$

dann is:

$\begin{eqnarray*} i=\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$

also kann das nicht stimmen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{i}\neq \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$

edit: also jetz stimmts ja, wegen $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$

ja hast recht :
ich meinte ja auch :
$\begin{eqnarray*} \sqrt(i) = \sqrt[4](-1) \end{eqnarray*}$

14.12.2007, 20:15

tmo

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das ist aber keine zufriedenstellende lösung.

denn selbst im komplexen ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ streng genommen nicht definiert

14.12.2007, 20:18

fridolin

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Zitat:

Original von tmo
das ist aber keine zufriedenstellende lösung.

denn selbst im komplexen ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ streng genommen nicht definiert

aha ...wir haben erst seit 2 tagen das thema ... und die darstellung mit dem $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ kenn ich bisher noch nicht ...
jetzt bin ich ganz verwirrt :S
Was soll ich nun antworten ?!

btw : Textaufgaben sind viel schwieriger als rechenaufgaben xD

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14.12.2007, 20:20

tmo

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achso dann muss man das änders lösen:

betrachte mal

$\begin{eqnarray*} i = \frac{i^2+2i+1}{2} \end{eqnarray*}$

14.12.2007, 20:28

fridolin

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Zitat:

Original von tmo
achso dann muss man das änders lösen:

betrachte mal

$\begin{eqnarray*} i = \frac{i^2+2i+1}{2} \end{eqnarray*}$

das gilt nur für $\begin{eqnarray*} i = 1 \end{eqnarray*}$ ?

14.12.2007, 20:29

fridolin

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Zitat:

Original von fridolin

Zitat:

Original von tmo
achso dann muss man das änders lösen:

betrachte mal

$\begin{eqnarray*} i = \frac{i^2+2i+1}{2} \end{eqnarray*}$

das gilt nur für $\begin{eqnarray*} i = 1 \end{eqnarray*}$ ?

nein , mein fehler ... erstmal : wie kommst du auf sowas ?

14.12.2007, 20:29

tmo

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nein das gilt allgemein.

für i = 1 würde doch auch kein sinn machen.

mache aus diesem ausdruck nun etwas. stichwort: 1te binomische formel.

wie ich darauf komme? nunja ich kenne die lösung aufgrund der darstellung mit e und dann ist das nicht schwer darauf zu kommen.

14.12.2007, 20:37

fridolin

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Zitat:

Original von tmo
mache aus diesem ausdruck nun etwas. stichwort: 1te binomische formel.

gesagt , getan :
$\begin{eqnarray*} i = \frac{i^2+2i+1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i = \frac{(i+1)^2}{2} \end{eqnarray*}$
und jetzt die wurzel ziehen ?
Ich weiss grad nicht wohin du mich führen willst ,aber ich spiel mal mit Big Laugh

Big Laugh

14.12.2007, 20:37

tmo

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ja jetzt zieh einfach die wurzel.

14.12.2007, 20:42

fridolin

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Zitat:

Original von fridolin

Zitat:

Original von tmo
mache aus diesem ausdruck nun etwas. stichwort: 1te binomische formel.

gesagt , getan :
$\begin{eqnarray*} i = \frac{i^2+2i+1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i = \frac{(i+1)^2}{2} \end{eqnarray*}$
und jetzt die wurzel ziehen ?
Ich weiss grad nicht wohin du mich führen willst ,aber ich spiel mal mit Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \sqrt i = \frac{i+1}{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$
Wenn das die Lösung ist ,dann würde mich mal intresseiren :
1.Wie man drauf kommt ....
2.gibt es sachen ,die ich mir vllt nochmal anschauen sollte ?

14.12.2007, 21:07

ushi

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Zitat:

Original von fridolin

Zitat:

Original von fridolin

Zitat:

Original von tmo
achso dann muss man das änders lösen:

betrachte mal

$\begin{eqnarray*} i = \frac{i^2+2i+1}{2} \end{eqnarray*}$

das gilt nur für $\begin{eqnarray*} i = 1 \end{eqnarray*}$ ?

nein , mein fehler ... erstmal : wie kommst du auf sowas ?

definiert is doch: $\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$

jetz setz halt mal $\begin{eqnarray*} i^2 \end{eqnarray*}$ in die gleichung ein.

14.12.2007, 21:10

fridolin

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Zitat:

Original von ushi

Zitat:

Original von fridolin

Zitat:

Original von fridolin

Zitat:

Original von tmo
achso dann muss man das änders lösen:

betrachte mal

$\begin{eqnarray*} i = \frac{i^2+2i+1}{2} \end{eqnarray*}$

das gilt nur für $\begin{eqnarray*} i = 1 \end{eqnarray*}$ ?

nein , mein fehler ... erstmal : wie kommst du auf sowas ?

definiert is doch: $\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$

jetz setz halt mal $\begin{eqnarray*} i^2 \end{eqnarray*}$ in die gleichung ein.

ahhh... jetzt machts klick! Idee!

Idee!

DANKE.

Was ist aber mit frage 2 ?
stimmt auch nicht ,oder ?

14.12.2007, 21:18

ushi

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ich find das mit den zitaten zwar ziemlich witzig, aber wir sollten es vielleicht nicht übertreiben. smile

smile

da ich kein mathematiker bin, kenn ich mich mit dem fundamentalsatz der algebra nicht aus. aber tmo schrieb doch ganz am anfang was von unendlich vielen lösungen.

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