inverse Matrizen

14.12.2007, 21:03

miranda

inverse Matrizen

Hallo!

Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe. Und zwar soll ich zeigen, dass zwei Matrizen A und B zueinander invers sind. Eigentlich ist das ja nicht weiter schwierig, ich muss einfach zeigen, dass das Produkt aus A und B die Einheitsmatrix ergibt. Ich tue mich allerdings schwer, da meine gegebenen Matrizen keine Zahlen, sondern hauptsächlich Binomialkoeffizienten enthalten.
Folgende Matrizen sind gegeben:
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ 1 & \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} & 0 & ... & ...& ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ 1 & \begin{pmatrix} p \\ 1 \end{pmatrix} & ... & \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} & ... & \begin{pmatrix} p \\ p \end{pmatrix} & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ 1 & \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} & ... & \begin{pmatrix} n \\ q \end{pmatrix} & ... & ... & ... & \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ -1 & \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} & ... & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ (-1)^p & (-1)^{p-1} \begin{pmatrix} p \\ 1 \end{pmatrix} & ... & (-1)^{p-q} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} & ... & \begin{pmatrix} p \\ p \end{pmatrix} & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ (-1)^n & (-1)^{n-1} \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} & ... & (-1)^{n-q} \begin{pmatrix} n \\ q \end{pmatrix} & ... & ... & ... & ... & \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich für q, p und n Zahlen eingesetzt und dabei beachtet, dass gilt:
q < p < n. Mit meinem Zahlenbeispiel komme ich bei der Multiplikation auch auf die Einheitsmatrix. Das reicht ja aber nicht als Beweis aus.

Kann mir jemand weiterhelfen?

14.12.2007, 21:35

marci_

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du kannst da manches schon am anfang vereinfachen:
was ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.12.2007, 21:58

miranda

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Ja ok. Statt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kann ich 1 schreiben, ebenso wie statt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} p \\ p \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist n, das ist mir auch klar. Damit stoße ich aber immer noch auf Schwierigkeiten, weil sich spätestens Ausdrücke wie $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nicht mehr so leicht vereinfachen lassen. Da liegt mein eigentliches Problem.

14.12.2007, 22:27

Leopold

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Numerieren wir die Zeilen und Spalten der Matrizen von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch und bezeichnen wir mit $\begin{eqnarray*} a_{ij}, b_{ij} \end{eqnarray*}$ das Element in der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Zeile und $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -ten Spalte von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , so gelten

$\begin{eqnarray*} a_{ij} = \begin{cases} {i \choose j} & \mbox{für} \ i \geq j \\ 0 & \mbox{für} \ i<j \end{cases} \, , \ \ \ b_{ij} = \begin{cases} (-1)^{i+j}{i \choose j} & \mbox{für} \ i \geq j \\ 0 & \mbox{für} \ i<j \end{cases} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ untere Dreiecksmatrizen sind, ist auch ihr Produkt $\begin{eqnarray*} C = (c_{ij}) = AB \end{eqnarray*}$ eine untere Dreiecksmatrix. Es genügt daher, $\begin{eqnarray*} c_{ij} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \geq j \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Für solche Indizes gilt:

$\begin{eqnarray*} c_{ij} = \sum_{k=0}^n a_{ik} b_{kj} = \sum_{k=j}^i a_{ik} b_{kj} = (-1)^j \sum_{k=j}^i (-1)^k {i \choose k} {k \choose j} \end{eqnarray*}$

Und jetzt weise nach, daß $\begin{eqnarray*} {i \choose k} {k \choose j} = {i \choose j} {{i-j} \choose {i-k}} \end{eqnarray*}$ gilt und vereinfache die obere Summe unter Verwendung einer bekannten Regel für Binomialkoeffizienten.

15.12.2007, 13:29

miranda

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Hallo!

Erstmal Danke, für die Antwort. Ich habe allerdings trotzdem noch einige Probleme damit. Mir leuchtet ein, dass bei der Multiplikation von A und B wieder eine untere Dreiecksmatrix herauskommen muss. Allerdings verstehe ich nicht, wie du auf die Summenschreibweise kommst und wie du das ganze umformst. Könntest du das vielleicht noch mal ausführlicher erklären, was du da genau machst! Wäre toll!

Ich habe versucht nachzuweisen, dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} i \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} k \\ j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} i-j \\ i-k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gilt.
Bei der linken Seite komme ich auf: i!*k!
und ber der rechten Seite auf: i!*(i-j)!
Gilt damit k = i-j ?

15.12.2007, 15:20

Leopold

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Zunächst zur letzten Frage:

$\begin{eqnarray*} {i \choose k}{k \choose j} = \frac{i!}{k! (i-k)!} \cdot \frac{k!}{j! (k-j)!} = \frac{i!}{j! (i-k)! (k-j)!} \end{eqnarray*}$

Und jetzt weise nach, daß der andere Term auf denselben Ausdruck führt, wenn man die Definition der Binomialkoeffizienten verwendet. Die Identität ist nützlich, weil der Faktor $\begin{eqnarray*} {i \choose j} \end{eqnarray*}$ nicht vom Summationsindex $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ abhängt, also vor die Summe gezogen werden kann.

Die Formel

$\begin{eqnarray*} c_{ij} = \sum_{k=0}^n a_{ik} b_{kj} \end{eqnarray*}$

besagt nichts anderes, als daß man die Elemente der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Zeile von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ (die $\begin{eqnarray*} a_{ik} \end{eqnarray*}$ ) mit den Elementen der $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -ten Spalte von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ (den $\begin{eqnarray*} b_{kj} \end{eqnarray*}$ ) multiplizieren und die Produkte aufaddieren muß, um das Element $\begin{eqnarray*} c_{ij} \end{eqnarray*}$ zu erhalten. Das ist ja nichts anderes als die Definition des Matrizenproduktes.

15.12.2007, 16:28

miranda

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Hallo!

Danke für nochmalige Erklärung! Warum $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} i \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} k \\ j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} i-j \\ i-k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gilt, habe ich jetzt verstanden.
(i! / j! (i-j)! ) * ( (i-j)! / (i-k)! (k-j)! ) = i! / j! (i-k)! (k-j)!
(Bitte entschuldige die Schriebweise, ich habe nirgendwo eine Formel für Brüche gefunden)

Mir ist nun auch klar, wie du auf deine erste Summendarstellung kommst.
Bei deiner ersten Umformung: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=j}^k~a_{i,k}b_{k,j} \end{eqnarray*}$
setzt du k = j und lässt die Summe bis i laufen. Liegt das daran, dass $\begin{eqnarray*} i \geq j \end{eqnarray*}$ gilt? Betrachtest du deshalb nur die Indizes zwischen j und i?
Die nächste Umformung verstehe ich gar nicht mehr. Ich habe allerdings etwas ähnliches in meinem Skript gefunden und daher eine Vermutung. Kann es sein, dass du den Entwicklungssatz von Laplace verwendet hast? Wenn nicht, wäre es toll, wenn du mir erklären könntest wie du umformst.
Warum du allerdings $\begin{eqnarray*} (-1)^{j} \end{eqnarray*}$ vor die Summe ziehst, ist mir glaube ich klar. Das liegt doch daran, dass j nicht vom Summationsindex abhängt, ebenso wie $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Ich habe nun versucht nach deiner Anleitung umzuformen und komme auf:

$\begin{eqnarray*} (-1)^{j} \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} \sum_{k=j}^i~(-1)^{k} \begin{pmatrix} i-j \\ i-k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Allerdings weiß ich leider nicht, was man daran noch weiter vereinfachen könnte.

15.12.2007, 17:23

Leopold

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Zitat:

Original von miranda
(i! / j! (i-j)! ) * ( (i-j)! / (i-k)! (k-j)! ) = i! / j! (i-k)! (k-j)!
(Bitte entschuldige die Schriebweise, ich habe nirgendwo eine Formel für Brüche gefunden)

Die Schreibweise wird entschuldigt, nicht aber die falsche Klammersetzung Augenzwinkern

:
i! / ( j! (i-j)! ) usw. müßte es heißen. (Brüche schreibst du in LATEX mit \frac{}{}, in die geschweiften Klammern kommen dann Zähler bzw. Nenner.)

Zitat:

Original von miranda
Bei deiner ersten Umformung: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=j}^k~a_{i,k}b_{k,j} \end{eqnarray*}$
setzt du k = j und lässt die Summe bis i laufen.

Nein. Ich setze nicht k=j (an der Summe oben muß es übrigens $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ heißen). Ich lasse nur Glieder aus der Summe weg, die sowieso 0 sind. Überlege einmal, welche $\begin{eqnarray*} a_{ik} \end{eqnarray*}$ und welche $\begin{eqnarray*} b_{kj} \end{eqnarray*}$ in der Summe 0 sein müssen. Beachte, daß $\begin{eqnarray*} i>j \end{eqnarray*}$ ist. Wenn du es nicht gleich siehst, hilft ein Beispiel: $\begin{eqnarray*} n=5, i=4, j=2 \end{eqnarray*}$ . Es geht also um die Berechnung von $\begin{eqnarray*} c_{42} \end{eqnarray*}$ . Beachte auch die Festlegung aus meinem ersten Beitrag, die Numerierung der Zeilen und Spalten mit 0 zu beginnen. Das widerspricht der üblichen Konvention, ist hier aber für die Darstellung der Summe bequemer.

Zitat:

Original von miranda
Die nächste Umformung verstehe ich gar nicht mehr. Ich habe allerdings etwas ähnliches in meinem Skript gefunden und daher eine Vermutung. Kann es sein, dass du den Entwicklungssatz von Laplace verwendet hast?

Ich habe nur die Definition von $\begin{eqnarray*} a_{ik} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{kj} \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Das war's. Mit Laplace hat das hier nichts zu tun.

Deine Rechnung zum Schluß stimmt. Um zu sehen, was mit der Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=j}^i (-1)^k {{i-j} \choose {i-k}} \end{eqnarray*}$

ist, empfiehlt es sich, diese einmal ohne Summenzeichen (mit Pünktchen) zu schreiben (wenn's zu kompliziert wird, nimm fürs erste wieder das Beispiel $\begin{eqnarray*} n=5, i=4, j=2 \end{eqnarray*}$ ). Du wirst dann erkennen, daß das nichts anderes ist als die alternierende Summe einer bestimmten Zeile des Pascalschen Dreiecks. Über solche Summen weiß man aber etwas ...

15.12.2007, 17:54

miranda

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Vielen Dank für deine Geduld!
So langsam kommt Licht ins Dunkel. Leider hab ich immer noch einige Schwierigkeiten.
Zu deinem ersten Tipp: Ich habe n = 5, i = 4, j = 2 gesetzt. Dann erhalte ich folgendes:
$\begin{eqnarray*} c_{4,2} = a_{4,0} b_{0,2} + a_{4,1} b_{1,2} + a_{4,2} b_{2,2} + a_{4,3} b_{3,2} + a_{4,4} b_{4,2} + a_{4,5} b_{5,2} \end{eqnarray*}$
Dass $\begin{eqnarray*} a_{4,0} b_{0,2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{4,1} b_{1,2} \end{eqnarray*}$ jeweils 0 ergibt, sehe ich ein. Damit verstehe ich auch, warum du k = j setzt, denn die Summe fängt ja hier dadurch erst bei 2 an. Allerdings müsste ich ja für $\begin{eqnarray*} [latex]a_{4,5} b_{5,2} \end{eqnarray*}$ [/latex] auch 0 erhalten, damit die Summe bis i geht. Ich habe es jetzt schon mehrfach versucht, aber ich bekomme dafür keine 0. Hab ich etwas übersehen?

Zur zweiten Umformung: Mir ist klar geworden, was du einsetzt, nämlich deine definierten $\begin{eqnarray*} a_{i,j} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{i,j} \end{eqnarray*}$ aus deinem ersten Beitrag. Wenn ich diese allerdings einsetze, erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=j}^i~\begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} (-1)^{i+j} \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
bzw. wenn ich k = j setze:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=j}^i~\begin{pmatrix} i \\ k \end{pmatrix} (-1)^{i+k} \begin{pmatrix} i \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Du setzt beim zweiten Binomialkoeffizient i = k und lässt j stehen. Das verstehe ich nicht.

15.12.2007, 19:57

Leopold

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Zum Zahlenbeispiel:
Erster Index kleiner als zweiter Index - Matrixelement ist 0. Das ist gerade das Kennzeichen für untere Dreiecksmatrizen. Also ist $\begin{eqnarray*} a_{45} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 + x - 2 \end{eqnarray*}$ definierst, dann ist doch $\begin{eqnarray*} f(tx) = (tx)^2 +tx - 2 \end{eqnarray*}$ . Du mußt eben überall in der Definition entsprechend substituieren. Das ist bei $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{ij} \end{eqnarray*}$ kein bißchen anders:

$\begin{eqnarray*} a_{ik} b_{kj} \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ wurde $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ substituiert, bei $\begin{eqnarray*} b_{ij} \end{eqnarray*}$ wurde $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ substituiert. Diese Substitution ist beim Aufstellen der Summe sofort (!!!) auszuführen, sonst wird es genauso falsch wie bei

$\begin{eqnarray*} f(tx) = x^2 + x - 2 = (tx)^2 +tx - 2 \ \ \ \text{AUTSCH!} \end{eqnarray*}$

16.12.2007, 14:47

miranda

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Vielen Dank für deine Mühe! Ich denke, ich hab jetzt alles verstanden!

16.12.2007, 19:59

zimt

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für den fall i=j hab ich 1 rausbekommen, muss es ja auch smile

nun muss ich ja noch den fall i>j betrachten
Kann man dann wie folgt vorgehen?

setze i=j+x
(x ist natürliche Zahl ohne null)

dann bekomme ich raus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=j}^{j+x}~\begin{pmatrix} j+x \\ j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Weil ich nicht 0 rausbekommen habe, bedeutet das doch, dass die Matrizen nicht invers zueinander sind, oder ist die Summe, die ich dahingeschreiben habe etwas doch 0 nur ich sehe es nicht Augenzwinkern

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