Cramersche Regel mit 4x4 Matrix

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Batista Auf diesen Beitrag antworten »
Cramersche Regel mit 4x4 Matrix
Kann mir jemand dabei lösen, ich weis nicht genau wie ich das lösen soll!

Ich soll die Lösung des LGS bestimmen mit der cramerschen Regel!

-2x1 +2x2 - x3 + x4 = -5
-8x1 +4x2 + 3x3 - x4 = 3
x1 +2x2 - x3 + 4x4 = -2
3x1 -3x2 + x3 - 2x4 = 5

Mit determinantenbrechnung könnte ich sie lösen aber man soll die ja mit der Cramerschen lösen und da habe ich keinen Plan, ich weis nur das man eine Zeile und eine Spalte streichen muss aber ich weis nicht wie!

Danke
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
hier ist ein Beispiel für ein 3x3-LGS: http://hschaefer.fto.de/hm1/node125.html...000000000000000

Hilft das?

Gruß, therisen
Batista Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

nein lieder hilft mir das nicht weiter ich weis ja schon wie ich eine 3x3 lösen muss, ich habe aber keine Ahnung davon wie die 4x4 geht.

Kann mir irgendjemand helfen bitte!! traurig
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Im wesentlichen brauchst du doch nur zwei Determinantenumformungsregeln:
1) Addition eines Vielfachen einer Zeile (bzw. Spalte) zu einer anderen Zeile (bzw. Spalte) ändern den Wert der Determinante nicht.
2) Laplacescher Entwicklungssatz nach einer Zeile (bzw. Spalte)
http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante

1) kannst du benutzen, um möglichst viele Nullen in einer Zeile bzw. Spalte zu erzeugen, damit dann in 2) im Idealfall nur eine (n-1)-Determinante verbleibt.
gargyl Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein hast du folgendes:



Dabei sei:

eine Quadratische Matrix.
ein "passender" Vektor.
der "Lösungsvektor".

Nach Kramer machst du nun folgendes.

1. Bestimme die Determinante von ()

(Wenn gleich Null ist bist du jetzt fertig. Weil es keine Lösungen gibt)

2. Ersetzt nacheinander die Spalten 1.. n der Matrix
durch den Lösungsvektor , und bestimme die Determinanten. (....)

3. Dividiere .... durch und du erhälst die Kompenenten von .

In deinem Fall ist:


Batista Auf diesen Beitrag antworten »

Danke,

jetzt habe ich es, danke das du es mir so ausführlich erklärt hast!
Gott
 
 
Bier17 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, dass ich hier Leichen wiedebelb aber ich hab noch ne Frage dazu.
Man kann die Cramersche Regel zur Lösung von LGS nur benutzen wenn die Matrix quadratisch ist oder? Oder kann man das ganze irgendwie abändern und allgemeiner verwenden?
Trazom Auf diesen Beitrag antworten »

ja nur bei quadratischen Matrizen, denn nur die haben auch Determinanten Big Laugh
Bier16,9 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab noch ne Frage:

Wieviele Elementaroperationen benötigt man um die Determinante mit Hilfe folgender Formel zu berechnen?:



Stimmt:

Multiplikationen: m!*m
Additionen: m!
Wie viele Elementaroperationen braucht man um einSignum auszurechnen?
Trazom Auf diesen Beitrag antworten »

AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Trazom

Von den zwei Bedeutungen der Signum-Funktion sgn hast du just die falsche genannt - besser gesagt, die hier nichtzutreffende: Hier geht es um das Signum von Permutationen (Wikipedia-Variante 2).
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie viele Elementaroperationen braucht man um einSignum auszurechnen?

kA, was du genau mit Elementaroperationen meinst, aber das Bestimmen von sgn(p) für eine Permutation p aus der S_m sollte in O(m) erledigt sein (O-Kalkül).

Z.B. so: wohin geht die 1? nach x.
Wohin geht x? nach y....

So nacheinander alle Zahlen durchgehen (wenn man ein Zykel voll hat mit der nächsten noch unbetrachteten Zahl) und bekommt so in m Schritten eine Schreibweise in disjunkten Zykeln.
Jetzt noch Zykellängen zählen.... und geeignet folgern.
Trazom Auf diesen Beitrag antworten »

dann hab ich wohl die Formel falsch verstanden. So abstrakt ist die mir auch noch nicht untergekommen. Was is S?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

S sollte kurz für S_m stehen, die symmetrische Gruppe; also die "Menge" (Gruppe) aller Permutationen von m Elementen
Trazom Auf diesen Beitrag antworten »

kenn ich mich nicht mit aus. Wir haben das sowieso entweder über den Laplace-Entwicklungssatz oder über Dreiecksmatrizen gemacht.
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