Ordnung einer Matrix

16.12.2007, 13:37

newsys

Ordnung einer Matrix

Hallo,

wie bestimme ich die Ordnung der Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Einträge der Elemente aus Z7 und $\begin{eqnarray*} a\neq{0} \end{eqnarray*}$ ?????

Mit Zahlen ist das ganze ja ziemlich einfach, aber mit den Einträgen a und b komme ich nicht so ganz zurecht...

Ich würde so anfangen:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & (ab)+b \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich nun so weiter machen würde, dann würde ja nie am Ende

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

heruaskommen

16.12.2007, 13:51

therisen

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Zum Beispiel gilt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & b \\ 0 & 1\end{pmatrix}^6=I_2 \pmod 7 \end{eqnarray*}$ .

16.12.2007, 13:53

newsys

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Sorry, den Ausdruck verstehe ich gerade nicht so ganz:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & b \\ 0 & 1\end{pmatrix}^6=I_2 \pmod 7 \end{eqnarray*}$ .

Warum hoch 6 und was bedeutet I? Und statt dem a hast du einfach mal die 3 genommen oder wie?

16.12.2007, 13:57

therisen

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$\begin{eqnarray*} I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (wer hätte das gedacht...)

Mit $\begin{eqnarray*} a=4 \end{eqnarray*}$ klappt es auch.

16.12.2007, 14:23

newsys

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Irgenewie kapier ich gerade nicht was du mir sagen willst...

Ok I2 ist die Einheitsmatrix aber wie bestimme ich denn allgemein eine Ordnung mit unbekannten?

16.12.2007, 17:07

therisen

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Hilfreich ist sicherlich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a&b\\0&1 \end{pmatrix}^6=\begin{pmatrix}a^6&b(a+1)(a^2+1-a)(a^2+1+a)\\0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sowie der kleine Fermatsche Satz. Für $\begin{eqnarray*} a\in\{2,3,4,5,6\} \end{eqnarray*}$ steht dort jeweils die Einheitsmatrix.

16.12.2007, 18:43

newsys

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Hmmm...irgendwie stehe ich heute total auf der Leitung.

Kleiner Fermatischer Satz: $\begin{eqnarray*} a^p \equiv a \ \pmod{p} \end{eqnarray*}$

Also kann ich die Ordnung nicht auf die gleiche Methode herausfinden oder wie?

Was ist denn der erste Schritt?

20.12.2007, 08:53

newsys

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Ist das so richtig? Also Ordnung = 6??????

Wegen $\begin{eqnarray*} n^{p-1} = 1~mod~p \end{eqnarray*}$ gilt hier $\begin{eqnarray*} a^6 = 1~mod~7 \end{eqnarray*}$

Dann müsste ich aber noch zeigen, das b 0 ist oder?! Wie mache ich das?

20.12.2007, 17:00

newsys

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a kann die Werte 1-6 annehmen und b die Werte 0-6.......

Es reicht übrigens einfach 6*7 zu rechnen....demnach ist die Ordnung 42.

21.12.2007, 15:44

therisen

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Zitat:

Original von newsys
Es reicht übrigens einfach 6*7 zu rechnen....demnach ist die Ordnung 42.

Nein, das sicher nicht. EDIT: Oder wovon soll 42 die Ordnung sein?

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