Wahrscheinlichkeit Lieder auf dem mp3-Player

18.12.2007, 18:04

lostgeek

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Wahrscheinlichkeit Lieder auf dem mp3-Player

Hi,

Ein Freund beschwerte sich mal über seinen mp3-Player: "Der hat in den letzten 10 Minuten dasselbe Lied doppelt gespielt!"
Mir stellte sich die Frage, wie wahrscheinlich sowas ist.

Wenn wir annehmen, dass auf dem Player 1000 Lieder sind und wir 3 Lieder rauspicken, wie wahrscheinlich ist es, dass es mindestens zwei Gleiche gibt?

Die Kombinationsmöglichkeiten sind ja 1.000^3 = 1.000.000.000 nur wie find ich raus, welche davon zwei gleiche Lieder haben?

Bin 10. Klasse auf nem Gymnasium, also bitte entweder relativ einfach erklären oder einfach paar Fachbegriffe an den Kopf schmeissen, sodass ich googlen kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruss,
lostgeek

18.12.2007, 18:51

aRo

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da ich leider gerade wenig Zeit habe, schmeiße ich Dir leider nur einen Fachbegriff an den Kopf Augenzwinkern

Augenzwinkern

Binomialverteilung

Wenn Du nicht zurecht kommst, frag bitte noch einmal nach!

Grüße,
aRo

18.12.2007, 23:18

lostgeek

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Hmm. Ich glaub ich habs verstanden.

$\begin{eqnarray*} P(n,k,p) = {n \choose k} * p^k *(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Also mit meinen Werten
n = 3
k = 2
p = 1/1000

$\begin{eqnarray*} {3 \choose 2} * \Bigl(\frac{1}{1000}\Bigr)^2 * \Bigl(1-\frac{1}{1000}\Bigr)^{3-2} = 0,000002997 \end{eqnarray*}$ laut Taschenrechner.

Soll das heissen, die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,0002997% ?

Also wenn ich die Formel richtig verstanden hab, heisst das: Alle Möglichkeiten * die Wahrscheinlichkeit der richtigen Möglichkeiten * die Wahrscheinlichkeit der falschen Möglichkeiten = Die Möglichkeiten mit genau k Richtigen und n-k Falschen.

Ergebnis scheint mir logisch zu sein (die Formel auch, dank der Grafik hier).
Nur noch die eine Frage:
Ist $\begin{eqnarray*} n \choose k \end{eqnarray*}$ nicht für "ohne Zurücklegen" (Urnenmodell)? In dem Fall hier hab ich doch das selbe Lied nochmal zur Auswahl...

Danke schonmal für die Beule am Kopf Big Laugh

Big Laugh

19.12.2007, 09:41

Philipp Imhof

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RE: Wahrscheinlichkeit Lieder auf dem mp3-Player
Dazu kommt mir ganz ein anderer "Fachbegriff" in den Sinn: Geburtstagsparadoxon.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein ganz bestimmter Titel zweimal dran kommt, ist relativ klein, aber diejenige, dass irgendein Titel noch einmal gespielt wird, ist deutlich grösser als man meint...

19.12.2007, 10:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von lostgeek
$\begin{eqnarray*} {3 \choose 2} * \Bigl(\frac{1}{1000}\Bigr)^2 * \Bigl(1-\frac{1}{1000}\Bigr)^{3-2} = 0,000002997 \end{eqnarray*}$ laut Taschenrechner.

Soll das heissen, die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,0002997% ?

Das ist die Wahrscheinlichkeit für "ein bestimmtes Lied kommt unter 3 Liedern genau zweimal vor". Du wolltest aber die Wahrscheinlichkeit "irgendein beliebiges Lied kommt unter 3 Liedern mindestens zweimal vor." Das ist was anderes.

Zitat:

Original von lostgeek
Nur noch die eine Frage:
Ist $\begin{eqnarray*} n \choose k \end{eqnarray*}$ nicht für "ohne Zurücklegen" (Urnenmodell)? In dem Fall hier hab ich doch das selbe Lied nochmal zur Auswahl...

Du hast im Prinzip 2 rote Kugeln (= ein bestimmtes Lied) und eine schwarze Kugel (= beliebiges anderes Lied) auf 3 Plätze zu verteilen. Und das sind eben 2 aus 3 Möglichkeiten.

19.12.2007, 11:26

lostgeek

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Hmm. Ists wirklich so einfach?

Wenn die Wahrscheinlichkeit bei einem bestimmten Lied x beträgt, ist die Wahrscheinlichkeit für 1000 mögliche Lieder dann nicht 1000x?
Ein Würfel fällt doch auch mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 auf eine 6. Und mit 2/6 auf eine 6 oder 5. Ist das hier nicht dasselbe?

Somit läge die Wahrscheinlichkeit bei 0,2997%.

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19.12.2007, 11:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von lostgeek
Wenn die Wahrscheinlichkeit bei einem bestimmten Lied x beträgt, ist die Wahrscheinlichkeit für 1000 mögliche Lieder dann nicht 1000x?

1000x ist die Wahrscheinlichkeit, daß von x vorhandenen Liedern eins aus einer Auswahlliste von 1000 Liedern gespielt wird.

Zitat:

Original von lostgeek
Ein Würfel fällt doch auch mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 auf eine 6. Und mit 2/6 auf eine 6 oder 5. Ist das hier nicht dasselbe?

Man muß aufpassen, daß Äpfel nicht mit Birnen verglichen werden. Um bei dem Würfelbild zu bleiben:
Um welches der Ereignisse geht es:
1. Bei dreimaligen Würfeln kommt mindestens zweimal die 6.
2. Bei dreimaligen Würfeln kommt genau zweimal die 6.
3. Bei dreimaligen Würfeln ist irgendeine Würfelzahl mindestens zweimal vorgekommen.

Zitat:

Original von lostgeek
Somit läge die Wahrscheinlichkeit bei 0,2997%.

Ich weiß nicht, was du da gerechnet hast.

19.12.2007, 12:14

lostgeek

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Es gehts ums dritte (zwei mal irgendeine Zahl).

Was ich da gerechnet hatte mit den 0,0002997% war für das zweite (zweimal die 6).

Die Wahrscheinlichkeit für zweimal die 6 ist ja (1/6)^2 also 1/36.
Nun will ich ja nicht nur den Fall (6;6) sondern auch (5;5), (4;4), (3;3), (2;2) und (1;1).
Also es gibt 6 Fälle für einen Pasch.
Dafür müsste ich ja dann die 1/36 * 6 rechnen, womit ich bei 1/36*6=1/6 ankomme.
Die

Gilt das nicht auch für meinen Fall?

19.12.2007, 12:23

lostgeek

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Oder nochmal klarer (und diesesmal angemeldet):
Ich habe 1000 Lieder und die Wahrscheinlichkeit genau 2 bestimmte Lieder auszuwählen ist 0,0002997%.

Ist dann die Wahrscheinlichkeit für 2 beliebige Lieder(aus 1000 möglichen Liedern) nicht 0,0002997% * 1000(Anzahl der Lieder)?

19.12.2007, 12:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von lostgeek
Gilt das nicht auch für meinen Fall?

Nein. Du würfelst ja dreimal. Da sieht die Welt schon ganz anders aus.

Zitat:

Original von lostgeek
Ist dann die Wahrscheinlichkeit für 2 beliebige Lieder(aus 1000 möglichen Liedern) nicht 0,0002997% * 1000(Anzahl der Lieder)?

Nein.

19.12.2007, 12:58

lostgeek

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Bist du dir da sicher?

Hab mal per Progrämmchen die Wahrscheinlichkeit für zwei Gleiche von dreien in 100 Liedern bestimmt. (1000 waren zuviel für den RAM ;-) )
Raus kamen 29700 von 1000000 Möglichkeiten = 0.0297 = 2,97%

Per Binomialverteilung: $\begin{eqnarray*} {3 \choose 2}\cdot(\frac{1}{100})^2\cdot(1-\frac{1}{100}) = 0,000297 \end{eqnarray*}$
Dies mal 100 (verschiedene Lieder) ergibt die obigen 0,0297.

19.12.2007, 13:05

Philipp Imhof

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Probier mal den Extremgedanken: Wie hoch ist die Chance, dass aus einer Liste von zwei Liedern in zwei Versuchen mindestens eines doppelt gespielt wird.

Gemäss deinem Vorgehen wäre das also 1/2 * 2 = 1 = Sicherheit, obschon es durchaus möglich ist, dass dieses Ereignis nicht eintritt.

19.12.2007, 13:16

klarsoweit

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Ich weiß ja nicht, was du programmiert hast. Die Rechnung, daß unter 3 gespielten Liedern, mindestens 2 gleiche sind, macht man so:

Ich betrachte das Gegenereignis, also unter 3 Liedern sind alle Lieder verschieden. Dafür ist die Wahrscheinlichkeit:

$\begin{eqnarray*} \overline p = \frac{99}{100} \cdot \frac{98}{100} = \frac{9702}{10000} \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} p = 1 - \frac{9702}{10000} = 0,0298 \neq 0,0297 \end{eqnarray*}$

Ähnlich ist es mit dem Geburtstagsparadoxon:
Du steigst in einen Bus ein. Mit dir befinden sich dann 50 Menschen in dem Bus. Ist es riskant darauf zu wetten, daß sich in dem Bus mindestens 2 Menschen befinden, die am gleichen Tag Geburtstag haben? (Schaltjahre soll es nicht geben.)

19.12.2007, 13:32

lostgeek

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Ich hatte im Programm den Fall von genau 2 Liedern betrachtet. Der Fall für 3 Lieder bringt die fehlenden 0,0001%

Hab grad bevor ich deinen Post gesehn hab dasselbe gerechnet für 1000 Lieder. Komme auf 0,002997.

$\begin{eqnarray*} 1-\Biggl(\biggl(1\cdot\frac{999}{1000}\cdot\frac{998}{1000}\biggr)+\biggl(\frac{1}{1000}\biggr)^3\cdot1000\Biggr)= 0,002997 \end{eqnarray*}$
Ich hoffe mal das stimmt jetzt. Diesesmal ist das (1/1000)^3*1000 richtig oder?
Ich werfe dreimal den 1000-seitigen Würfel. Und bekomme einen bestimmten Pasch (1;1;1). Nun will ich die Päsche für alle 1000 Seiten = (1/1000)^3*1000

Also 0,2997% für genau 2 Lieder bzw. 0,2998% für mindestens 2 Lieder?

19.12.2007, 13:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von lostgeek
$\begin{eqnarray*} \Biggl(\biggl(1\cdot\frac{999}{1000}\cdot\frac{998}{1000}\biggr)+\biggl(\frac{1}{1000}\biggr)^3\cdot1000\Biggr) \end{eqnarray*}$

Von welchem Ereignis soll das denn die Wahrscheinlichkeit sein? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \biggl(1\cdot\frac{999}{1000}\cdot\frac{998}{1000}\biggr) \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit, daß unter 3 gespielten Liedern alle verschieden sind. Also ist $\begin{eqnarray*} 1 - \biggl(1\cdot\frac{999}{1000}\cdot\frac{998}{1000}\biggr) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, daß unter 3 gespielten Liedern mindestens 2 gleiche dabei sind. Punkt. Aus. Ende.

19.12.2007, 13:44

lostgeek

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Das ist der Fall von genau zwei Gleichen.
Was wir da nicht wollen ist genau ein und genau drei Gleiche. Und die subtrahiere ich da aus der Gesamtwahrscheinlichkeit raus.

19.12.2007, 14:39

klarsoweit

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OK. Das habe ich verstanden. Allgemein gilt:

Die Wahrscheinlichkeit, daß unter n Liedern bei 3 gespielten Liedern ein bestimmtes Lied doppelt vorkommt, ist:

$\begin{eqnarray*} p_1 := \binom 3 2 \cdot \frac{1}{n^2} \cdot (1 - \frac 1 n) = 3 \cdot \frac{n-1}{n^3} \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit, daß unter n Liedern bei 3 gespielten Liedern alle Lieder verschieden sind, ist:

$\begin{eqnarray*} p_2 := \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n} \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit, daß unter n Liedern bei 3 gespielten Liedern dreimal das gleiche Lied gespielt wurde, ist:

$\begin{eqnarray*} p_3 := n \cdot \frac{1}{n^3} = \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Nun gilt:
$\begin{eqnarray*} 1 - (p_2 + p_3) = 1 - \frac{n^2-3n+3}{n^2} = \frac{3n-3}{n^2} = n \cdot p_1 \end{eqnarray*}$

Damit wäre deine Vermutung bestätigt. Allerdings würde ich es nicht wagen wollen, daß auf "unter 4 gespielten Liedern sind 2 gleiche" zu übertragen.

19.12.2007, 14:56

lostgeek

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Kann ich nachvollziehen. Cool. Danke dir und allen Anderen. smile

smile

Ich hoffe, ich kann das auch irgendwann mal selber. Aber hat ja noch Zeit Augenzwinkern

Augenzwinkern

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