Spiegelung, Geradengleichungbestimmung

21.12.2007, 16:25

Drapeau

Auf diesen Beitrag antworten »

Spiegelung, Geradengleichungbestimmung

Hallo,

habe folgende Aufgabe mal gerechnet, da ich sie vorstellen muss, aber ich weiß nicht ob das Gerechnete nun richtig ist, oder sich der Eine oder Andere Fehler eingeschlichen hat.

a) gegeben:

$\begin{eqnarray*} Q ( -2 | 1 | 1/2 ) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} R ( -6 | -1 | 1 ) \end{eqnarray*}$

gesucht: Geradengleichung g

Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1/2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist dies richtig oder ist da doch wieder etwas falsch? Big Laugh

Big Laugh

b) gegeben:

$\begin{eqnarray*} Q ( -2 | 1 | 1/2 ) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} F: 6x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 24 = 0 \end{eqnarray*}$

gesucht: Koordinaten des Bildpunktes Q

Ergebnis:

Um den Punkt $\begin{eqnarray*} Q ( -2 | 1 | -1/2 ) \end{eqnarray*}$ an Ebene F zu spiegeln, bestimmt man zunächst den Schnittpunkt M der Geraden $\begin{eqnarray*} h: \vec{x} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1/2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , die durch Q geht und senkrecht zu F steht.

Meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} ( -2 + 6t) + ( 1+4t) + (1/2 + 3t) = 24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t= 49/26 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h: \vec{x} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1/2 \end{pmatrix} + (49/26) * \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 121/13 \\ 111/13 \\ 80/13 \end{pmatrix} = Schnittpunkt M \end{eqnarray*}$

Nun zur Spiegelung, wo ich meine bestimmt etwas falsch gemacht zu haben:

$\begin{eqnarray*} \vec{MQ'} = - \vec{MQ} = \begin{pmatrix} 147/13 \\ 98/13 \\ 147/26 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ diesem Ergebnis habe ich dann den $\begin{eqnarray*} Schnittpunkt M \begin{pmatrix} 268/13 \\ 209/13 \\ 307/26 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Mein Ergebnis für die Koordinaten des Bildpunktes Q lautet nun:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 268/13 \\ 209/13 \\ 387/13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also ich glaube ich habe da einiges falsch gemacht, da ich zwischendurch mal den Faden verloren habe und daher jetzt auch nicht mehr weiß, woran ich nun bin. Big Laugh

Big Laugh

Ich wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mir sagen könntet, wo ich was falsch gemacht habe und verbessern könnte.

MfG

21.12.2007, 16:28

ushi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Spiegelung, Geradengleichungbestimmung

Zitat:

Original von Drapeau
$\begin{eqnarray*} Q ( -2 | 1 | 1/2 ) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} R ( -6 | -1 | 1 ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1/2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die y-komponente des richtungsvektors ist falsch. sonst Freude

Freude

21.12.2007, 16:51

Drapeau

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
erstmal vielen Dank fürs Feedback. Aber was genau ist mit y-Komponente gemeint? verwirrt

verwirrt

Des Weiteren wollte ich fragen, ob im Part Spiegelung denn keine Fehler sind Big Laugh

Big Laugh

MfG

21.12.2007, 17:00

ushi

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -\frac 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die 0 is falsch. bei dir is es die $\begin{eqnarray*} x_2-\text{komponente} \end{eqnarray*}$

bei der ebene is auch ein fehler. es heißt doch:

$\begin{eqnarray*} 6(-2+6t)+4(1+4t)+3(0,5+3t)=24 \end{eqnarray*}$

da bekommst auch angenehmere werte.

viel glück muss erstmal fort.

als kontrolle: $\begin{eqnarray*} M(1\mid 3\mid 2) \end{eqnarray*}$

21.12.2007, 17:34

Drapeau

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm glaub ich da wohl einiges falsch gemacht unglücklich

unglücklich

Und zwar hab ich für t irgendwie 135/122 raus, und auf M(1 | 2 | 3) komme ich auch irgendwie nicht..
Kann mir evtl. jemand helfen verwirrt

verwirrt

MfG

21.12.2007, 19:23

ushi

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} -12+36t+4+16t+1,5+9t=24 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -6,5+61t=24 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 61t=30,5 \end{eqnarray*}$

...mir is noch was aufgefallen. wenn du t ausgerechnet hast, kannst danach einfach das doppelte von t einsetzen (also 2t), dann müsstest du ja auch auf den bildpunkt kommen. da ja gelten müsste:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \vec {QM}=\vec {QQ'} \end{eqnarray*}$

Anzeige

22.12.2007, 10:18

Drapeau

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

super hab es jetzt so hinbekommen stimmt alles.

Jetzt muss ich die Gerade g an der Ebene F spiegeln und dadurch die Bildgerade g' ermitteln.

Dazu ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1/2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F: 6x_1+4x_2+3x_3-24=0 \end{eqnarray*}$

Nun hab mir gedacht, dass ich zunächst einen Punkt auf der Gerade g bestimmen sollte und diesen dann auch spiegeln muss:

Somit erhalte ich den $\begin{eqnarray*} Punkt Z \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dessen $\begin{eqnarray*} Spiegelpunkt Z' \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Wie müsste man jedoch weiterrechnen? Den durch Punkt M gespiegelten Punkt Q und dessen Spiegelpunkt Q' habe ich bereits ermittelt, weiß jedoch nicht, ob der hier von Nöten ist.

Angenommen er ist es wirklich, wie kommt man dann von den ganzen Punkten auf die Spiegelgerade g'?

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhin so klasse helfen wie bisher. Vielen Dank nochmals an alle Beteiligten Freude

Freude

MfG

EDIT:

Habe mal folgende Geradengleichung aufgestellt, weiß aber nicht ob sie richtig ist *g*:

$\begin{eqnarray*} g': \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7/2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 7/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe dazu den Punkt Q' als Stützvektor genommen, und dann Z' - Q gerechnet und diesen dann als Richtungsvektor genommen, stimmt das? verwirrt

verwirrt

22.12.2007, 12:27

ushi

Auf diesen Beitrag antworten »

das dürfte nicht ganz stimmen. geht einfacher. du hast

$\begin{eqnarray*} Q'\left( 4\mid 5\mid \frac 72\right) \end{eqnarray*}$

richtig bestimmt.

damit hast du schon den stützvektor für die gerade $\begin{eqnarray*} g' \end{eqnarray*}$ .

der richtungsvektor muss der selbe sein wie bei der geraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$

edit: ach nee hab mich vertan. bin davon ausgegangen, dass die gerade parallel zur ebene is.

edit2: wie hast du Z' bestimmt? is dir aufgefallen, dass Z auch in der ebene liegt? der "spiegelpunkt" Z'=Z. das is aber auch gut jetzt kannst du als richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec {ZQ'} \end{eqnarray*}$ nehmen. also stimmts. Freude

Freude

22.12.2007, 12:41

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

es geht allerdings auch etwas einfacher.
da g und F nicht parallel sind - sonst ist es noch simpler - bestimme deren schnittpunkt.
das ergibt $\begin{eqnarray*} S(2/3/0) \end{eqnarray*}$
und nun legst du die gerade durch $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q^\prime \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g^\prime: \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(das ist dieselbe gerade, wie du sie erstellt hast unglücklich

unglücklich

)

22.12.2007, 13:01

ushi

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das stimmt. Big Laugh

Big Laugh

allerdings würde ich gern wissen, ob er/sie zufällig drauf gekommen is oder...äh...anders.

denn immerhin steht da ein Z', welches so ja nicht stimmen kann.

22.12.2007, 13:32

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

@drapeau.
zunächst, wie bist du wirklich auf Z´ und g´gekommen verwirrt

verwirrt

und vor allem:
bitte eröffne bei deiner nächsten frage/ aufgabe einen neuen beitrag Gott

Gott

dein sauhaufen hier ist eh schon schlimm genug unglücklich

unglücklich

22.12.2007, 13:39

ushi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von riwe
und vor allem:
bitte eröffne bei deiner nächsten frage/ aufgabe einen neuen beitrag Gott

Gott

naja. die aufgabe geht ja aus der ersten hervor. smile

smile

22.12.2007, 14:00

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ushi

Zitat:

Original von riwe
und vor allem:
bitte eröffne bei deiner nächsten frage/ aufgabe einen neuen beitrag Gott

Gott

naja. die aufgabe geht ja aus der ersten hervor. smile

smile

naja, $\begin{eqnarray*} \text{quantität} \neq \text{qualität} \end{eqnarray*}$ geschockt

geschockt

23.12.2007, 10:02

Drapeau

Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

Zunächst, riwe, werde demnächst einen weiteren Thread eröffnen, danke!

Zu der Sache mit Z': Big Laugh

Big Laugh

Es ist ja gegebenen die folgende Geradengleichung g:

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1/2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , welche an folgender Ebene gespiegelt werden soll: $\begin{eqnarray*} F: 6x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 24 = 0 \end{eqnarray*}$

Dazu hab ich $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$ gesetzt und den Punkt $\begin{eqnarray*} Z \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erhalten. Diesen hab ich dann einfach gespiegelt. Und zwar hab ich als "Spiegelpunkt" den Punkt M genommen, welchen ich schon um den Punkt Q' zu berechnen, ausgerechnet hatte.

Nunja, dann hab ich um Z' zu berechnen:

Da hab ich M - Z gerechnet. Dem Ergebnis hab ich dann M wieder dazu addiert, weiß zwar nicht genau warum, habs aber mal getan. ^^

$\begin{eqnarray*} M \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} - Z \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + M \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = Z' \end{eqnarray*}$

Für g' hab ich Q als Stützvektor genommen, und dann als Richtungsvektor:

Z' - Q gerechnet.

Also so hab ich das dann berechnet, wird wahrscheinlich falsch sein, aber so hab ich es jedenfalls gemacht..

MfG und vielen Dank,
Drapeau

23.12.2007, 10:24

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, da kann ich nur gratulieren geschockt

geschockt

da hast du wirklich alles falsch gemacht, was man falsch machen kann.

du hast dir offensichtlich noch nicht klar gemacht, was spiegeln bedeutet verwirrt

verwirrt

ich habe dir dazu ein bilderl gemalt, das dir vielleicht dabei hilft.

mehr will ich zu deinem vorgehen nicht sagen, du bringst wie gesagt alles kunterbunt durcheinander, vektoren und punkte, geraden und deren spiegelbild
usw., usw......
wie du hoffentlich siehst, liegt z.b. Q NICHT auf der geraden geschockt

geschockt

die beiden geraden haben einen einzigen punkt gemeinsam, den schnittpunkt mit E!

schau dir das zeug einmal in ruhe an, dann sehen wir weiter unglücklich

unglücklich

23.12.2007, 10:29

ushi

Auf diesen Beitrag antworten »

das is sehr witzig. hast es dir sehr kompliziert gemacht.

halt dich an riwes vorschlag.

Zitat:

Original von riwe
Freude

Freude

es geht allerdings auch etwas einfacher.
da g und F nicht parallel sind - sonst ist es noch simpler - bestimme deren schnittpunkt.
das ergibt $\begin{eqnarray*} S(2/3/0) \end{eqnarray*}$
und nun legst du die gerade durch $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q^\prime \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g^\prime: \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.12.2007, 11:27

Drapeau

Auf diesen Beitrag antworten »

Moin moin,

also irgendwie bin ich leider sehr durcheinander. Obgleich ihr mir geholfen habt, habe ich leider Verständnisschwierigkeiten, was meines Erachtens durch meine verwirrenden Rechnungen bedingt ist.

Daher wäre ich euch sehr verbunden, wenn wir eventuell das Ganze von vorne berechnen könnten, da diese Aufgabe sehr wichtig ist; ich muss sie vortragen und dies entscheidet dann ob ich in Mathe bestehe. unglücklich

unglücklich

Des Weiteren wollte ich keinen zweiten Thread eröffnen, denn 2 Threads mit der selben Aufgabe, ist schon fast Spam. Spam

Spam

Um hier von vornerein niemanden zu verwirren, poste ich mal die Aufgabenstellung:

Die Gerade g geht duch die Punkte Q (-2 | 1 | 1/2), R (-6 | -1 | 1).
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes mit der Geraden g mit der Ebene F. Der Punkt Q wird an der Ebene F gespiegelt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes Q'. Die Gerade g wird an der Ebene F gespiegelt. Geben Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse eine Gleichung der Bildgeraden g' an.

Nunfort, gegeben sind folgendes:

$\begin{eqnarray*} E: 4x_1+6x_2+3x_3-24=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F: 6x_1+4x_2+3x_3-24=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P (1|3|2) \end{eqnarray*}$

Die Ebene F enthält h und P.

Punkte Q (-2 | 1 | 1/2), R (-6 | -1 | 1)

Das obige ist nun gegeben.

Daraus habe ich schon wenigstens, und hoffe auch richtig, die Gerade g bestimmt:

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1/2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Alles was danach kommt, hatte ich schon letztens versucht, nur kam da nichts gescheites dabei raus und ich wurde noch weiter verwirrt.
Daher wäre ich sehr froh, wenn mir jemand den Wegweiser spielen könnte, denn wie besagt, es geht hier mehr als nur eine Rechnung *huuu ^^*

Ich bedanke mich schon einmal im Vorraus.

MfG

25.12.2007, 12:00

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

deine geradengleichung ist korrekt Freude

Freude

a) bestimmung des schnittpunktes von g und F

$\begin{eqnarray*} 6(-2+4\lambda)+4(1+2\lambda)+3(0.5-0.5\lambda)-24=0\to \lambda=1\to S(2/3/0) \end{eqnarray*}$

b) bestimmung des an F gespiegelten punktes $\begin{eqnarray*} Q^\prime \end{eqnarray*}$

lotgerade $\begin{eqnarray*} l :\vec{x} =\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0.5 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}6 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zur bestimmung des lotpunktes $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ schneidest du nun l mit F,
das ergibt $\begin{eqnarray*} t=0.5\to L(1/3/2) \end{eqnarray*}$

und nun gilt

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OQ}^\prime=\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{QL}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1.5 \end{pmatrix}\to Q^\prime(4/5/3.5) \end{eqnarray*}$

damit kannst du die gespiegelte gerade aufstellen durch die 2 punkte $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q^\prime \end{eqnarray*}$

und das, was man immer zuerst machen sollte, habe ich dir auch schon geliefert: eine SKIZZE unglücklich

unglücklich

25.12.2007, 12:50

Drapeau

Auf diesen Beitrag antworten »

Werner,

vielen vielen Dank. Ich habe soweit alles was du aufgeschrieben hast verstanden, und demnach auch die Skizze nachvollziehen können, die mir bis dato nicht viel geholfen hatte.

Obgleich ich die Rechnung verstanden habe, weiß ich nicht ob ich nun die Bildgerade g' richtig bestimmt habe:

$\begin{eqnarray*} g': \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -7/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

MfG,
nochmals vielen Dank!

25.12.2007, 12:55

ushi

Auf diesen Beitrag antworten »

liest du eigentlich unsere beiträge? da steht mindestens drei mal, dass die stimmt. dein weg dahin war lediglich sehr witzig.

25.12.2007, 13:04

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

die gleichung steht übrigens bereits in meinem beitrag mit der skizze unglücklich

unglücklich

und nur ein tipp am rande:
du solltest diese gleichung noch etwas "kosmetisieren":

setze für $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \quad{ }t=-2s\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und du bekommst neben einer schöneren form

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

vielleicht auch NOCH MEHR lob deiner/deines lehrerin/lehrers.

edit: und ein bißerl mehr vertrauen in deine eigene leistung erwirbst du dir durch ÜBEN, üben, üben

viel erfolg

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »