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23.12.2007, 13:13

easyone

Gauß

Hallo

ich möchte zur Lösung der 3 Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ diese als Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreiben und dann mit Gauß lösen..in den Beispielen die ich zur Lösung mit dem Gaußverfahren gefunden hab ist es aber immer so das noch weitere Zahlen auf der rechten Seite stehen...ich verstehe nicht ganz ob das immer so ist und ich das bei meinen drei vektoren in der matrix auch so machen muss oder ob sich die Matrix auch so lösen lässt.

kann mir irgend jemand dabei helfen?

23.12.2007, 13:15

tigerbine

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RE: Gauß
3 Vektoren kann man nicht lösen. Man löst Lineare Gleichungssysteme Ax=b. Dazu fehlt dir die rechte Seite.

23.12.2007, 14:09

easyone

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RE: Gauß
aber wie soll ich dann hier die lineare unabhängigkeit zeigen bzw zeigen das es nicht linear unabhängig ist..das wird doch nomalerweise über das gaußverfahren gemacht??

23.12.2007, 14:12

tigerbine

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Herrje, vielleicht solltest Du auch gleich schreiben, was Du machen willst. Und nicht das Puzzle pro Antwort ergänzen. Wie ist denn die Lineare Unabhängigkeit definiert? Richtig, die Vektoren lassen sich nur trivial zum Nullvektor kombinieren. D.h. das homogene LGS

$\begin{eqnarray*} Ax = 0 \end{eqnarray*}$

besitzt nur die triviale Lösung

$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

Eine andere Möglichkeit ist zu untersuchen, ob die Matrix vollen Rang hat. D.h. ihre Determinate ist von 0 verschieden.

23.12.2007, 14:24

easyone

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okay das es nur die triviale lösung für die l.u. geben kann weiss ich aber wie zeige ich das mit dem gaußverfahren?

23.12.2007, 14:26

tigerbine

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In dem du das LGS Ax=0 löst. Das sagte ich doch schon.

23.12.2007, 14:34

easyone

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hmm..scheine irgendwie grade etwas auf dem schlauch zu stehen.kannst du mir vielleicht zeigen wie du das meinstk..komme grad nicht dahinter..danke

23.12.2007, 14:43

tigerbine

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Ja ich weiß jetzt nicht vor es hängt. unglücklich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun eben Gauss-Algo. Der ist hier sogar in einem Spaltenschritt fertig

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann Rückwärtssubstitution

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1 = 0 \end{eqnarray*}$

Damit gibt es nur die triviale Lösung und die Vektoren sind l.u. Auch mit Determinante (Regel von Sarrus) folgt:

$\begin{eqnarray*} \text{det}(A) = -20 \neq 0 \end{eqnarray*}$

23.12.2007, 14:59

manito

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ich glaube die Schulmathematik betrachtet das ganz einfach so:

die Vektoren sind l.u., wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} r_1\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix} + r_2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} +r_3\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \vec{o} ; r_1=r_2=r_3=0 \end{eqnarray*}$

Dieses LGS dann einfach mit Gauss lösen.

Statt r kann man natürlich x nehmen, Namen sind Schall und Rauch smile

Tigerbines Matrixbetrachtungen sind zwar dasselbe für einen Schüler aber meiner Meinung nach nicht brauchbar

23.12.2007, 15:01

20_Cent

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RE: Gauß

Zitat:

Original von easyone
[...]und dann mit Gauß lösen..

Außerdem ist easyone nach eigenen Angaben 22.

23.12.2007, 15:22

system-agent

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das heisst ja nicht dass man mit 22 kein schüler mehr sein könnte... smile

23.12.2007, 15:30

easyone

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danke für die hilfe..hab es jetzt verstanden, war wohl etwas blockiert.
naja schüler bin ich nicht mehr...studier maschinenbau Hammer

23.12.2007, 17:38

easyone

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hmm hätte da noch eine kleine frage..ich hab das selbe jetzt mit drei anderen vektoren gemacht $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hier bekomme ich jeweils für die letzten beiden zeilen eine nullzeile heraus..bedeutet das das die vektoren ebenfalls l.u sind?

23.12.2007, 18:23

tigerbine

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Nur für die letzten beiden? Zeig mal deine komplette Rechnung.

23.12.2007, 18:32

easyone

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ich habe die erste zeile mit -2 dann -3 und -4 multipliziert und dann diese matrix rausbekommen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & -5 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hier habe ich jetzt die zweite zeile mit -1 und schliesslich -5 multiplizerit sowie die letzte mit 2

dafür erhalte ich dann diese matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.12.2007, 18:36

tigerbine

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Ok, wir haben aber 3 Vektoren. Wenn die l.u. Wären dürfte es nur eine Nullzeile geben.

23.12.2007, 18:44

easyone

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ah okay danke Big Laugh

23.12.2007, 19:30

trivial

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HEY

wenn das Thema schon gepostet wird beteilige ich mich auch mal daran Augenzwinkern

Ich frage mich ob man bei einer 4x3 Matrix genauso eine Hauptdiagonale ziehen kann oder welche Elemente dabei zu Null zu machen wären?

23.12.2007, 20:05

trivial

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würde bei einer matrix mit 3 zeilen und 4 spalten nicht einach die erste ziffer der zweiten spalte 0 werden und dann noch die ersten beiden ziffern der letzten zeile? verwirrt

24.12.2007, 01:09

tigerbine

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@easyone: Keine Fachfragen per PN bitte. Danke. Augenzwinkern

Hier liegt eine 4x3 Matrix vor. Lesen wir es zeilenweise. Dann haben wir 4 Vektoren eines 3-dimensionalen Vektorraums. Diese sind mit Sicherheit linear abhängig. Also erhalten wir auf jedenfall eine Nullzeile. Für weitere Betrachtungen reicht es dann im Grunde sich nur die verbeliebenden drei ersten Vektoren anzuschauen, dann haben wir im Grunde wieder eine Quadratische Matrix. Dadurch dass nun noch eine Nullzeile entsteht, ist eine Variable, o.B.d.A $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ frei wählbar und wir erhalten nicht nur die triviale Lösung. Daher sind die Vektoren Linear anhängig.

@trivial:

Na genauso wird es nicht gehen, da die Matrix ja nicht quadratisch ist. Aber mit meinen obigen Ausführungen sollte klar sein, wohin die Sache läuft. Man unterteilt die Matrix in 2 Blöcke. Und erhält:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} R \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A\in \mathbb R^{m \times n},~R \in \mathbb R^{n \times n},~0 \in \mathbb R^{(m-n) \times n},~m \geq n \end{eqnarray*}$

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