Tangente an Kreis

23.12.2007, 18:10

mk-malte

Tangente an Kreis

hallo,
ich hätte mal ne frage zu ner aufgabe an der ich die tangentengleichung bestimmen soll. hab mal ne zeichnung davon angefertigt. ich suche t1 und t2 (die tangenten, die durch den punkt b gehen und den kreis berühren).

http://www.siteupload.de/o606381-06173d7fc41ac2cd4ece229728c5fda7-1589701mathe.jpg

kann mir einer helfen, ich weiß nicht wie ich da drauf kommen soll.

gruß und frohe weihnachten
martin

23.12.2007, 19:35

mk-malte

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hm, irgendwie klappt das mit dem bild nicht richtig, neuer versuch..

http://www.siteupload.de/o606381-25f1aa4227a19922c24221f3175e0fe8-1589701mathe.jpg

23.12.2007, 19:39

riwe

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da gibt es sehr viele möglichkeiten,
und mit der suche findest du einige hier unglücklich

1) polare
2) gerade mit kreis schneiden
3) vektoriell über das skalarprodukt
4) differenzieren
5) thaleskreis
...

welche bevorzugst du verwirrt

24.12.2007, 10:23

mk-malte

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das funktioniert alles nicht, weil ich nichts gegeben habe mit dem ich arbeiten kann, auf dem bild ist sichtbar was ich meine. der punkt ist außerhalb vom kreis und ich soll ne tangente an den kreis legen die durch diesen punkt geht. wenn ich schneide brauch ich ja ne gerade, hab ich aber nicht, wenn ich ableite ne steigung, hab ich aber auch nicht. habe einfach nur den punkt und den kreis.
ich häng das bild mal an, irgendwie verschwindet mein eingebundenes bild immer, keine ahnung was da los ist...

gesucht ist die gleichung für t1 und t2

24.12.2007, 10:42

ushi

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du könntest aus deiner kreisgleichung zwei funktionsgleichungen machen:

$\begin{eqnarray*} k: (x-3)^2+(y-2)^2=9 \end{eqnarray*}$

in:

$\begin{eqnarray*} y=2\pm \sqrt{9-(x-3)^2} \end{eqnarray*}$

die kannst du auch ableiten und eine tangente von einem punkt außerhalb draran legen.

24.12.2007, 11:21

mk-malte

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Zitat:

Original von ushi
du könntest aus deiner kreisgleichung zwei funktionsgleichungen machen:

$\begin{eqnarray*} k: (x-3)^2+(y-2)^2=9 \end{eqnarray*}$

in:

$\begin{eqnarray*} y=2\pm \sqrt{9-(x-3)^2} \end{eqnarray*}$

die kannst du auch ableiten und eine tangente von einem punkt außerhalb draran legen.

wenn ich die funktion ableite bekomme ich doch die steigung. das bringt mir doch aber nichts weil ich ja den berührpunkt nicht kenne. die tangente muss ja durch den punkt (8, -1.5) gehen. ich brauch also entweder den berührpunkt oder die steigung an dem berührpunkt um die tangentengleichung zu erstellen, habe ich aber beides nicht.

ich habe jetzt folgende möglichkeit gefunden:
man muss den satz des thales anwenden. einen kreis durch den mittelpunkt des alten kreises und des gegebenen punktes legen, Mittelpunkt und radius bestimmen und die Kreise dann schneiden. so kommt man auf die berührpunkte und kann dann die geradengleichungen für die tangenten aufstellen. anders geht es glaub ich nicht, oder hat jemand noch ne andere idee?
gruß martin

p.s. das sieht dann so aus

24.12.2007, 11:53

ushi

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es gibt viele möglichkeiten dieses problem zu lösen. für meinen ansatz kannst du mal hier rein gucken. (etwas runterscrollen) desweiteren wurde das im board schon einmal hier besprochen.

edit: deine variante ist sicher eine der elegantesten. Freude

24.12.2007, 11:58

riwe

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nur weil du nicht kannst oder willst, zu behaupten, das ginge alles nicht, finde ich ziemlich keck unglücklich

aber weil heute weihnacht ist:

1) gleichung der polaren:
darunter versteht man die verbindungsgerade der berührpunkte der beiden tangenten an K
von einem punkt $\begin{eqnarray*} P(p_x/p_y) \end{eqnarray*}$ - bei dir B -, dem POL, an K.

man erhält sie durch aufspalten der kreisgleichung

$\begin{eqnarray*} (x-m)(p_x-m)+(y-n)(y_p-n)=r² \end{eqnarray*}$

wenn du die (auch dir) bekannten werte einsetzt, bekommst du:

$\begin{eqnarray*} p: 5x - 3.5y=17 \end{eqnarray*}$

diese schneidest du nun mit dem kreis - siehe weiter unten - und bekommst die beiden berührpunkte unglücklich

2) schneide die allgemeine geradengleichung
$\begin{eqnarray*} g: y =mx +n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und beachte, dass g tangente ist.

g in K eingesetzt ergibt die quadratische gleichung in x:

$\begin{eqnarray*} x²(1+m²)+x(-6+2m(n-2))²+(n-2)²=0 \end{eqnarray*}$ mit der lösung

$\begin{eqnarray*} (1) x=\frac{3-m(n-2)}{1+m²}\pm D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D=0 \end{eqnarray*}$

weiters weißt du ja, dass der punkt B auf der geraden liegt, was
$\begin{eqnarray*} n=-1.5-8m \end{eqnarray*}$ liefert.
daher
$\begin{eqnarray*} D=0\to 16m²+35m+3.25=0 \end{eqnarray*}$

mit den steigungen der beiden tangenten $\begin{eqnarray*} m_1=-0.0972 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_2=-2.0903 \end{eqnarray*}$ , was in (1) eingesetzt ergibt

$\begin{eqnarray*} x_1=2.7098 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=5.7063 \end{eqnarray*}$

3) vektoriell

tangente und radius stehen aufeinander senkrecht, daher mit dem berührpunkt $\begin{eqnarray*} B(b_x/b_y) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b_x-3\\ b_y-2 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} b_x-8 \\ b_y+1.5 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

als 2. gleichung hast du den abstand $\begin{eqnarray*} \overline{BM} \end{eqnarray*}$ , also die kreisgleichung.
beide subtrahieren liefert - surprise, surprise

$\begin{eqnarray*} p: 5x -3.5y =17 \end{eqnarray*}$

4) (implizit) differenzieren

$\begin{eqnarray*} (x-3)²+(y-2)²=9\to (x-3)+(y-2)y^\prime=0 \end{eqnarray*}$

da dies die steigung der tangente ist, gilt

$\begin{eqnarray*} y^\prime_{K}=-\frac{b_x-3}{b_y-2}=\frac{b_y+1.5}{b_x-8}=m_T \end{eqnarray*}$

siehe dazu unter 3.)

in die kreisgleichung eingesetzt, erhält man wieder
$\begin{eqnarray*} p: 5x -3.5y =17 \end{eqnarray*}$ unglücklich

p geschnitten mit K ergibt

$\begin{eqnarray*} 1.49y²-3,44y-4.84=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1=-0.9859\quad{ }y_2=3.2947 \end{eqnarray*}$

und zu guter letzt
5) thaleskreis

wieder nutzt man die tatsache aus, dass tangente und radius senkrecht aufeinander stehen

$\begin{eqnarray*} T(\frac{3+8}{2}/\frac{2-1.5}{2})\to T(5.5/0.25) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r²=9.3125 \end{eqnarray*}$ .

den thaleskreis $\begin{eqnarray*} T: (x-5,5)²+(y-0.25)²=9.3125 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$
geschnitten, und siehe da, schon hat man die schnittgerade:

$\begin{eqnarray*} g: 5x - 3.5y = 17 \end{eqnarray*}$

wie es nun weitergeht......

und zum schluß ein bilderl dazu
und frohe weihnachten

und es geht halt doch unglücklich

24.12.2007, 13:14

mk-malte

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super, vielen dank für die tolle erklärung, jetzt hab ich auch verstanden wie das prinzip funktioniert, hatte sowas vorher noch nie, bin bis jetzt mit ableiten und einsetzen ganz gut hingekommen. von ner polaren oder so hab ich noch nie gehört.

@riwe: tut mir leid, war vielleicht ungeschickt formuliert. wenn ich sage geht nicht meinte ich das ich es probiert habe und es ging bei mir nicht. sollte keine allgemein gültige aussage werden, nimms mir nicht übel.

gruß martin

24.12.2007, 14:03

riwe

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das freut mich, wenn ich verwirrt

dir helfen konnte.
das bequemste - abgesehen von der polaren - ist für mich die vektorielle methode.

ja die polare wird meistens umgangen, ist ja auch (an dieser stelle) nur eine formel mehr.
diese methode hat halt den vorteil, die schnellste zu sein.
und mit derselben formel bekommst du die tangente, wenn statt des poles der berührpunkt gegeben ist,
also eventuell doch merkenswert. unglücklich

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