Bestimmung ganzrationaler Funktionen |
| 25.02.2004, 14:05 | claudel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Bestimmung ganzrationaler Funktionen
ich bin neu hier und hoffe, Ihr könnt mir helfen. Ich mach meine FH-Reife am BK und stecke in Mathe jetzt so richtig fest. Es geht um Differentiialrechnung,bislang hab ich das schon geschnallt, aber wie bestimme ich eine ganzrationale Funktion aus einer Textaufgabe heraus? Die Aufgabe lautet: Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion fünften Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat bei X=2 einen Wendepunkt. Im Ursprung liegt ein Sattelpunkt von Kf. Den Ansatz hab ich (hoffe, das stimmt so) f(X)= ax^5 + ax^3 + ax + a0 Die Ableitungen: f`(x) = 5ax^4 + 3ax^2 +a f``(x) = 20ax^3 + 6ax und dann weiß ich nicht mehr weiter... wäre superlieb, wenn sich jemand damit auskennen und es mir erklären könnte. Claudel :rolleyes: |
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| 25.02.2004, 14:27 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Bestimmung ganzrationaler Funktionen Was ist denn die Vorraussetzung, das ein Wendepunkt vorliegt Wenn du dir diese vor Augen setzt dann kommste schon mal weiter. achso nehme andere Koeffiziente muss ja nicht immer gleich sein. also ax^5 +bx^3 ... |
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| 25.02.2004, 14:53 | Daniel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
bedenke immer f(x)=0 -> nullstelle f`(x)=0 -> Extremstelle f``(x)=0 -> Wendepunkt kommst du drauf? Tipp: um diese GR funktion mit 5 unbekannten aufzulösen brauchst du auch 5 Bedingungen. |
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| 25.02.2004, 15:11 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
hmmm 5 Bedingungen ? ist doch ne ungerade Funktion...dann fallen glaube ich 2 raus oder? |
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| 25.02.2004, 15:21 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da die Funktion punktsymmetrisch ist, fallen die x mit geraden Exponenten raus - man braucht also wirklich nur noch 3 Bedingungen / Gleichungen. Gruß, Thomas |
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| 25.02.2004, 17:04 | Daniel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ok sry das auch in der schule mein problem "Aufgaben lesen und verstehen" :P also sry natürlich fallen 2 raus :> also 3 Bedingungen |
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| 25.02.2004, 19:42 | claudel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hm, komme aber trotzdem nicht weiter... 
bin schonmal so weit: f(0) = 0 f´(0) = 0 f´´(2) = 0 aber das ergibt keinen Sinn, *grummel* was mache ich denn falsch? Die Lösung muß lauten : -1/80x^5 + 1/6x^3 na toll, aber wie komme ich da hin? 
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| 25.02.2004, 19:56 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dein Funktionsansatz und damit auch die Ableitungen sind nicht korrekt, also das erst mal korrigieren ... |
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| 25.02.2004, 19:57 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Doch es ergibt Sinn. Du musst für f deine Funktionsgleichung nehmen und da dann 0 einsetzen. So kriegst du ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten. Das musst du dann lösen. Gruß vom Ben |
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| 25.02.2004, 20:00 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also, wir haben folgende Funktion samt Ableitungen (wegen Punktsymmetrie), natürlich müssen die Koeffizienten auch verschieden benannt werden! f(x)= ax^5 + bx^3 + cx f'(x) = 5ax^4 + 3bx^2 + c f''(x) = 20ax^3 + 6bx Jetzt verwerten wir mal die Bedingungen.
f''(2) = 0
f(0) = 0
Sattelpunkt = Wendepunkt mit waagrechter Tangente f''(0) = 0 f'(0) = 0 Somit haben wir sogar 4 Gleichungen, mit denen wir die Koeffizienten bestimmen können, das System ist sogar überbestimmt. Fangen wir an mit f''(2) = 0 | f''(x) = 20ax^3 + 6bx 0 = 20a*2^3 + 6b*2 0 = 160a + 12b (I) und machen weiter mit f(0) = 0 | f(x) = ax^5 + bx^3 + cx 0 = a*0^5 + b*0^3 + c*0 0 = 0 Wir erkennen, dass uns diese Bedingung nichts gebracht hat, aber glücklicherweise 
haben wir ja 4 Gleichungen mit denen wir uns auseinandersetzen können.Also fahren wir fort mit Gleichung Numero 3: f''(0) = 0 | f''(x) = 20ax^3 + 6bx 0 = 20a*0^3 + 6b*0 0 = 0 Schon wieder! Versuchen wir unser Glück mit der letzten Bedingung: f'(0) = 0 | f'(x) = 5ax^4 + 3bx^2 + c 0 = 5a*0^4 + 3b*0^2 + c c = 0 c fällt also auch raus. Somit hat unsere Gleichung die Form f(x) = ax^5 + bx^3 Haben wir etwas vergessen? Ist das die ganze Aufgabe? 
Ich werde darüber nachdenken.Edit: :P Majestätsplural :P |
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| 25.02.2004, 23:41 | Daniel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
wir wollen ja nicht überheblich werden, ne thomas :P :P @claud.: konntest du thomases :P antwort nachvollziehen? wenn nein sag mal wo du noch probleme hast 
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| 26.02.2004, 00:45 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das war ja nur meine Verwunderung über mich selbst :P Und: Die Aufgabe ist ja nicht gelöst - es fehlt irgendwie eine Gleichung. Weil 2 Gleichungen allgemeingültig sind. Gruß, Thomas |
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| 26.02.2004, 01:10 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Natürlich ist das 'überbestimmt', wenn du im Ansatz f(0)=0 schon mit reinpackst und das später dann erneut nochmals aufführst :-o ... |
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| 26.02.2004, 01:19 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Bleibt aber immer noch eine weitere Gleichung zu finden...
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| 26.02.2004, 12:03 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das zweite mal ist es f' sprich "f strich" sprich erste Ableitung
Ist vielleicht etwas undeutlich geschrieben, aber letzten Endes fehlt immer noch eine Gleichung...
Gruß, Thomas |
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| 26.02.2004, 13:37 | claudel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hab immer rumprobiert, aber mir fehlt noch eine Gleichung, soweit war ich dann schonmal, hm, also scheint diese Aufgabe nicht lösbar zu sein ? (Ich schieb´s jetzt mal auf die Aufgabe und führe es nicht auf mein math. Unverständnis zurück).
Bei allen anderen Aufgaben bin ich nämlich auf die richtige Lösung gekommen. Ihr habt mir echt sehr geholfen 
:] Danke!! Ich bin echt froh, das ich dieses Forum gefunden hab, naja, Glück gehabt....
Dann bin ich für die nächste Klausur gut gerüstet, denke ich... |
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| 26.02.2004, 17:03 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
http://matheboard.de/thread.php?postid=20559#post20559 Nein 'Thomas' das hab ich nicht gemeint, ich hatte SCHON f ohne Strich (0) =0 gemeint in Verbindung mit Ansatz [d=0] :-o Nun steh ICH aber auf'm Schlauch, wieso fehlt noch eine Gleichung ?? Drei unbekannte und drei Gleichungen muss doch passen :-o ... |
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| 26.02.2004, 17:32 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das habe ich geschrieben. Ich sehe keine 2 identischen Gleichungen. Weil 2 dieser Gleichungen allgemeingültig sind (0 = 0), bringen sie und rein gar nichts zum Ermitteln der Koeffizienten. Les dir mal meinen allerersten langen Post genau durch. Gruß, Thomas |
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| 26.02.2004, 18:11 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@Thomas wenn du im allgemeinen Ansatz das absolute Glied (d) weglässt, dann ist die Aussage f(0)=0 damit schon VERWERTET, kannst das also nicht als eine weitere Bedingung (was dann zu den VIER Bedingungen führt) nochmal verwerten. Ansonsten wenn du nirgends falsch gerechnet hast, (und nichts übersehen wurde) dann ist die Lösung eben eine Funktionsschar :-o 0 = 160a + 12b b =(-40/3)*a f(x) = a(x^5 -(40/3)x^3) (a beliebig aus R\{0}) ... |
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| 26.02.2004, 18:19 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hi, eigentlich habe ich das wegen der Punktsymmetrie weggelassen, aber stimmt, durch f(0) = 0 wird das ganze auch bestätigt. Man müsste nur verschiedene Kurven dieser Schar zeichnen und dann überprüfen, ob sie alle Bedingungen erfüllt: Sieht beides mal nach allen Bedinungen = erfüllt aus. Ist also wohl doch eine Kurvenschar, wenn die Aufgabenstellung komplett war. Gruß, Thomas |
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| 26.02.2004, 18:38 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Aber claudel hatte doch schon eine Lösung gepostet, wusste nur nicht, wie sie darauf kommen sollte. Und es fehlt DOCH eine Gleichung...
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| 26.02.2004, 18:55 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Bedingungen sind mit Sicherheit für all diese Dinger erfüllt, das brauchste NICHT nochmal extra prüfen. (Auch f'''(2) !=! 0 für alle a !=! 0) (Auch f'''(0) !=! 0 für alle a !=! 0) Das Einzige was eben noch sein könnte ist, dass was 'übersehen' wurde, ist aber eher unwahrscheinlich, oder die Aufgabe wurde unrichtig gepostet. Eine Funktionsschar ist ja auch keine schlechte Lösung, nur eben nicht alltäglich ... |
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| 26.02.2004, 22:53 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Mir ist schon klar, dass alle Bedinungen erfüllt sind
Aber hier hab ich nochmal die Plotter-Funktion ausgenutzt und alles veranschaulicht
Gruß, Thomas |
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