unendlich kleine Zahlen |
| 25.02.2004, 14:34 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| unendlich kleine Zahlen Ich hab schon einiges von hyperreellen Zahlen gehört, für die man den in einem Beitrag der "höheren Mathematik" erwähnten freien Ultrafilter braucht. Diese Konstruktion ist schon ziemlich heftig. Es gibt aber einen viel leichteren Weg, einen Körper zu bekommen, in dem unendlich kleine Zahlen rumschwirren. Wir betrachten die Menge aller Brüche von Polynomen, deren Koeffizienten reelle Zahlen sind. Also z.B. (X^2+2*X+1)/(X+17,4). Diese Menge schreibt man als R(X). In dieser Menge R(X) enthalten sind auch alle konstanten Polynome r, wobei r eine reelle Zahl ist. Dieses Polynom entspricht in allen Eigenschaften der reellen Zahl r, also kann man R als Teilmenge von R(X) auffassen. Bis hier haben wir erstmal nur eine Obermenge von R, in der alle Rechenregeln von R gelten: Ich kann addieren, subtrahieren, multiplizieren und durch alles außer 0 dividieren. Noch ist nicht die Rede von "groß" und "klein", aber das kommt jetzt. Jedes Element von R(X) ist ein Bruch der Form f/g, und die Polynome f und g haben nur endlich viele Nullstellen, nämlich höchstens soviele wie ihr Grad angibt (mit Ausnahme von f=0), das heißt, f/g hat nur endlich viele Nullstellen und nur endlich viele Polstellen. Daraus folgt: Wenn ich x groß genug mache, wird f(x)/g(x) für noch größere x niemals mehr das Vorzeichen wechseln, also entweder immer positiv oder immer negativ sein. Falls nun das Element f/g für große Werte von x positiv ist, dann schreiben wir, f/g > 0 und nennen f/g positiv. Andernfalls ist f/g < 0. Der Fall, dass f/g für große Werte von x gleich 0 ist und bleibt, tritt nur auf, wenn f = 0 ist, wenn also f/g=0 ist. So können wir nun die Elemente vergleichen: a > b, wenn a - b > 0. Auf diese Weise werden die Elemente von R(X) angeordnet, und erfüllen die von R bekannten Vorzeichenregeln für die Addition und Multiplikation. Und jetzt kommts: 1/X ist größer als 0, aber kleiner als jede positive reelle Zahl. Entsprechend ist X größer als jede reelle Zahl. Auf diese Weise haben wir unendlich große und unendlich kleine Werte erzeugt. Der einzige Nachteil, den diese Struktur hat, ist dass sie (vermutlich, habs noch nicht geprüft) nicht vollständig ist. Aber zum Kennenlernen dieses Konzeptes von "unendlich klein" ist sie nicht schlecht. Gruss, SirJective |
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| 25.02.2004, 18:58 | Steve_FL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich hab nicht alles wirklich verstanden, aber gehört das nicht in die höhere Mathematik? mfg |
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| 25.02.2004, 19:23 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hab mir mal gerade die Axiome für die Ordnung von R angeguckt und das haut tatsächlich hin. Und ist auch konform mit der Ordnung von R. Ziemlich interessant. Aber man sollte natürlich nicht vergessen, dass die Brüche f/g nicht aus R sind und das > auch nicht exakt das gleiche ist, wie das was man kennt. Dann haut einen die Aussage nicht so um 
Gruß vom Ben PS: Vermute auch, dass dieser Körper (ist es ein Körper?? Gibt´s Inverse??) nicht vollständig ist. |
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| 25.02.2004, 20:35 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ist definitiv "höhere Mathematik", aber es ist nicht Thema z.B. einer Analysis-Vorlesung, also kein Stoff, den ein durchschnittlicher Mathestudent (geschweige denn ein Schüler) kennen müsste. Ich find es aber interessant, die eine oder andere Struktur zu untersuchen, die nicht Standardstoff ist, ganz einfach, weil diese manchmal interessanter :-) Steve: Wenn du Interesse hast, mehr davon zu verstehen, dann frag ruhig. Ben Sisko: Ja, es handelt sich um einen Körper, das Inverse von f/g ist einfach g/f - natürlich nur, wenn f nicht 0 war. Und ja, es handelt sich bei 1/X und X ausdrücklich nicht um reelle Zahlen - es gibt immer noch keine "unendlich kleine reelle Zahl" und die wird es auch nicht geben. Es handelt sich jedoch um eine echte Erweiterung der reellen Zahlen, da auch die angegebene Ordnung auf R eingeschränkt die natürliche Anordnung der reellen Zahlen liefert. Mit dem Begriff der Vollständigkeit haben wir hier ein Problem: Wir haben keine Metrik. Das einzige was wir tun könnten, ist zu schauen, ob diese geordnete Menge "Dedekind-vollständig" ist, d.h. ob jede Menge der Form {x in R(X) | x < x_0 } ein Supremum hat. R ist Dedekind-vollständig, aber Q ist es nicht, wie das Beispiel {x in Q | x < sqrt(2) } zeigt. Leider ist dies ein Vollständigkeitsbegriff, den ich noch kaum kenne. Nun aber mal eine Frage zum Verständnis, Ben: Ein Element von R(X) heißt "infinitesimal" (unendlich klein), wenn es näher bei 0 liegt als jede reelle Zahl ungleich 0. 1/X ist so eine, aber (-X+1)/(X^2-100) ist auch eine, 1/1000 ist nicht infinitesimal. Ein Element f/g von R(X) heißt "beschränkt", wenn es eine reelle Zahl gibt, die kleiner ist als f/g, und eine reelle Zahl gibt, die größer ist als f/g. Jede reelle Zahl ist beschränkt, und (X+1)/X ist beschränkt, aber X ist nicht beschänkt. Wenn nun f/g infinitesimal ist, ist dann X*(f/g) beschänkt? Oder kann es sein, dass es nicht immer beschänkt ist? (Für f/g=0 ist es sicherlich beschränkt.) Wie sieht das mit X^2*(f/g) aus? Gruss, SirJective |
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| 25.02.2004, 20:37 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenns schon Höhere Mathematik ist, dann auch hin damit
Verschoben nach Höhere Mathematik |
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| 25.02.2004, 20:46 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ups...
Das meinte ich. Was du Dedekind-vollständig nennst, ist die Vollständigkeit, die ich kenne. Kann man die noch anders definieren. Hab gerade nochmal nachgeschaut: Dieser Körper (hat der nen Namen?) kann nicht vollständig sein, man kann zeigen, dass R bis auf Isomorphie der einzige vollständige, angeordnete Körper ist. Und dass er nicht zu R isomorph ist, ist klar, oder? Der Rest ist mir momentan zu hoch, muss erstmal was essen, sonst ist das zuviel Denkarbeit. Vielleicht später noch. Gruß vom Ben Edit: Ich behaupte jetzt einfach mal, dass man für x*(f/g) keine allgemeingültige Aussage machen kann, ob beschränkt oder nicht. Hab das nicht bewiesen, aber ich denke, dass es verschiedene "Ordnungen" von infinitesimal und unbeschränkt gibt. Ich stelle mir das in etwa so vor wie bei einer Folge, die ja verschieden schnell gegen nen Grenzwert konvergieren kann. Bliebe noch ein Beispiel zu finden, wo x*(f/g) unbeschränkt ist. |
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| 26.02.2004, 18:05 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab mich leider mit dem Begriff "Dedekind-vollständig" vertan. Es gilt: Eine (total) geordnete Menge ist Dedekind-vollständig, wenn jede nach oben beschränkte Menge ein Supremum hat. Die exakte Definition lautet: Eine geordnete Menge M heißt Dedekind-vollständig, wenn für jede disjunkte Zerlegung von M in L und R (d.h. L geschnitten R ist leer und L vereinigt R ist M), wobei L und R beide nicht leer sind, so dass jedes Element von L kleiner ist als jedes Element von R, gilt: Es existiert ein Element s, das kleinergleich jedem Element von R und größergleich jedem Element von L ist. R ist Dedekind-vollständig, und wie du schon sagtest, ist jeder Dedekind-vollständige Körper isomorph zu R. Unser Körper R(X), der "Körper der rationalen Funktionen über R", kann also nicht Dedekind-vollständig sein. Und in der Tat ist die Teilmenge aller infinitesimalen Elemente nach oben beschränkt, hat aber kein Supremum. (Warum?) Es gibt wirklich verschiedene "Größenordnungen", sowohl bei infinitesimal als auch bei unbeschränkt. Das sieht man z.B. bei X und 2X, die unbeschränkt weit auseinander liegen. Und deine Vorstellung von dem verschieden schnellen "Streben gegen einen Grenzwert" trifft ziemlich genau den Unterschied zwischen dem (reellen) Grenzwert eines beschränkten Elements f/g und dem Element selbst, wie z.B. 1 < (X+1)/X ist, aber ihre Grenzwerte für x->unendlich beide 1 sind. Ein Beispiel, wo X^2 * (f/g) unbeschränkt ist, liefert f/g = 1/X. Damit nun X*(f/g) unbesckränkt wird, müsste f/g "langsamer fallen" als 1/X. Mein erster Gedanke war sqrt(1/X), aber das ist ja keine rationale Funktion... Gruss, SirJective |
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| 26.02.2004, 19:09 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieviel dimensional ist denn dieser 'Funktionenkörper' ?? |
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| 26.02.2004, 19:14 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein Körper an sich hat keine Dimension, nur ein Vektorraum (komplexe zahlen kann man etwa als zweidimensionalen VR über R auffassen). |
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| 26.02.2004, 21:07 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich finde nicht das man hier in einer besseren Situation, was das finden unendlich kleiner Zahlen anbetrifft ist als in R. Schliesslich ist 1/x^2 < 1/x. Analog ist 1/x^(2n) < 1/x^n. Das ist ganz analog zur feststellung das eps/2 / eps. Natürlich sind alle diese Zahlen "kleiner" als die reellen Zahlen, aber in sich gesehen haben wir nix gekonnt. Als Vektorraum (über R) betrachtet ist diese Struktur im übrigen abzählbar oo-dimensional und lässt sich ganz natürlich in den Funktionenkörper der meromorphen Funktionen f:C->C einbetten. (Man beachte das es viel einfacher ist Funktionenvektorräume zu konstruieren als Funktionenkörper!) |
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| 26.02.2004, 21:37 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
.. und R als eindimensionalen über sich selbst. Ich hab mich etwas ungeschickt ausgedrückt, hätte sollen so heißen Wieviel dimensional wäre denn dieser 'FunktionenkörperRaum', wenn er als ein Vektorraum über R aufgefasst werden könnte, oder kommt man damit nicht hin ?? ... ach das hat sich ja schon erledigt *g* @epikur was ist den das eps/2 / eps ?? |
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| 26.02.2004, 22:12 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na epsilon und epsilon halbe. Mit epsilon bezeichnet man in der Regel reelle Zahlen grösser als Null die interessant werden wenn sie klein sind. Sei epsilon > 0 gegeben ... etc. |
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| 26.02.2004, 23:05 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
.. ach soo, ich vermutete weiß der Teufel was verrückt Irres dahinter, man lernt ja nie aus *g* aber nu isses klar ... |
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| 27.02.2004, 15:31 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sind wir nicht "in einer besseren Situation, was das finden unendlich kleiner Zahlen anbetrifft", wenn wir hier solche haben, und in R nicht? Du hast recht damit, dass es zu jeder vorgegebenen positiven reellen Zahl eine gibt, die positiv aber kleiner ist. Genau deshalb sind diese Zahlen nicht infinitesimal! Im Gegensatz zu 1/X und 1/X^n. Infinitesimal heißt eben "positiv, aber kleiner als jede positive reelle Zahl". Wie willst du einen analogen Begriff innerhalb der reellen Zahlen definieren? (Ganz ungestellt bleibt bisher die Frage, warum man diesen Begriff überhaupt definieren will...) Ja, R(X) ist auf natürliche Weise ein Teilkörper der meromorphen Funktionen. Mein Interesse gilt aber hier den angeordneten Körpern. Daher würde ich den Körper R(X) eher in die hyperreellen Zahlen einbetten: Sei omega die hyperreelle Zahl (1,2,3,...), dann ist die Abbildung f/g -> f(omega)/g(omega) eine Einbettung von R(X) in die hyperreellen Zahlen, d.h. ein ordnungserhaltender Körper-Homomorphismus. |
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| 29.02.2004, 02:05 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber innerhalb deines R(x) hast du auch keine unendlich kleinen Zahlen, denn zu einer gegebenen zahl aus R(x) kannst du wieder eine kleinere finden. Von daher ist die leisung doch wieder nicht sooo bahnbrechend. |
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| 29.02.2004, 03:51 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich das richtig verstanden hab, vergleicht er die dabei mit den Zahlen des reellen Teilraums :-oo ... |
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| 29.02.2004, 18:44 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ben: Ja, innerhalb von R(X) finde ich zu jedem positiven Element von R(X) ein Element von R(X), das positiv und kleiner ist. Aber es gibt positive Elemente in R(X), zu denen ich kein REELLES Element finde, das positiv und kleiner ist. Und genau dann heißt das positive Element infinitesimal. Poff: Du hast mich richtig verstanden. Eine Eigenschaft, die diese Elemente f/g haben, die ich "positiv und infinitesimal" nenne, ist folgende: Es gibt keine natürliche Zahl n, so dass n*(f/g) > 1 ist. In den reellen Zahlen gibt es kein Element mit dieser Eigenschaft, denn das archimedische Axiom der reellen Zahlen besagt: Wenn r > 0 und R > 0 zwei reelle Zahlen sind, dann gibt es eine natürliche Zahl n, so dass n*r > R ist. Gruss, SirJective |
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| 03.03.2004, 01:53 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das hatte ich schon verstanden. Fand nur, wenn ich es nochmal genau druchgedacht habe, die se Aussage, dass du infinitesimal kleine Elemente konstruiert hast, nicht mehr so bahnbrechend.
Denn ich würde es eben als Elemente dieses Körpers bezeichnen und nicht als Zahlen, deswegen beeindruckt es nicht mehr so, wie auf den ersten Blick... Hoffe du hast mich verstanden. Gruß vom Ben |
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| 03.03.2004, 14:30 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Wozu sind diese infinitesimalen Zahlen eigentlich gut? Ja, ich habe dich verstanden. Rein als Elemente eines geordneten Körpers sind die infinitesimalen Elemente wirklich nichts besonderes, ebensowenig wie die unbeschränkten Elemente. Das Besondere ist, was man mit ihnen machen kann. Leider kann man in R(X) nicht allzuviel mit ihnen machen, sondern erst mit dem richtig großen Körper der hyperreellen Zahlen. Den zu konstruieren ist allerdings "etwas" schwieriger. Eine englische Einführung ist z.B. hier. Standardteil In den hyperreellen Zahlen kann man - wie in R(X) - jedem beschränkten Element x eine reelle Zahl r zuordnen, die infinitesimal nah dran liegt. Diese nennt man ihren "Standardteil", st(x) = r. Die Abbildung st ist vertauschbar mit der Addition und der Multiplikation beschränkter Elemente. Infinitesimale Elemente haben den Standardteil 0. Mit Hilfe dieses Standardteils kann man nun z.B. die Ableitung einer differenzierbaren Funktion definieren: Ableitung , wobei dr eine beliebige infinitesimale Zahl ist. Natürlich muss man erstmal definieren, welchen hyperreellen Wert f an der Stelle r+dr haben soll, da f ja nur auf den reellen Zahlen definiert ist. Diese Definition ist sinnvoll möglich - Details vllt. später. Die Bedingung der Differenzierbarkeit ist gleichwertig mit der Forderung, dass (f(r) - f(r+dr))/dr beschränkt ist für jedes infinitesimale dr und alle Ergebnisse denselben Standardteil haben. Ableitungsregeln Nun kann man sofort die Summen- und Konstantenregel beweisen. Genauso leicht kann man aber auch die Produktregel beweisen: Es sei dr eine beliebige infinitesimale Zahl und df(r) definiert durch f(r + dr) = f(r) + df(r). Dann ist da als Produkt einer beschränkten mit einer infinitesimalen Zahl selbst infinitesimal ist. Fazit Man kann in den hyperreellen Zahlen, und allgemein in der Nichtstandard-Analysis, viele Eigenschaften der reellen Zahlen und reellen Funktionen leichter beweisen als in der Standard-Analysis. Z.B. kann man komplett auf den Grenzwertbegriff verzichten - in der Definition der Ableitung oben kommt kein Grenzwert vor. Will man jedoch praktisch damit rechnen, dann läuft z.B. die Bestimmung von st(f(r+dr)) auf die Bestimmung eines Grenzwertes hinaus. Diese nichtarchimedischen Körper haben also vor allem theoretische Bedeutung. Übrigens haben Leibniz und Newton noch ganz naiv mit "Fluxionen" gerechnet, die exakt das sind, was wir heute infinitesimale Zahlen nennen. Erst durch Weierstraß und Cauchy wurden sie aus der Standardmathematik verbannt und durch die epsilon-delta-Definition des Grenzwertes ersetzt. Gruss, SirJective |
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| 03.03.2004, 17:14 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, der Grenzwert steckt irgendwie in den hyperreellen Zahlen schon drin, wenn ich das richtig verstanden habe, oder? Ansonsten ganz interessant, wenn sowas auch nicht unbedingt zu meinen Lieblingsgebieten zählt. Gruß vom Ben |
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| 03.03.2004, 22:50 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, irgendwie schon. Beim Rechnen mit hyperreellen Zahlen selbst treten noch keine Grenzwertbetrachtungen auf. Die kommen erst, wenn man zum Standardteil übergeht. Da man aber in der Praxis meist an dem interessiert ist, kommt man nicht um die Grenzwertbildung herum. Was gehört denn beispielsweise zu deinen Lieblingsgebieten? Gruss, SirJective |
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| 04.03.2004, 09:46 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Prinzipiell keine reine Mathematik... 
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| 01.02.2006, 00:06 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich würde mir mal den Wikipedia-Artikel zu den surrealen Zahlen durchlesen. Die Dinger sind nämlich viel krasser als hyperreelle Zahlen. Von denen gibt es sogar so viele, dass sie eine echte Klasse und keine Menge bilden. Da wird mir ganz schwummrig im Kopp. 
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