Gemeinsame Dichtefunktion (Stochastic Frontier Analysis SFA)

25.04.2005, 19:25

andre.christ

Gemeinsame Dichtefunktion (Stochastic Frontier Analysis SFA)

Hallo Matheboard,

ich habe ein Problem bei einer Herleitung einer Randdichte aus einer gemeinsamen Dichtefunktion. Ausgangspunkt ist die gemeinsame Dichtefunktion

$\begin{eqnarray*} f(u,\epsilon) \end{eqnarray*}$

die sich aus den folgenden Dichten der Zufallsvariablen u (u >= 0) und v ergibt:

$\begin{eqnarray*} f_u(u) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}\sigma_u}*exp(-\frac{u^2}{2\sigma_u^2}) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f_v(v) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_v}*exp(-\frac{v^2}{2\sigma_v^2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \epsilon = v + u \end{eqnarray*}$

ergibt sich (unter Annahme der stochastischen Unabhängigkeit von u und v folgende gemeinsame Dichtefunktion:

$\begin{eqnarray*} f(u,\epsilon) = \frac{2}{2\pi\sigma_u\sigma_v}*exp(-\frac{u^2}{2\sigma_u^2}-\frac{(\epsilon - u)^2}{2\sigma_v^2}) \end{eqnarray*}$

Die Randdichte von epsilon ergibt sich als

$\begin{eqnarray*} f(\epsilon) = \int_{0}^{\infty}f(u,\epsilon)du \end{eqnarray*}$ .

Dieses Integral kann unter den folgenden Reparametrisierungen umgeformt werden:

$\begin{eqnarray*} \sigma = \sqrt{\sigma_u^2 + \sigma_u^2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{\sigma_u}{\sigma_v} \end{eqnarray*}$

sowie der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

$\begin{eqnarray*} \Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{t^2}{2})dt \end{eqnarray*}$

zu:

$\begin{eqnarray*} f(\epsilon) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}\sigma}*[1 - \Phi(\frac{-\epsilon \lambda}{\sigma})]*exp(-\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}) \end{eqnarray*}$

Die Umformung zu dem letzten Integral bekomme ich partout nicht hin. Ziel ist es für mich, sämtliche Schritte der Reparametrisierung zu verstehen.

Wer kann mir hier einen Tip geben, wie ich mit meinem Problem weiterkomme.

Vielen Dank schonmal,
Andre

PS.: Das Problem in Originalform in: "Stochastic Frontier Analysis" in Lovell / Kumbhakar auf Seite 140

25.04.2005, 19:55

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RE: Gemeinsame Dichtefunktion (Stochastic Frontier Analysis SFA)

Zitat:

Original von andre.christ
Die Randdichte von epsilon ergibt sich als

$\begin{eqnarray*} f(\epsilon) = \int_{0}^{\infty}f(u,\epsilon)du \end{eqnarray*}$

Das ist schon erstmal falsch: u kann alle reellen Werte annehmen, also musst du auch entsprechend integrieren:

$\begin{eqnarray*} f(\epsilon) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}~f(u,\epsilon)~\mathrm{d}u \end{eqnarray*}$

25.04.2005, 21:07

andre.christ

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RE: Gemeinsame Dichtefunktion (Stochastic Frontier Analysis SFA)
Bitte nochmal genau nachlesen:

"... die sich aus den folgenden Dichten der Zufallsvariablen u (u >= 0) und v ergibt:"

Es muss also nur von 0 bis Unendlich integriert werden. Definitiv liegt auch hier nicht das Problem, sondern in der Reparametrisierung.

25.04.2005, 21:10

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RE: Gemeinsame Dichtefunktion (Stochastic Frontier Analysis SFA)
Ups, richtig - bin so an Normalverteilung gewöhnt, aber du betrachtest ja Betrag der Normalverteilung. Hammer

EDIT:

Du musst beim Exponenten im Integranden eine quadratische Ergänzung durchführen:

$\begin{eqnarray*} \frac{u^2}{\sigma_u^2}+\frac{(\epsilon-u)^2}{\sigma_v^2}=\frac{1}{\sigma_u^2\sigma_v^2}\left[\sigma_v^2u^2+\sigma_u^2(\epsilon-u)^2\right]=\frac{1}{\sigma_u^2\sigma_v^2}\left[(\sigma_u^2+\sigma_v^2)u^2-2\sigma_u^2\epsilon u+\sigma_u^2\epsilon^2\right]=\frac{\sigma^2}{\sigma_u^2\sigma_v^2}\left[u^2-2\frac{\sigma_u^2}{\sigma^2}\epsilon u+\frac{\sigma_u^2}{\sigma^2}\epsilon^2\right] \end{eqnarray*}$

Die Substitution $\begin{eqnarray*} t=\frac{\sigma}{\sigma_u\sigma_v}\left(u-\frac{\sigma_u^2}{\sigma^2}\epsilon\right) \end{eqnarray*}$ sollte dann beim Integrieren weiter helfen:

$\begin{eqnarray*} \frac{u^2}{\sigma_u^2}+\frac{(\epsilon-u)^2}{\sigma_v^2}=t^2+\frac{\epsilon^2}{\sigma^2} \end{eqnarray*}$

26.04.2005, 03:26

andre.christ

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RE: Gemeinsame Dichtefunktion (Stochastic Frontier Analysis SFA)
Super, das hat mich schonmal einen ganzen Schritt weitergebracht: Leider bekomme ich aber nun schon wieder Probleme an der Stelle, wo die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung eingesetzt wird.

Als Integral habe ich nun

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}\frac{2}{2\pi\sigma_u\sigma_v}*exp(-\frac{1}{2}(t^2 + \frac{\epsilon^2}{\sigma^2}))du \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} t=\frac{\sigma}{\sigma_u\sigma_v}\left(u-\frac{\sigma_u^2}{\sigma^2}\epsilon\right) \end{eqnarray*}$

Umgeformt wird das zu

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sigma}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}*exp(-\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2})*\frac{\sigma}{\sigma_u\sigma_v\sqrt{2\pi}}*\int_{0}^{\infty}exp(-\frac{1}{2}t^2)du \end{eqnarray*}$

also mit \phi = Dichte der Standardnormalverteilung

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sigma}*\phi(\frac{\epsilon}{\sigma})*\frac{\sigma}{\sigma_u\sigma_v\sqrt{2\pi}}*\int_{0}^{\infty}exp(-\frac{1}{2}t^2)du \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich zeigen, dass der Bruch und das letzte Integral mit der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung \Phi

$\begin{eqnarray*} \Phi(\frac{\epsilon\sigma_u}{\sigma\sigma_v}) \end{eqnarray*}$

übereinstimmt. Diese ist ja definiert als

$\begin{eqnarray*} \Phi(t) = \int_{-\infty}^{t}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx \end{eqnarray*}$

Ich weis hier nicht, wie ich die Gleichheit zeigen kann, vor allem machen mir die Integralgrenzen grosse Probleme. Weiterhin weis ich auch nicht, wie ich den Bruch vor dem Integral wegbekomme.

Gruss,
Andre

26.04.2005, 08:12

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Zur Substitution $\begin{eqnarray*} u\to t \end{eqnarray*}$ im Integral gehört natürlich auch noch $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}u\to\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$ .

26.04.2005, 13:32

andre.christ

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RE: Gemeinsame Dichtefunktion (Stochastic Frontier Analysis SFA)
Hallo,

das stimmt natürlich. Ich komme nun bis zu einem Punkt, der scheinbar schon recht nahe dran ist:

Mit

$\begin{eqnarray*} t=\frac{\sigma}{\sigma_u\sigma_v}\left(u-\frac{\sigma_u^2}{\sigma^2}\epsilon\right) \end{eqnarray*}$

sieht das Integral wie folgt aus

$\begin{eqnarray*} \frac{\sigma}{\sigma_u\sigma_v\sqrt{2\pi}}*\int_{???}^{???}exp(-\frac{1}{2}t^2)dt * \frac{\sigma_u\sigma_v}{\sigma} \end{eqnarray*}$

da

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{du} = \frac{\sigma}{\sigma_u\sigma_v} \end{eqnarray*}$

Das Integral sieht also wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \int_{???}^{???}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}*exp(-\frac{1}{2}t^2) \end{eqnarray*}$

Damit bin ich ja schon relativ nahe an

$\begin{eqnarray*} \Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{t^2}{2})dt \end{eqnarray*}$

jedoch sind die Grenzen noch nicht richtig. Bei defintien Integralen werden bei der Substitution die Grenzen ja ersetzt, hier scheint also noch etwas falsch zu sein. Letztendlich müsste bei mir ja folgendes herauskommen:

$\begin{eqnarray*} \Phi(\frac{\epsilon\sigma_u}{\sigma\sigma_u}) \end{eqnarray*}$

26.04.2005, 13:50

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Gemäß $\begin{eqnarray*} t=\frac{\sigma}{\sigma_u\sigma_v}\left(u-\frac{\sigma_u^2}{\sigma^2}\epsilon\right) \end{eqnarray*}$ wird die Integral-Untergrenze $\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$ transformiert zu

$\begin{eqnarray*} t=\frac{\sigma}{\sigma_u\sigma_v}\left(0-\frac{\sigma_u^2}{\sigma^2}\epsilon\right)=-\frac{\sigma_u}{\sigma\sigma_v}\epsilon=-\frac{\lambda}{\sigma}\epsilon \end{eqnarray*}$

Sieht verdammt nach deiner Behauptung aus... Augenzwinkern

26.04.2005, 14:22

andre.christ

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RE: Gemeinsame Dichtefunktion (Stochastic Frontier Analysis SFA)
Hallo,

kurz nach meinem Post ist mir auch aufgefallen, dass ich ja einfach nur die Integralgrenzen mit substituieren muss. Dein letzter Post macht dies mehr als deutlich.

Das Integral sieht dann wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\frac{\lambda\epsilon}{\sigma}}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{t^2}{2}) \end{eqnarray*}$

aufgrund der Symmetrie der Dichte Standardnormalverteilung um 0:

$\begin{eqnarray*} 1 - \Phi(-\frac{\lambda\epsilon}{\sigma}) \end{eqnarray*}$

gleich

$\begin{eqnarray*} \Phi(\frac{\lambda\epsilon}{\sigma}) \end{eqnarray*}$ .

Damit ergibt sich die Randdichte zu

$\begin{eqnarray*} f(\epsilon) = \frac{2}{\sigma}*\phi(\frac{\epsilon}{\sigma})*\Phi(\frac{\epsilon\lambda}{\sigma}) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für den stetigen Support, hat mich genau in die richtige Richtung getrieben ... :-)

Gruss,
Andre

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