Unterraum des R³ von Vektormenge

25.04.2005, 21:06

Horschie

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Unterraum des R³ von Vektormenge

hlallo, ich nochmal.

"Überprüfen Sie, ob U1 einen Unterraum des R³ bildet.
Bestimmen Sie gegebenfalls die Dimension und gebe Sie eine Basis an.

U1 = $\begin{eqnarray*} \{ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \in \mathbb R³ |\sum_{k=1}^3~(a_i)²=1 \} \end{eqnarray*}$

ich weiss überhaupt nicht wie ich das angehen soll. Habe irgendwie noch Probleme mit LA. Steht in Papula 3 was vernünftiges zum Thema? In 1 und 2 werde ich irgendwie nicht so recht fündig...

danke für die Hilfe Mit Zunge

Mit Zunge

25.04.2005, 22:06

JochenX

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welche 3 bedingungen müssen denn für einen unterraum U gelten?
anders gefragt: welche eigenschaften machen eine vektorteilmenge eines vektorraums zu einem unterraum?

danach gibt es 2 mögl:
U ist unterraum, dann musst du ale bedingungen zeigen
U ist kein unterraum, dann finde eine bedingung, die nicht erfüllt ist

26.04.2005, 16:47

Horschie

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kannst du mir das mal bitte exemplarisch vorführen? Die Bedingungen habe ich da, weiss aber nicht so recht wie ich das anwenden soll.

Meiner bescheidenen nach, dürfte oben genannter Unterraum auch wirklich ein Unterraum sein.

26.04.2005, 17:09

Leopold

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Dann betrachte einmal den Vektor

$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gehört er zu $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ ?
Und falls ja, gehört auch $\begin{eqnarray*} 26042005 \cdot x \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ ?

26.04.2005, 17:55

JochenX

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Zitat:

Die Bedingungen habe ich da

dann zähl die 3 doch bitte mal auf

@leo: ich hätte spontan mit dem fehlen des neutralen vektors argumentiert, aber deins ist auch sehr schön

26.04.2005, 18:06

Horschie

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1) U != 0
2) $\begin{eqnarray*} a1+a2+a3\in U \forall a1,a2,a3 \in U \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} \alpha x \in U\forall \alpha \in K,\forall x\in U \end{eqnarray*}$

das habe ich...

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26.04.2005, 18:10

JochenX

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U Unterraum von V, wenn:

Zitat:

1) U != 0

das soll wohl eher heißen: $\begin{eqnarray*} 0_V \in U \end{eqnarray*}$
das bedeutet, der neutralvektor (nullvektor) von V muss in u enthalten sein (und ist zugleich sein nullvektor)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a1+a2+a3\in U \forall a1,a2,a3 \in U \end{eqnarray*}$

2 vektoren reichen hier; aus x,y in U => x+y in U (abgeschlossenheit bzgl. vektoraddition)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \alpha x \in U\forall \alpha \in K,\forall x\in U \end{eqnarray*}$

richtig, wenn x in U, dann muss für alle a aus K auch a*x in U liegen (abgeschlossenheit bzgl. skalarer multiplikation)

also dann prüf hier mal nach.... eine bnicht erfüllte bedingung reicht zum widerlegen....
diese 3 bedingungen sind hier alle nicht erfüllt!

mfg jochen

26.04.2005, 18:36

Horschie

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mein Dank

aber ich komm beim besten willen nicht drauf wie ich das zeigen soll...das fängt scon bei der Definition des womöglichen Unterraums an aus welcher nicht recht schlau werrde.... unglücklich

unglücklich

26.04.2005, 18:40

JochenX

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werde mal etwas konkreter, was verstehst du denn nicht?

dein U1 ist die menge alle vektoren des IR³, deren komponenten zum quadrat aufsummiert gerade 1 ist.
also z.b. (0/0/1) liegt drin (weil 0²+0²+1²=1)... (1/0/1) liegt nicht drin usf.

26.04.2005, 19:44

Horschie

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vielen dank, daß hat mich noch mal einiges weiter gebracht. Das oben genanntes Beispiel kein Unterraum ist kanni ch jetzt nachvollziehen.

Wenn ich jetzt bei obigen Beispiel statt =1 ... =0 schreibe ist mein einzigster Vektor der 0-Vektor. Von daher müssten ja alle Bedingungen erfüllt sein...es sei denn ich brauche für den R³ mehr als diesen einen Vektor.

Des weiteren habe ich oben geannten Raum mit x_i + i statt (x_i) Dieser müsste meiner Meinung nach auch einen Unterraum bilden.

Jetzt muss ich bei den 2(?) bildenden nur noch Dimension und Basis bestimmen...

26.04.2005, 20:30

JochenX

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Zitat:

Des weiteren habe ich oben geannten Raum mit x_i + i statt (x_i) Dieser müsste meiner Meinung nach auch einen Unterraum bilden.

das verstehe ich so nicht? bitte mit tex!

dann zu der anderen sache:
der raum, der nur den nullvektor enthält ist ein vektorraum (also hier unterraum).

was weißt du denn über dimension und basis? wie hängen sie zusammen, was ist das?

27.04.2005, 10:13

Horschie

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U1 = $\begin{eqnarray*} \{ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \in \mathbb R³ |\sum_{k=1}^3~(a_i)²=1 \} \end{eqnarray*}$

U2 = $\begin{eqnarray*} \{ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \in \mathbb R³ |\sum_{k=1}^3~(a_i)²=0 \} \end{eqnarray*}$

U3 = $\begin{eqnarray*} \{ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \in \mathbb R³ |\sum_{k=1}^3~(a_i+1)=6 \} \end{eqnarray*}$

Die Dimension eines Unterraums ist die Anzahl linear unabhängiger Vektoren, denke ich.
Die Basis für einen Raum R^n bilden genau n lin. uabhängigge Vektoren.

U1: Bildet ja wie gesagt keinen Unterraum.
U2: BIldet einen Unterraum mittels dem Nullvektor.
Somit müsste die dimension(U2) = 1 sein?
Basis für R³ ist hier nicht gegeben, da nur ein Vektor.
U3: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sind die Vektoren die ich finde.
3 sind lin. unabhängig, somit ist die Dimension 3
Sie bilden somit eine Basis für den R³...

27.04.2005, 12:15

Ben Sisko

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Du hast bei U2 richtig erkannt, dass es ein Unterraum ist, man sagt aber bei diesem Nullraum, dass er die Dimension 0 hat, glaube ich. Du kannst ja sozusagen "ohne irgendeinen Vektor" den Nullvektor erzeugen.
Der Nullvektor kann in keiner Basis sein (überleg dir wieso, auch an einem anderen Beispiel als diesem Nullraum).

Gruß vom Ben

27.04.2005, 16:57

JochenX

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Zitat:

man sagt aber bei diesem Nullraum, dass er die Dimension 0 hat, glaube ich.

bestätigt!

zu U3: stelle mal nicht vorschnell eine basis auf.
ist denn U3 überhaupt ein unterraum?

27.04.2005, 17:24

Horschie

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hmm...die U3 ist wohl doch kein Unterrraum würde ich sagen. Es scheitert an der Abgeschlossenheit bzgl. skalarer Multiplikation?!

27.04.2005, 17:29

JochenX

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daran auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

es scheitert auch an mehr, aber eines reicht ja!

also brauchst du nur dimension und basis von U2={0}
dimension=0, ist zugleich basislänge, also ist deine basis eine leere menge.

mfg jochen

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