Faltung von P(X) mit Dirac-Maß

25.04.2005, 23:05

Poldi

Faltung von P(X) mit Dirac-Maß

Hallo Ihr Lieben,

ich verzweifle mal wieder. Diesmal hierüber:

Ich soll zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \delta_c * P_X(\{ z\}) = P_X(\{ z-c\}) \end{eqnarray*}$ ,

wobei
$\begin{eqnarray*} (\Omega , P) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum,
$\begin{eqnarray*} X:\Omega -> \mathbb Z \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable,
z eine ganze Zahl,
$\begin{eqnarray*} \delta_c \end{eqnarray*}$ das Dirac-Maß in c und
$\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ die Verteilung von X ist.
$\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ bezeichnet die Faltung der beiden W-Maße.

Meine eigenen Überlegungen ergeben diesmal leider nicht den kleinsten Ansatz, weil es mir nicht gelingen will, die Definition der Faltung auf die beiden W-Maße im Linksterm anzuwenden. Und auch den Rechtsterm kann ich irgendwie so gar nicht verändern.

Es wäre toll, wenn mir jemand einen kleinen Anschubser geben könnte!!!

Vielen lieben Dank,
Poldi

26.04.2005, 09:00

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie habt ihr denn die Faltung definiert? Die verschiedenen Definitionen sind zwar inhaltlich identisch, können aber formal unterschiedlich aussehen - ich will dich ja nicht zusätzlich verwirren, indem ich mit einer dir ungewohnten Faltungsdefinition ankomme.

26.04.2005, 15:52

Poldi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Wie habt ihr denn die Faltung definiert?

$\begin{eqnarray*} P_1*P_2 = (P_1 \otimes P_2)_T \end{eqnarray*}$ , wobei
$\begin{eqnarray*} T: \Omega_1 \times \Omega_2 -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} T(\omega_1, \omega_2) = \omega_1+ \omega_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (P_1 \otimes P_2)_T \end{eqnarray*}$ meint das Bild von $\begin{eqnarray*} (P_1 \otimes P_2) \end{eqnarray*}$ bei T und
$\begin{eqnarray*} (P_1 \otimes P_2) \end{eqnarray*}$ ist das Produktmaß von $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich das auf meine Aufgabe anwende, bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} \delta_c*P_X(\{ z\} ) = (\delta_c\otimes P_X(\{ z\} ))_T \end{eqnarray*}$ und jetzt weiß ich nicht mehr weiter, weil ich die Definition von $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ nicht darauf angewendet bekomme. Diese lautet bei uns:

$\begin{eqnarray*} P_1 \otimes P_2(A_1\times A_2) = P_1 (A_1) \cdot P_2 (A_2) \end{eqnarray*}$

Einen anderen Ansatz hatte ich noch versucht über den Satz:

$\begin{eqnarray*} P_{X_1}*P_{X_2}=P_{X_1+X_2} \end{eqnarray*}$ , aber damit komme ich auch nicht weiter, weil $\begin{eqnarray*} \delta_c \end{eqnarray*}$ doch ein Wahrscheinlichkeitsmaß und keine Verteilung ist und dann passt der Satz doch nicht, oder?! verwirrt

Ich überlege auch, ob ich die Definition von T irgendwo einbauen kann, aber auch da weiß ich nicht, wie!? verwirrt

Ich hoffe Ihr könnt mir helfen!!!
Gruß Poldi

26.04.2005, 18:31

Auf diesen Beitrag antworten »

Auf dieser gestochenen Ebene also, na egal. $\begin{eqnarray*} \Omega_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Omega_2 \end{eqnarray*}$ müssen hier übrigens Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sein. O.B.d.A. kann man auch gleich $\begin{eqnarray*} \Omega_1=\Omega_2=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ setzen und dann die Maße entsprechend Null setzen, wenn man eigentlich "kleinere" $\begin{eqnarray*} \Omega_k \end{eqnarray*}$ hat.

Bildmaß heißt

$\begin{eqnarray*} (P_1\otimes P_2)_T(A)=(P_1\otimes P_2)\left(T^{-1}(A)\right) \end{eqnarray*}$

Berechnen wir nun $\begin{eqnarray*} p:=(\delta_c * P_X)(A) \end{eqnarray*}$ : Es folgt

$\begin{eqnarray*} p=(\delta_c\otimes P_X)\left(T^{-1}(A)\right)=(\delta_c\otimes P_X)\left(B_1\cup B_2\right) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} B_1:=\left(\{c\}\times\mathbb{R}\right)\cap T^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_2:=\left(\left[\mathbb{R}\setminus\{c\}\right]\times\mathbb{R}\right)\cap T^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt:

$\begin{eqnarray*} (\delta_c\otimes P_X)(B_1)=(\delta_c\otimes P_X)\left(\left\{ (\omega_1,\omega_2) \bigm| \omega_1=c,\;\omega_2+c\in A\right\}\right)=\delta_c\left(\{c\}\right)\cdot P_X\left(A-c\right)=P_X\left(A-c\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\delta_c\otimes P_X)(B_2)\leq (\delta_c\otimes P_X)\left(\left[\mathbb{R}\setminus\{c\}\right]\times\mathbb{R}\right) = \delta_c\left(\mathbb{R}\setminus\{c\}\right) = 0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ disjunkt sind, folgt daraus dann $\begin{eqnarray*} p=P_X\left(A-c\right) \end{eqnarray*}$ . Speziell $\begin{eqnarray*} A=\{z\} \end{eqnarray*}$ ergibt dann deine Behauptung.

26.04.2005, 20:16

Poldi

Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber Arthur Dent,

bevor ich mich jetzt daran mache, die Schritte ab $\begin{eqnarray*} p=(\delta_c\otimes P_X)\left(T^{-1}(A)\right) \end{eqnarray*}$ (und ich frage mich, wieso ich nicht zumindest diesen Schritt noch selbst hinbekommen habe???) nachzuvollziehen, möchte ich vorab GANZ GANZ VIELEN LIEBEN DANK für Deine Mühe posten.

Ob ich's verstanden habe, gebe ich morgen nochmal kurz durch, aber wenn ich so drauf gucke ahne ich schon, dass ich vermutlich doch noch ein paar Sachen fragen muss...

Gruß Poldi

Neue Frage »

Antworten »

Faltung von P(X) mit Dirac-Maß

Verwandte Themen