ein trick von nöten

26.04.2005, 17:41

martn

ein trick von nöten

Hallihallo,

ich soll hier die koeffizienten a_i so bestimmen dass folgende gleichung für x>1 gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = a_0 + \frac{a_1}{x} + \frac{a_2}{x^2} + ... \end{eqnarray*}$

habt ihr da vielleicht was auf lager, wie man an die geschichte rangehen kann?

Hilfe

thx

26.04.2005, 17:51

Leopold

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Für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} \end{eqnarray*}$

Und nun beachte die binomische Reihe

$\begin{eqnarray*} \left(1 + t \right)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty}~{{\alpha} \choose n} \, t^n \end{eqnarray*}$

27.04.2005, 18:04

martn

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nochmals Hallihallo,

@Leopold: super, danke, hat mich echt weiter gebracht.........

aber ich glaube, ich brauch nochmal eure hilfe:

Hab hier wieder ne Funktionenfolge (von R nach R), aber diesmal leider in einer mir sehr ungeliebten rekursiven darstellung:

$\begin{eqnarray*} f_{0}(t) = \frac{1}{1 + t^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{n+1}(t) = 1 - \cos(f_n (t)) \end{eqnarray*}$

Ich soll die gleichmäßige konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sigma (t) = \sum_{n \geq 0} f_n (t) \end{eqnarray*}$ zeigen.
Ich könnt zwar mit nicht unbedingt den saubersten mehtoden zeigen, dass die folge der funktionswerte an jeder stelle t konvergiert und somit sicher auch die werte der reihe.
1.Heisst das denn schon gleichmäßig konvergent?

2. wie würdet ihr denn das problem sauber lösen?

3. und wie folgere ich denn dann die Differenzierbarkeit? (@MSS: du darfst meine kenntnisse über Differenzierbarkeit auf dem untersten niveau ansiedeln Augenzwinkern

)

thx

27.04.2005, 18:20

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von martn
Ich könnt zwar mit nicht unbedingt den saubersten mehtoden zeigen, dass die folge der funktionswerte an jeder stelle t konvergiert und somit sicher auch die werte der reihe.
1.Heisst das denn schon gleichmäßig konvergent?

Nein, natürlich nicht! Punktweise Konvergenz ist viel schwächer als die gleichmäßige.
Zu den anderen beiden Fragen: Die rekursive Definition find ich auch nicht schön. Ich hab hier, ehrlich gesagt, auch keine Idee.

27.04.2005, 19:56

Leopold

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Von Weierstraß gibt es ein Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe, das in vielen Fällen mit Erfolg angewandt werden kann:

Gibt es Konstanten $\begin{eqnarray*} a_n>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left| f_n(t) \right| \leq a_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a_n \end{eqnarray*}$ , so ist die Funktionenreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~f_n(t) \end{eqnarray*}$ absolut gleichmäßig konvergent.

Zeige in deinem Beispiel für $\begin{eqnarray*} n \geq 0 \end{eqnarray*}$ durch Induktion

$\begin{eqnarray*} 0 < f_n(t) \leq \left( \frac{1}{2} \right)^{2^n-1} \end{eqnarray*}$

Beachte beim Induktionsschritt die für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gültige Beziehung

$\begin{eqnarray*} \cos{x} \geq 1 - \frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ (die rechte Seite ist der Anfang der Potenzreihe der Cosinusfunktion)

27.04.2005, 20:53

martn

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thx again

nunja, im prinzip sind das meine "nicht unbedingt saubersten methoden",
jetzt haben sie sogar einen namen Augenzwinkern

und ich denk doch auch, dass diese methode, wie auch in "vielen fällen", auch hier zum erfolg führt.

aba die Differenzierbartkeit ist scheinbar ne harte nuss,
keiner den passenden nussknacker?

trotzdem verbindlichsten dank

11.06.2005, 03:43

Mathespezialschüler

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Jetzt hol ich auch nochmal nen alten Thread aus der Versenkung, weil ich ne Idee zur Differenzierbarkeit hab, aber nicht 100%-ig sicher bin. Wär also schön, wenn das jmd. bestätigen könnte! Augenzwinkern

Also man muss ja zeigen, dass die gliedweise abgeleitete Reihe glm. konvergiert.
Diese glm. Konvergenz ergibt sich dabei aus Leopolds Abschätzung!
Es ist

$\begin{eqnarray*} f_{n+1}'(t)=\sin(f_n(t))\cdot f_n'(t) \end{eqnarray*}$

und aus

$\begin{eqnarray*} |f_0'(t)|=\frac{2|t|}{(1+t^2)^2}\leq 1 \end{eqnarray*}$

folgt mit vollständiger Induktion

$\begin{eqnarray*} \left|f_{n+1}'(t)\right|=\left|\sin(f_n(t))\right|\cdot \left|f_n'(t)\right|\leq 1 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt wiederum wegen $\begin{eqnarray*} |\sin x|\leq |x| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|f_{n+1}'(t)\right|=\left|\sin(f_n(t))\right|\cdot \left|f_n'(t)\right|\leq \left|f_n(t)\right| \end{eqnarray*}$

und da das nach Leopolds Beitrag $\begin{eqnarray*} \leq \left( \frac{1}{2} \right)^{2^n-1} \end{eqnarray*}$ ist, folgt wiederum aus dem Weierstraßschen Kriterium die glm. Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~f'_n(t) \end{eqnarray*}$ , womit bewiesen wäre, dass die Reihe gliedweise differenziert werden darf.

Ist das so ok? Denk mal schon smile

Gruß MSS

11.06.2005, 09:56

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Eine klar und deutliche Argumentation. Ich könnte mir höchstens vorstellen, dass der eine oder andere nicht sofort $\begin{eqnarray*} \frac{2|t|}{(1+t^2)^2}\leq 1 \end{eqnarray*}$ sieht. Aber die "1" ist auch nicht so wichtig, nur die Tatsache, dass diese Ableitung nach oben beschränkt ist.

11.06.2005, 14:13

Mathespezialschüler

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Naja, das könnte ja jeder schnell nachrechnen, so eine Rechnung werd ich hier (in HöMa) bestimmt nicht anführen. Augenzwinkern

Das Interessanteste daran finde ich ja, dass man aus so einer rekursiven Definition, die mich anfangs auch sehr störte, so viel folgern kann, ohne $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ explizit anzugeben.

Gruß MSS

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