Diskutieren sie.....

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26.12.2007, 23:31

Dalice66

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Diskutieren sie.....

Diskutieren sie die Funktion f(x)=x³-6x²+9x...., was ist damit gemeint?

26.12.2007, 23:32

tmo

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kurz und knapp:

http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion

26.12.2007, 23:32

kiste

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Extremstellen, Wendepunkte, Nullstellen, Verhalten gegen +/- unendlich, Symmetrien usw. bestimmen und schlussendlich die Kurve zeichnen. Bekannt unter der Kategorie "Kurvendiskussion"

26.12.2007, 23:43

Dalice66

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Ok, also muss diese Kurve erstmal gezeichnet werden und später auf ihre Charakteristika benannt und untersucht werden..., richtig?

26.12.2007, 23:46

kiste

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Genau andersrum. Die Kurvendiskussion soll dir ein Gefühl geben wie die Funktion aussieht. Also zuerst die Dinge bestimmen und dann zeichnen

27.12.2007, 00:15

Dalice66

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Oh Gott, also fange ich mal an...Ich kann erkennen, dass durch "x³" die Kurve punktgespiegelt werden kann, durch x=0 läuft, sie im 4. Sektor (ich glaube, dass war unten links) ins Negative abzischt, im 2. Sektor (oben rechts ins Positive), ich würde jetzt die Zahl 6 gedanklich ausklammern, dann gedanklich -6*x²+1,5x binomisieren zu -6*(x+0,75)²-3,375. Nun kann ich sehen, dass die ein Teil Kurve "auf dem Kopf" steht, gedehnt ist und um -3,375 irgendwie auf der Y-Achse verschoben.

27.12.2007, 00:22

TyrO

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Du darfst nicht nur auf den einen Exponenten schauen, sondern musst alle beachten.
So kannst also nicht gleich bei einem ungeraden Exponenten davon ausgehen, dass die Funktion punktsymmetrisch ist.

Und was du sonst da gemacht hast kann ich ebenfalls nicht nachvollziehen.

Kiste hat doch aufgelistet, was du zu tun hast.

Zitat:

Extremstellen, Wendepunkte, Nullstellen, Verhalten gegen +/- unendlich, Symmetrien usw. bestimmen und schlussendlich die Kurve zeichnen. Bekannt unter der Kategorie "Kurvendiskussion"

27.12.2007, 01:29

Dalice66

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Tja, wie ich schon in meinen Ausführungen anmerken ließ, habe ich null Plan und sehe nur anhand der Formel, absolut nichts. Vielleicht wäre einer so nett und kann mir erklären was er wo und warum sieht. Es soll erstens nur schrittweise sein und zweitens will ich nur einen Anstoß, denn Rest versuch ich dann schon. Wie ich bereits sagte, null Plan, nix sehen. verwirrt

27.12.2007, 08:50

Ambrosius

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Na fang doch einfach mal an:

1. Definitionsbereich: Überlege dir welche Werte du für x einsetzen darfst.

2. Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: Also wo schneidet deine Funktion die y-Achse. Was sind die Nullstellen?

etc.

du sollst das auch nicht aus dem Kopf machen, sondern nachrechnen. also zum beispiel für die nullstellen funktion = 0 setzen und nach x auflösen

27.12.2007, 14:45

Dalice66

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Ok, ich muss zugeben, dass mir wohl Grundlegendes fehlt. Wie löse ich meine Gleichung nach X auf? 0=x³-6x²+9x.... Mein Problem hierbei sind die Exponenten, denn wenn ich die dritte Wurzel aus x³ zöge, weiß ich nicht mehr was aus 6x² wird. Unter den Potenzgesetzen habe ich keine Entsprechung gefunden.

27.12.2007, 14:46

klarsoweit

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Da würde ich mal ein x ausklammern. Augenzwinkern

27.12.2007, 14:48

ethused-Earthling

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$\begin{eqnarray*} x^3-6x^2+9x = 0\Leftrightarrow x (x^2 - 6x + 9) = 0 \end{eqnarray*}$

Edit: Ups, Klarsoweits Beitrag konnte ich nicht beachten, da er diesen bereits verfasste, als ich meinen angefangen hatte zu schreiben. Big Laugh

27.12.2007, 14:50

tmo

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Zitat:

Original von ethused-Earthling
$\begin{eqnarray*} x^3-6x^2+9x \Leftrightarrow x (x^2 - 6x + 9) \end{eqnarray*}$

wie können zwei terme denn äquivalent zueinander sein?

27.12.2007, 14:58

Dalice66

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Erstmal Dank an Alle...., durch Ihr gemeinsames Endergebnis für eine eingesetzte Zahl.

27.12.2007, 15:47

ethused-Earthling

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Zitat:

Original von tmo
wie können zwei terme denn äquivalent zueinander sein?

Vergleiche mal den Zeitpunkt, an dem du diesen Beitrag verfasst hast, und die Änderungsuhrzeit meines Beitrags. Augenzwinkern

27.12.2007, 15:56

Dalice66

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ok, schon kapiert...

27.12.2007, 16:14

ethused-Earthling

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Zitat:

Original von Dalice66
ok, schon kapiert...

Nein, nein, das war auf tmos Beitrag, den ich zudem zitiert hatte, bezogen.

27.12.2007, 21:46

Dalice66

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So, ich habe mich nochmal etwas schlauer gemacht. Also, wenn wir in der Funktion x³-6x²+9x ein X ausklammern, dann können wir die erste Aussage bezüglich der Funktion schon treffen--->1. 0=x*(x²-6x+9) Hierzu genügt es, dass der Zähler 0 wird, solange nicht zugleich der Nenner 0 wird. Untersuchung des Zählers auf Nullstellen ergibt: 0=x*(x²-6x+9), somit haben wir unsere Nullstelle.2. Die Funktion ist nur dort definiert, wo der Nenner ungleich 0 ist. Das bedeutet: D=R\{0}. Um am die Polstelle(n) zu kommen, würde ich einfach Zahlen aus dem Definitionsbereich einsetzen, um zu sehen, ob ich außer der "0" noch eine Zahl fände, die auch "0" ergäbe. 3. Stichwort Symmetrie; es wird unterschieden in Achsen und Punktsymmetrie. Wenn eine Achsensymmetrie vorläge, dann müsste f(x)=f(-x) sein. Nach dem Einsetzen und ausrechnen habe ich festgestellt, dass der Graph nicht achsensymmetrisch verläuft, denn 2 ist ungleich -2. Eine Punktsymmetrie liegt vor, wenn f(x) = -f(-x) ist. In dem Fall haben wir eine Punktsymmetrie, denn man kann auf dem ersten Blick erkennen, dass sich die Vorzeichen "aufheben" :-f(-x)=-[-3x³-6(-x²)+9(-x)]=f(x). Bin ich bis hierhin richtig?

27.12.2007, 22:26

TyrO

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Hallo!

Nur zum Verständnis.

f(x) = x³-6x²+9x

Wo wäre da der Nenner?

28.12.2007, 01:12

Dalice66

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Gut, ich habe die Funktion nicht bis zum Ende aufgeschrieben, ich muss sie natürlich durch (x²-6x+9) noch teilen, damit steht dann 0 unglücklich

x²-6x+9)=x. So habe ich das verstanden....

28.12.2007, 09:15

klarsoweit

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Jetzt wäre der Moment gekommen, wo du mal die komplette Funktion hinschreiben solltest. Was den Definitionsbereich angeht, habe ich noch Bedenken.

Zitat:

Original von Dalice66
2. Die Funktion ist nur dort definiert, wo der Nenner ungleich 0 ist. Das bedeutet: D=R\{0}.

Falls der Nenner x²-6x+9 sein sollte, kann man da ohne weiteres für x die Null einsetzen.

Zitat:

Original von Dalice66
Um am die Polstelle(n) zu kommen, würde ich einfach Zahlen aus dem Definitionsbereich einsetzen, um zu sehen, ob ich außer der "0" noch eine Zahl fände, die auch "0" ergäbe.

Hää?

28.12.2007, 16:28

Dalice66

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Ok, da habe ich einen Denkfehler. Also können wir den Definitionsbereich erweitern. d=R. Man kann doch dann nicht 0:0 teilen, was käme den da raus?

28.12.2007, 16:34

kiste

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Um einmal eine klare Linie hier zu bekommen:
Die Funktion ist $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^3-6x^2+9x}{x^2-6x+9} \end{eqnarray*}$ , richtig?
Das wäre eine ziemlich einfache Funktion da sie stetig fortsetzbar zu g(x) = x ist.

28.12.2007, 17:07

Dalice66

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Ich soll einfach nur die Funktion f(x)=x³-6x²+9x diskutieren. Mittlerweile weiß ich, was ich diskutieren soll. Nur das wie bereitet mir Probleme. 1. D=R, 2. Stichwort Symmetrie; es wird unterschieden in Achsen und Punktsymmetrie. Wenn eine Achsensymmetrie vorläge, dann müsste f(x)=f(-x) sein. Nach dem Einsetzen und ausrechnen habe ich festgestellt, dass der Graph nicht achsensymmetrisch verläuft, f(1)=1³-6(1²)+9*1=4, f(-1)=-1³-6(-1²)+9*(-1)=-16 --->4 ist ungleich -16, Punktsymmetrie : f(x) = -f(-x) , f(1)=1³-6(1²)+9*1=-f(-x)=-1*[-1³-6(-1²)+9*(-1)] , f(1)=1³-6(1²)+9*1=4 , -f(-1)=-1*[-1³-6(-1²)+9*(-1)]=16 --->4 ist ungleich 16

28.12.2007, 18:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dalice66
Ich soll einfach nur die Funktion f(x)=x³-6x²+9x diskutieren.

Dann mach das doch mal und verwirr uns hier nicht ständig. Wie du selbst gemerkt hast, liegt Symmetrie zur y-Achse bzw. Punktsymmetrie zum Ursprung nicht vor.

29.12.2007, 14:14

Dalice66

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Ich muss mich in die Kurvendiskussion komplett einarbeiten, da wir in der Klausur Kurvendiskussion bekommen. Da wir aber das noch nicht wirklich gemacht haben, muss ich mir alles mühsam selbst erarbeiten.
Desen Text habe ich aus dem Internet:

Nullstellen

f(x) = 2x³ + x² - 3x
0 = 2x³ + x² - 3x
(hierbei kann x einfach ausgeklammert werden, das erspart die mühselige Polynomdivision)

0 = x*(2x² + x - 3) x1 = 0

Mir leuchtet das Ausklammern von x ein, was ist aber mit x1 = 0 gemeint und wo ist das ausgeklammerte x in der unteren Zeile, das kann doch nicht einfach so verschwinden

0 = 2x² + x – 3

29.12.2007, 14:24

kiste

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Ein Produkt ist genau dann 0 wenn einer der Faktoren 0 ist.
Jetzt wurde also das Produkt $\begin{eqnarray*} x(2x^2+x-3)=0 \end{eqnarray*}$ betrachtet.
Die erste Lösung ist $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ . Da jetzt bereits der erste Faktor abgearbeitet ist beschäftigt man sich nur noch mit dem zweiten Faktor.
Also betrachtet man nur noch die Gleichung
$\begin{eqnarray*} 2x^2+x-3=0 \end{eqnarray*}$

29.12.2007, 14:56

Dalice66

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Ok, dann weiß ich erstmal bescheid....

29.12.2007, 16:29

Dalice66

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Ok, für meine Aufgabe bedeutet das dann Folgendes: $\begin{eqnarray*} = x^{3} - 6x^{2} + 9x \end{eqnarray*}$
x ausklammern $\begin{eqnarray*} x(x^{2} - 6x + 9) \end{eqnarray*}$ x1=0

$\begin{eqnarray*} x^{2} - 6x + 9 \end{eqnarray*}$

P/Q-Formel anwenden

P=6, Q=9

$\begin{eqnarray*} - \frac{6}{2}\pm \sqrt{ ( \frac{6}{2})^{2} - 9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - 3\pm \sqrt{9 - 9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - 3\pm \sqrt{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1= - 3 \end{eqnarray*}$

Ok, somit habe ich meine Nullstelle gefunden

Als nächstes wären die Extremwerte dran, die erhalte ich, wenn ich die erste Ableitung bilde, somit habe ich dann $\begin{eqnarray*} f'(x)= 3x^{2} - 12x+ 9|:3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} - 4x+ 3 \end{eqnarray*}$

auch hier wieder P/Q-Formel anwenden

P=4, Q=3

$\begin{eqnarray*} - (- \frac{4}{2}) \pm \sqrt{-(\frac{4}{2})^2-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\pm \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1= 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x2= 1 \end{eqnarray*}$

29.12.2007, 17:36

ethused-Earthling

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Zitat:

Original von Dalice66

P=6, Q=9

Es ist aber $\begin{eqnarray*} p=-6 \end{eqnarray*}$ . Vorzeichen beachten!

Zitat:

Original von Dalice66
$\begin{eqnarray*} - (- \frac{4}{2}) \pm \sqrt{-(\frac{4}{2})^2-3} \end{eqnarray*}$

Das Glied $\begin{eqnarray*} (\frac {p}{2} )^2 \end{eqnarray*}$ in der Determinaten bleibt trotzdem größer/gleich null - bei $\begin{eqnarray*} p < 0 \end{eqnarray*}$ wird nicht $\begin{eqnarray*} - ( \frac {p}{2})^2 \end{eqnarray*}$ daraus.

Wahrscheinlich nicht von so großer Bedeutung aber trotzdem:

Zitat:

Original von Dalice66

x ausklammern $\begin{eqnarray*} x(x^{2} - 6x + 9) \end{eqnarray*}$ x1=0(!)

$\begin{eqnarray*} x^{2} - 6x + 9 \end{eqnarray*}$

P/Q-Formel anwenden

P=6, Q=9

$\begin{eqnarray*} - \frac{6}{2}\pm \sqrt{ ( \frac{6}{2})^{2} - 9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - 3\pm \sqrt{9 - 9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - 3\pm \sqrt{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1= - 3 \end{eqnarray*}$ (!)

Natürlich muss zwischen $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ unterschieden werden (Du hast die gleiche Variable für zwei verschiedene Werte benutzt).

29.12.2007, 18:51

Dalice66

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Hi, ok, ich habe in der Tat einmal das Vorzeichen vergessen, danke für den Hinweis, es muss heißen : $\begin{eqnarray*} - 6 \end{eqnarray*}$ , auch danke für die anderen Hinweise.

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